第01讲 有理数与数轴-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（华东师大版）

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第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：10大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 正负数
（1）概念
正数：大于0的数叫做正数。
负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。
易错点：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。
（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）
（2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。
知识点2 有理数的概念及分类
（1）概念
整 数：正整数、0、负整数统称为整数。
分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）
注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。
（2）分类：两种
⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类：
正有理数 正整数 正整数
有理数 正分数 整数 0
零 有理数 负整数
负有理数 负整数 分数 正分数
负分数 负分数
知识点3 数轴
（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度
（2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。
比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。
（3）应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。
（注意不带“+”“—”号）
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考点一 正负数的定义
1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）下列四个数中，属于负数的是（ ）
A．1.2B．1C．−2D．0
【答案】C
【分析】本题考查负数的概念，解题的关键是明确负数的定义，即小于0的数是负数．
明确正数，负数和0的性质，逐一分析选项中的数与0的大小关系．
【详解】A、1.2是正数，A项错误；
B、1是正数，B项错误；
C、−2小于0，根据负数的定义：小于0的数是负数，所以−2是负数，C项正确；
D、0既不是正数也不是负数，D项错误．
故选：C．
2．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）下列各数0，−5，−312，+3.1，−2.4，2024，−20%中负数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了负数的定义，小于0的数为负数，据此进行逐个分析，即可作答．
【详解】解：依题意，−5，−312，−2.4，−20%都是负数，
∴负数有4个，
故选：C．
3．（24-25七年级上·云南大理·期末）有五个数：2，0，−5，13，−14，其中正数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【详解】解：2是正数，0既不是负数也不是正数，−5是负数，13是正数，−14是负数，
∴正数有2个，
故选B．
考点二 相反意义的量
1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利100元记作+100元，那么−90元表示（ ）
A．盈利10元B．盈利90元
C．亏损−90元D．亏损90元
【答案】D
【分析】本题考查了相反意义的量，如果盈利用正数表示，那么亏损就用负数表示，据此求解即可．
【详解】解：如果盈利100元记作+100元，那么−90元表示亏损90元，
故选：D．
2．（24-25七年级上·广东广州·期中）下面两个量中，不具有相反意义的是（ ）
A．盈利400和亏损400元B．浪费1t水和节约1t水
C．进三个球和输三场比赛D．上升50m和下降50m
【答案】C
【分析】此题考查了相反意义的量．根据相反意义的量的定义进行判断即可．
【详解】解：A、盈利400和亏损400元，是互为相反意义的量，故选项不符合题意；
B、浪费1t水和节约1t水，是互为相反意义的量，故选项不符合题意；
C、进三个球和输三场比赛，不是互为相反意义的量，故选项符合题意；
D、上升50m和下降50m，是互为相反意义的量，故选项不符合题意；
故选：C．
3．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）如果小明体重增加2kg记作+2kg，那么小华体重减少1kg应记作（ ）
A．−1kgB．+1kgC．+3kgD．−3kg
【答案】A
【分析】本题主要考查了相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若体重增加用“+”表示，那么体重下降就用“−”表示，据此求解即可．
【详解】解：如果小明体重增加2kg记作+2kg，那么小华体重减少1kg应记作−1kg，
故选：A．
4．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）如图所示，如果把张明前面第二个同学李利记作+2，那么−1表示张明周围的（ ）同学．
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示来判断．
【详解】解：∵张明前面的第2个同学李利记作+2，
∴−1表示张明后面的第一个同学丙，
故选：C．
