第07讲 有理数的乘方——【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）（解析版）-A4

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第一步：主动学
析教材 学知识：教材精讲精析，全方位预习
讲典例 练习题：教材习题学解题，快速掌握解题方法
练考点 强知识：三大核心考点六种常考题型精准练
第二步：用心记
串知识 识框架：学习目标复核内容掌握，思维导图助力掌握知识脉络，理清知识之间的联系
第三步：限时测
过关测 稳提升：过关检测效果好，查漏补缺练考点
知识点1：有理数的乘方
1.乘方的概念：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(pwer)．
即有：.
底数：在中，叫做底数，
指数：叫做指数.
典型例子：此处2叫做底数，3是指数，表示2的个数；
2.特例：当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。
名师点拨：
乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 类比以前学的加减乘除法学习乘方。
幂特指乘方作为结果时的一种叫法，与和差积商相对应。
（2）当底数是以下几种情况时，要用括号括起来：
底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写．
知识点2：乘方的符号法则
1.正数的任何次幂都是正数；
2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
3.0的任何正整数次幂都是0；
4.任何一个数的偶次幂都是非负数，即．
名师点拨：
(1)有理数的乘方运算，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)计算幂时，可以转化成乘法计算。
知识点3：科学记数法（这是一个很小，但非常非常重要的知识点，要牢记）
科学记数法的定义：
把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法.
名师点拨：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样；
（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
题型1考查乘方的概念、幂的概念
1．对于与，下列叙述中正确的是（ ）
A．底数相同，运算结果相同B．底数相同，运算结果不同
C．底数不同，运算结果相同D．底数不同，运算结果不同
【答案】C
【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算
【分析】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键．
根据幂的性质判断即可．
【详解】∵，，
∴与，底数不同，运算结果相同．
故选：C．
2．“”可以写成（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】有理数幂的概念理解
【分析】本题考查了乘方的定义，利用乘方的定义解答即可．
【详解】解：，
故选：C．
3．式子可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】有理数幂的概念理解
【分析】本题考查了有理数乘方的定义，根据多个相同的单项式相乘可以表示为幂的形式，即，a表示相同的单项式，m表示单项式的个数．据此即可解答．
【详解】解：，
故选：C．
4．计算可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】有理数幂的概念理解
【分析】根据幂的意义得，解答即可．
本题考查了有理数幂的意义，正确理解幂的意义是解题的关键．
【详解】解：根据幂的意义得，
故选：C．
5．式子表示的含义是（ ）
A．6个2相乘的积的相反数B．与6相乘的积
C．6与相乘的积的相反数D．6个相乘的积
【答案】A
【知识点】有理数幂的概念理解
【分析】本题考查了有理数乘方的意义，根据乘方的定义即可求出答案．
【详解】解：式子表示的含义是6个2相乘的积的相反数，
故选：A．
题型2利用乘方的定义进行计算
1．计算：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【知识点】有理数的乘方运算
【分析】本题考查了有理数的乘方运算．
（1）根据乘方的定义将展开算乘法即可；
（2）根据乘方的定义将展开算乘法即可；
（3）根据乘方的定义将展开算乘法即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
2．计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【知识点】有理数的乘方运算
【分析】本题考查的是乘方运算，根据乘方运算的运算法则是解本题的关键；
（1）由，再计算即可；
（2）由，再计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
3．计算：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6)．
【答案】(1)216(2)(3)(4)(5)1000(6)1000000
【知识点】有理数的乘方运算
【分析】本题考查了乘方的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键；
（1）根据正数的任何次幂都是正数，计算即可；
（2）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可；
（3）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可；
（4）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可；
（5）根据正数的任何次幂都是正数，计算即可；
（6）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可；
【详解】（1）解：；
（2）解：
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：；
（6）解：．
4．计算：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【知识点】有理数的乘方运算
【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握乘方的运算法则是解题关键．
（1）根据有理数的乘方的运算法则计算即可；
（2）根据有理数的乘方的运算法则计算即可；
（3）根据有理数的乘方的运算法则计算即可；
（4）根据有理数的乘方的运算法则计算即可；
（5）根据有理数的乘方的运算法则计算即可；
（6）根据有理数的乘方的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：
（6）解：．
5．计算：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)1
【知识点】有理数的乘方运算
【分析】本题考查了乘方的运算，正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，0的任何正整数次幂都等于0．
（1）（2）（3）（4）根据乘方运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
题型3科学记数法
1．经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客亿人次，亿用科学记数法表示为 .
