人教版新课标B必修4向量的正交分解与向量的直角坐标运算表格教案设计

这是一份人教版新课标B必修4向量的正交分解与向量的直角坐标运算表格教案设计，共5页。
知识目标：
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;
2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.
3.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.
4.了解平面向量的基本定理及其意义.
情感目标：
1.通过探究 学生体会正交分解定理的形成过程，培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.
2.使学生逐步养成独立思考与互助学习的素养，激发学生的学习兴趣和钻研精神.
（二）重点难点
1.重点是让学生掌握平面向量正交分解下的坐标表示及其应用
2.难点是平面向量的基本定理及其意义.
（三）教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
前面 对轴上向量 通过单位向量 可以建立与实数的一一对应,从而给出了轴上向量的坐标表示.从而对平面上的任一方向的向量，都可以用相应的轴给出坐标表示，那么能否仅仅使用两条互相垂直的轴 数量化表示平面上所有向量呢?这种表示唯一吗?
让学生回忆轴上向量及其坐标表示相关的概念及思想方法
从一维向二维,从已知到未知，引入新课题
新课探究
借助已经学过的平面直角坐标系.
(1)分别确认x轴和y轴上的单位向量e1、e2那么这两条轴上的向量都可以用相应的坐标表示,不同轴上的向量坐标意义不同.例如横轴、纵轴上的向量坐标3分别表示3 e1、3e2
(2)与轴不平行的平面向量,可以分解为两个轴上的向量之和.(从而表示成两个基向量的线性组合。即：a=xe1+ye2）
(3)取平面上两条互相垂直的单位向量e1、e2，那么对该平面内的任意向量a，都存在唯一的一对实数x、y，使a=xe1+ye2。
(4)这里｛e1，e2｝叫做这一平面内所有向量的一组正交基底；xe1+ye2叫做a关于基底｛e1，e2｝的分解式；（x,y）叫做a关于基底｛e1，e2｝下的坐标，即a＝（x,y）；x(y)是向量a在横(纵)轴上的正投影向量的在(横纵)轴上的坐标。显然
0=(0,0),e1=(1,0),e2=(0,1)
(5)平面直角坐标系中 有序实数对（x,y）就有了双重意义，既表示点(x,y)，又可以表示向量(x,y),叙述中应在前面注明。
(6)容易证明：两个向量和与差的坐标等于两个向量坐标的和与差；数乘向量的坐标等于该数与向量相应坐标的乘积。即：
如果 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 那么
a±b=(x1±x2,y1±y2),λa=(λx1,λy1)
a∥b的充要条件是x1y2=x2y1(需要证明)
(7)介绍：任意给定平面中两个不平行的向量e1、e2，那么平面中所有向量a都可以用这两个向量表示。即a=xe1+ye2.这里x、y是唯一确定的一对有序实数。｛e1，e2｝叫做这一平面内所有向量的一组基底；xe1+ye2叫做a关于基底｛e1，e2｝的分解式.
例如 课本96页图2－34，证明同(3)。
师生共同探究, 对平面上向量的正交分解的存在唯一性,有所感受.确认坐标表示向量的可行性,及其具体表示方法
这里给出了课本的两个概念，学生知道这些名词就可以了
向量的直角坐标表示及其运算性质，学生应该容易接受，甚至给出证明。一些学生可能不理解证明的必要性和合法性（不易深究）。
一般学生以了解为主，重在以具体问题为载体，落实基本定理的思想方法（消点法）。
感受正交分解产生的合理性.使学生容易接受平面向量的坐标表示,使部分学生感受数学证明的严谨性和必要性.
深化理解
例11.课本100页例1。
在直角坐标系xOy中，
向量a，b，c的方向
和长度如图所示。
分别求它们的坐标。
所有例题，
以教师为主导，
关注优秀生
是否能
从想得通
到写得通
再到讲得通
适当的给他们机会锻炼展示；
关注一般同学
是否能
从想不通
到想得通
再到写得通
给他们充分时间来思考学习
教师协调
全班讨论
复习巩固初中特殊角三角函数，学会用坐标表示向量，为数量积作准备
例12. 课本102页例5，含101页例2、4
已知 ▱ABCD的三个顶点
A(－2,1),B(0,3),C(3,4)，
求(1)向量BA的坐标、方向和长度；
(2)向量BD的坐标、顶点D的坐标。
总结:一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去向量起点的坐标。即
AB＝AO+OB＝OB－OA＝(x1－x2,y1－y2)
可以进行多种解法，以达到复习巩固向量的坐标表示，并用于向量的加减及数乘运算，使学生加深理解
例13．课本102页例6，含101页例3
已知A(－2,1),B(4,4)，求线段AB的中点M和三等分点P、Q的坐标。
注：OM＝OA＋AM＝OA＋0.5AB＝0.5(OA+OB)，这里的向量分解变形是重点也是难点。
注：例题到此，应进行学生独立练习巩固
这里，初中学生已经接触过中点坐标公式。学生基础好，可以另用向量的方法给出证明
例21．课本104页例1
已知 向量AB=(2,5),向量a=(1,y),
若 向量AB∥a.求a的纵坐标y.
例22．课本104页例2 直角坐标系xOy内，已知 A(－2,－3),B(0,1),C(2,5)。
求证 A,B,C三点共线
例31．课本97页例1
已知 ▱ABCD的两条对角线相交于点M，试用基底｛AB,AD｝表示向量MA,MB,MC,MD.
已知直线AB上任意点P及直线AB外一点O。以｛OA，OB}为基底，写出向量OP的分解式
熟悉巩固向量平行或共线的坐标条件，通过证明共线，感受向量法的优势
这是基本定理的例子，渗透了消元法（消点法）思想，练习量依据学生具体情况而定
课堂练习
对于部分习题
师生可以在充分独立思考的基础上，进行小组讨论.
对应学生的差异性，同学们在合作交流中获得不同的发展
归纳小结
今天学会了：
①向量的坐标表示
②坐标表示的向量的加减及数乘运算
③向量平行的坐标条件
④平面向量的基本定理
师生共同完成
这是学生总结本课堂研究内容的练习机会，使学生反思学习进程的反馈时间
作业
学生自主完成
温习巩固，
逐步理解
课后反馈