人教版高考数学第二轮专项练习专题10 与等差数列相关的结论（原卷版）

这是一份人教版高考数学第二轮专项练习专题10 与等差数列相关的结论（原卷版），共5页。试卷主要包含了结论，典型例题，针对训练 举一反三等内容，欢迎下载使用。
设为等差数列的前项和.
(1);
(2)
(3);
(4)构成等差数列.
(5)是关于的一次函数或常数函数，数列也是等差数列.
(6)
(7)若等差数列的项数为偶数,公差为,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则所有项之和,,.
(8)若等差数列的项数为奇数,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则所有项之和,,,,.
(9)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则.
二、典型例题
1．（2021·山西太原·高二阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．28B．32C．16D．24
【答案】B
【详解】
由等差数列前n项和的性质，
可得，，，成等差数列，
∴，解得.
∴ 2，6，10，成等差数列，
可得，解得.
故选：B
【反思】等差数列中依次项之和，，，,…组成公差为的等差数列,此结论可以直接用语计算，但是在使用公式时注意避免公式使用错误.
2．（2022·北京·人大附中高二期末）已知等差数列的前项和为，并且，，若对恒成立，则正整数的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【详解】
由题意可得，
所以，
又，所以，
又可得，
所以等差数列的前6项为正数，从第7项起为负数，
所以， 所以.
故选：C.
【反思】充分利用和，推出等差数列的正负项（或者单调性），从而确定数列中最大和.
3．（2020·安徽宣城·高一阶段练习（文））已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由题意，，
所以，，
，
所以，，.
故选：A.
【反思】对于等差数列奇偶项和问题，首先要判断项数为奇数项还是偶数项，其次再代入相应公式计算，本例中共有项，为偶数项，代入公式：,,，计算可得到答案.
4．（2021·江苏·高二单元测试）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【详解】
依题意，，又=，
于是得，
因此，要为整数，当且仅当是正整数，而，则是32的大于1的约数，
又32的非1的正约数有2，4，8，16，32五个，则n的值有1，3，7，15，31五个，
所以使得为整数的正整数n的个数为5.
故选：B
【反思】在等差数列，中，它们的前项和分别记为则,注意此公式使用的前提：中分子分母角标一致，比如：，.但如果是这类分子分母角标不一致，不能直接使用该公式,需另寻它法.
5．（2020·贵州铜仁伟才学校高二阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且满足，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【详解】
由题意，令，
∴，
故选：D
【反思】在此题中，由于角标不一致，不能直接使用公式，所以可以回归等差数列求和公式的本质：(为常数)是等差数列．
三、针对训练 举一反三
一、单选题
1．（2022·甘肃·张掖市第二中学高二期末（理））等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12B．18C．21D．27
2．（2021·宁夏·石嘴山市第三中学高三阶段练习（文））已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．15B．23C．28D．30
3．（2021·河南·高二阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
4．（2021·贵州大学附属中学高一阶段练习）设等差数列，的前n项和为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全国·高二课时练习）设等差数列的前项和为．若，则数列的最小项是（ ）
A．第6项B．第7项C．第12项D．第13项
6．（2022·全国·高三专题练习）等差数列和的前n项和分别为与，对一切正整数n，都有，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·河南郑州·高二期中（理））首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）
①若，则；②若，则使的最大的为15；③若，，则中最大；④若，则．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2020·河北·武邑武罗学校高二期中）已知等差数列的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为
A．10B．20C．30D．40
9．（2022·重庆·西南大学附中高二期末）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30B．29C．28D．27
二、填空题
10．（2021·全国·高三专题练习）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若{an}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为________.
11．（2020·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））设是等差数列的前项和，若，，则数列中的最大项是第______项.
12．（2019·河南·郑州一中高二开学考试）等差数列中，，，给出下列命题：①，②，③是各项中最大的项，④是中最大的值，⑤为递增数列.其中正确命题的序号是______.