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：亿用科学记数法表示为．
故答案为：
2．截至2025年5月5日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》全球票房已破亿元，暂列全球影史票房榜第4位．将用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：．
故答案为：．
3．年月日，“长征二号”遥二十运载火箭将“神州二十号”载人飞船带入太空，其起飞质量约为kg．将“”用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
科学记数法的表现形式为 的形式，其中 为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 时是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解： ，
故答案为：．
4．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线三个星期后达到了33700000．将33700000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：，
故答案为：．
5．地球有多大？这个问题对于今天的同学们来说已不再陌生：地球的平均半径约为6371千米，赤道的周长约为40075千米，子午线的周长约为40008千米．将子午线的周长用科学记数法可表示为 米．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：40008千米即米．
，
故答案为：
题型4还原科学记数法表示的数
1．《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ．
【答案】47000
【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可．
【详解】解：．
故答案为：47000．
2．已知：，则a表示的数为 ．
【答案】
【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数
【分析】本题考查科学记数法，利用有理数的乘方运算，把科学记数法表示的数还原即可．
【详解】解：；
故答案为：
3．莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为平方米，则原数为 万平方米．
【答案】792
【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，科学记数法的表示形式为为正整数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
根据科学记数法表示形式解答即可．
【详解】解： 平方米，则原数为792万平方米．
故答案为：792．
4．下列是用科学记数法表示的数，把原数填在横线上： ； ．
【答案】
【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数
【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的形式为，其中，为整数，当时，原数等于把小数点向右移动位，据此解答．
【详解】解：；
．
故答案为：；．
5．我国研究人员利用中国天眼发现了1个尺度大约为200万光年的巨大原子气体系统，尺度比银河系大20倍．长度单位光年是指光在真空中传播一年所经过的距离，大约为千米，原来的数是 ．
【答案】9460700000000
【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，掌握将科学记数法表示的数变回原来的数的方法是解题的关键．根据题意，将用科学记数法表示的数化成原来的数即可．
【详解】解：．
故答案为：9460700000000．
题型5含乘方的有理数的混合运算
1．计算：
(1)(2)
【答案】(1)(2)
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算；
（1）先计算乘方和小括号里的计算，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
2．计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先乘方、化简绝对值、括号内计算，再计算乘法，再计算减法即可；
（2）先进行括号内计算，再计算乘除即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．计算：．
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据有理数的运算法则及运算顺序依次计算即可．
【详解】解：
．
4．计算：．
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
5．计算：
【答案】1
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
先算乘方，化简绝对值，再算乘除，最后算加减即可．
【详解】解：
．
题型6利用乘方解决实际问题
1．拉面是很多人都喜欢吃的一种面食．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长，再捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条．回答下列问题：
(1)第6次捏合后，可得多少根面条？
(2)经过多少次捏合后可得到256根面条？
【答案】(1)64根(2)8次
【知识点】有理数的乘方运算、乘方的应用
【分析】本题主要考查了有理数乘乘方的应用．
（1）计算即可得出答案．
（2）由即可得出答案．
【详解】（1）解：（根）
则第6次捏合后，可得64根面条．
（2）解：因为，
所以经过8次捏合后可得到256根面条．
2．古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，为表示对大臣的感谢，国王答应满足大臣一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第一格放粒米，第二格放粒米，第三格放粒米，然后是粒米，粒米，直到第格．”“你真傻就要这么一点米？”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕你的国库里没有这么多米？”你知道第格中能放多少米吗？请你帮忙计算出来．
【答案】
【知识点】乘方的应用
【分析】本题考查了乘方的应用，由已知可得第格放的米粒数为，据此即可求解，根据题意找到数字的变化规律是解题的关键．
【详解】解：第一格放粒米，即粒，
第二格放粒米，即粒，
第三格放粒米，即粒，
第四格放粒米，即粒，
第五格放粒米，即粒，
，
∴第格放的米粒数为粒，
∴第格放的米粒数是粒．
3．一根20米长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下的一半，第3次又剪去剩下的一半，如此剪下去，问第8次剪去后剩下的绳子有多长？
【答案】米
【知识点】乘方的应用
