专题05 三点共线的充要条件 -高中数学必备考试技能（解析版）学案

结论五：三点共线的充要条件

结

论

(1)设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,=+.

解

读

三点共线充要条件的这种表示法的得到可以看成是：的一个变形式，即(O为平面内任意一点)。

典

例

7．已知为的中线，点是的中点，过点的直线分别交边、于、两点．若，，则（    ）

A． B． C． D．

解

析

【答案】A

【详解】先证明：若、、三点共线，且为直线外一点，，则.

证明：由题意可知，，则存在使得，即，

，，则，，.

如下图所示，因为为的中点，所以．

又，所以，所以．因为，所以，所以．因为、、三点共线，所以，解得，

反

思

本题考查利用三点共线求参数，考查了结论“若、、三点在一条直线上，点在直线外，则存在实数、，使得，且”的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.本题中先证明出结论：若、、三点共线，且为直线外一点，，则.计算得出，由题意得出，以此可得出，利用三点共线的结论得出，进而可求得实数的值.

针对训练*举一反三

1．在三角形ABC中，E､F分别为AC､AB上的点，BE与CF交于点Q且，，AQ交BC于点D，，则的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】

由题得，，求出的值，再根据，共线，得解.

【详解】

因为三点共线，所以,因为三点共线，所以,所以

所以所以，因为共线，

所以.

2．已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据向量共线定理推论得，再利用基本不等式求最值.

【详解】

因为，因为点在线段上（不含端点），所以，

，当且仅当时取等号，

3．如图，在中，为的中点，，为的两个三等分点，交于点，设，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据共线定理由，，三点共线，设，则，同理由，，三点共线，可得，建立方程组求解．

【详解】

连接，.由，，三点共线，可设，由题意知，，

所以.同理由，，三点共线，可设，所以，解得从而．

4．已知点A,B,C,D是直角坐标系中不同的四点，若，，且，则下列说法正确的是(  ),

A．C可能是线段AB的中点               B．D可能是线段AB的中点

C．C、D可能同时在线段AB上            D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上

【答案】D

【解析】由，，可得：四点共线，

对于选项A，若C是线段AB的中点，则，则，不满足，即选项A错误；

对于选项B，若D是线段AB的中点，则，则，不满足，即选B错误；

对于选项C，若C、D同时在线段AB上，则，则，不满足，即选项C错误；

对于选项D，假设C、D同时在线段AB的延长线上，则 ，则，则不满足，即假设不成立，即C、D不可能同时在线段AB的延长线上，即选项D正确；故选：D.

5．（多选题）如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的为（    ）

A．当时，

B．当P是线段的中点时，，

C．若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段

D．的最大值为

【答案】BCD

【分析】

利用向量共线的充要条件判断出A错，C对；利用向量的运算法则求出，求出，判断出B对，过作，交于，作，交的延长线于，则，然后可判断出D正确.

【详解】

当时，，则在线段上，故，故A错，当是线段的中点时，，故B对，为定值1时，，，三点共线，又是平行四边形内（含边界）的一点，故的轨迹是线段，故C对

如图，过作，交于，作，交的延长线于，则：；

又；，；由图形看出，当与重合时：；此时取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故D正确

6．已知A、B、P是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数x、y满足，则的最小值为_______.

【答案】

【分析】

根据共起点的三个向量共线的结论得到，再根据基本不等式可求得最小值.

【详解】

∵A、B、P是直线上三个相异的点，，即，所以，，当且仅当，即，时取等号，

7．已知等差数列的前项和为，若（向量、不平行），、、共线，则_________．

【答案】

【分析】

先证明当、、共线且，则，根据题意可求得的值，然后利用等差数列求和公式可求得的值.

【详解】当、、共线时，则、共线，可设，所以，，，又，则，由于（向量、不平行），、、共线，则，由等差数列的求和公式可得.