【分析】表示出第一次，第二次剪去后剩下的长度，…，归纳总结得到第8次后剩下的长度即可．
【详解】解：∵第1次剪去后剩下的绳子的长度为米，
∴第2次剪去后剩下的绳子的长度为米；
∴第3次剪去后剩下的绳子的长度为米；
依此类推第8次剪去后剩下的绳子的长度为（米）．
故答案为：米．
【点睛】此题是规律类探索问题，主要考查了乘方的意义．由特殊出发探索得到规律是解题的关键．
4．细菌分裂是一种特殊的生殖方式，细菌分裂一次由一个变为两个．某种细菌每小时便可以进行一次分裂，经过5小时后这种细菌由1个能分裂成多少个？
【答案】经过5小时后这种细菌由1个能分裂成个
【知识点】乘方的应用
【分析】本题考查了有理数的乘方，解决此题的关键是要找出分裂一次为，
根据已知条件可知细菌每半小时分裂一次(由一个分裂为两个)，经过5个小时就会分裂10次，分裂一次为，则分裂10次为个即可．
【详解】解：∵细菌每小时便可以进行一次分裂，
∴该细菌5小时分裂10次，
∵细菌分裂一次由一个变为两个
∴经过5小时，细菌分裂为个．
答：经过5小时后这种细菌由1个能分裂成个．
5．水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素）
(1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表：
(2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？
【答案】(1)见解析；
(2)35天
【知识点】乘方的应用
【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键．
（1 ）根据有理数乘方的定义填写即可；
（2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可．
【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为，
当天数为25时，总株数为，
∴当天数为时，总株数为，
填表如下：
（2）根据题意得，，
解得，
（天）．
答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦．
知识导图记忆
知识目标复核
1．理解有理数乘方的意义，会进行有理数乘方的运算；
2．知道底数、指数、幂的概念，会求一个有理数的正整数指数幂；
3．会用科学记数法表示一个较大的数，并能将科学记数法表示的数还原为普通形式。
一、选择题
1．表示的意义是（ ）
A．与5相乘B．2个相乘
C．5个2相乘的相反数D．2个5相乘的相反数
【答案】C
【知识点】有理数幂的概念理解、相反数的定义
【分析】本题考查了有理数幂的概念、相反数，熟练掌握有理数幂的概念和相反数的定义是解题的关键．根据有理数幂的概念和相反数的定义即可解答．
【详解】解：表示的意义是5个2相乘的相反数．
故选：C．
2．的底数是（ ）
A．B．C．3D．9
【答案】A
【知识点】有理数幂的概念理解
【分析】本题考查有理数幂的定义，根据有理数幂的定义，其中为底数，进行判断即可．
【详解】解：的底数是；
故选A．
3．下列式子可以表示成的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】有理数幂的概念理解
【分析】本题考查有理数乘方，关键是理解乘方的含义，乘方表示几个相同因数的积的简便运算． 根据乘方的定义运算即可．
【详解】解：中3是底数，4是指数，表示4个3相乘，
即．
故选：B．
4．下列各式中，不相等的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】C
【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算
【分析】本题考查有理数乘方的运算，绝对值，熟练掌握乘法的定义及运算是解题的关键．利用乘方的定义依次进行计算，即可判断．
【详解】解：A中，∵，，
∴，
故选项A正确，不符合题意；
B中，∵，，
∴，
故选项B正确，不符合题意；
C中，∵，，
∴，
故选项C错误，符合题意；
D中，∵，，
∴，
故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
5．对于与，下列叙述中正确的是（ ）
A．底数相同，运算结果相同B．底数相同，运算结果不同
C．底数不同，运算结果相同D．底数不同，运算结果不同
【答案】C
【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算
【分析】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键．
根据幂的性质判断即可．
【详解】∵，，
∴与，底数不同，运算结果相同．
故选：C．
6．若 ，则一定有（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】乘方运算的符号规律
【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案．
【详解】解：当，则，
当，则，
当，则，则，
∴当，则，
故选：C
7．如果，则是（ ）
A．8或B．C．4D．4或
【答案】D
【知识点】有理数乘方逆运算
【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴a是：4或−4．
故选：D．
8．《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
【答案】D
【知识点】有理数乘方逆运算
【分析】本题主要考查了有理数的乘方，弄懂题意并掌握乘方的运算法则是解答的关键．
【详解】解：根据题意，第一天后剩尺，
两天之后剩（尺），
第三天后剩（尺），
…
第n天后剩（尺），
第五天后这个“一尺之棰”还剩（尺）．
故选：D．
9．年春节期间，昭通市实现旅游综合收入亿元.全市共接待游客约万人次，“万”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，先把万转化为，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可；
【详解】解：万，
故选：．
10．我们常用的十进制，如：，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中．相当于十进制中的7，又如：．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的（ ）
A．10011B．11001C．11010D．11101
【答案】B
【知识点】有理数的乘方运算
【分析】本题考查了有理数的乘方读懂题目信息，理解二进制数的表示方法是解题的关键．
根据十进制中的25相当于二进制中的即可解答．
【详解】解：，
十进制中的25相当于二进制中的，
故选：B ．
二、填空题
11．的底数是 ．
【答案】
【知识点】有理数幂的概念理解
【分析】根据有理数的乘方的有关定义即可解答．
【详解】解：的底数为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解本题的关键．求n个相同,因数的积的运算叫乘方,乘方的结果叫做幂，在a的n次方中。a叫做底数,n叫做指数．
12．比较大小： （填或）．
【答案】