5．（24-25七年级上·浙江台州·期末）《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中“方程术”中明确引进了“负数”，用正、负数来表示具有相反意义的量，说明我国是世界上最早使用负数的国家．如果在一次数学测试中，以70分为基准，80分记作+10分，那么60分应记作（ ）
A．−60分B．+60分C．+10分D．−10分
【答案】D
【分析】本题考查了正数和负数，根据正数和负数的定义解答即可．掌握正负数的意义是解答本题的关键．
【详解】解：以70分为基准，大于70分为正数，则小于70分为负数，即60分可记为−10分．
故选：D．
考点三 有理数的定义及分类
1.（24-25七年级上·宁夏中卫·期中）把下列各数填入相应的大括号中：
5，−20，−0.1415，98%，1，−0.10，58，−789，−13，325，0，10.10，1000.1，−0.12，−51%．
正数：{ …}；
负数：{ …}；
非负整数：{ …}；
负分数：{ …}．
【答案】 5，98%，1，58，325，10.10，1000.1 −20，−0.1415，−0.10， −789，−13，−0.12，−51% 5，1，325，0 −0.1415，−0.10，−13，−0.12，−51%
【分析】本题考查有理数的意义及有理数的分类，理解有理数的意义和分类方法是正确判断的前提．根据正数、负数、非负整数、负分数的意义逐个进行判断即可．
【详解】解：正数：{5，98%，1，58，325，10.10，1000.1…}；
负数：{−20，−0.1415，−0.10， −789，−13，−0.12，−51%…}；
非负整数：{5，1，325，0…}；
负分数：{−0.1415，−0.10，−13，−0.12，−51%…}．
故答案为：5，98%，1，58，325，10.10，1000.1；−20，−0.1415，−0.10， −789，−13，−0.12，−51%；5，1，325，0；−0.1415，−0.10，−13，−0.12，−51%
2．（24-25七年级上·山东济宁·期中）把下列各数填在相应的括号里．
−3，213，0，−π2，0.1010010001，−12%，6，−0.3，3.14，−27
整数集合：{ …}
负分数集合：{ …}
非负有理数集合：{ …}
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了有理数分类，熟练掌握有理数的相关概念和分类，是解答本题的关键．根据整数、分数、正数、负数以及非负有理数的定义解答即可．
【详解】解：−3，213，0，−π2，0.1010010001，−12%，6，−0.3，3.14，−27．
整数集合：{ −3，0，6}；
负分数集合：{ −12%，−0.3，−27}；
非负有理数集合：{ 213，0，0.1010010001，6，3.14}．
3．（24-25七年级上·四川乐山·期中）把下列各数对应的序号填在相应的大括号内．
①−9.3，②3100，③−20，④0，⑤0.01，⑥−1，⑦−72，⑧3.14，⑨100．
正数集合{ }；
整数集合{ }；
负分数集合{ }；
非负整数集合{ }．
【答案】正数集合{②⑤⑧⑨}；
整数集合{③④⑥⑨}；
负分数集合{①⑦}；
非负整数集合{④⑨}
【分析】本题考查有理数的分类，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握；根据有理数的分类进行分类即可．
【详解】解：正数集合{②⑤⑧⑨}；
整数集合{③④⑥⑨}；
负分数集合{①⑦}；
非负整数集合{④⑨}．
4．（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填入相应的集合中：
6，0.75，−3，0，19，−1.2，245，−13．
正分数集合：{_______…}；
正整数集合：{_______…}；
负分数集合：{_______…}；
非正整数集合：{_______…}．
【答案】0.75，245；6，19；−1.2，−13；−3，0；
【分析】本题考查的是有理数的概念与分类；根据正分数，正整数，负分数，非正整数的概念作答即可．
【详解】解：正分数集合：{0.75，245，…}；
正整数集合：{6，19，…}；
负分数集合：{ −1.2，−13，…}；
非正整数集合：{ −3，0，…}．
故答案为：0.75，245；6，19；−1.2，−13；−3，0；
考点四 数轴的三要素及其画法
1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列所画数轴完全正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了数轴，分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目．
【详解】解：A．没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意；
B．没有原点，故此选项错误，不符合题意；
C．规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意；
D．各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
2．（24-25七年级上·福建莆田·期中）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了数轴的三要素，根据数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度逐一判断即可，正确理解数轴的“三要素”是解题的关键．
【详解】解：A、正方向反了，不符合题意；
B、单位长度不统一，不符合题意；
C、没有正方向，不符合题意；
D、满足数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度，符合题意；
故选：D．
3.（24-25七年级上·云南昭通·期中）下列数轴正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是数轴三要素，根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度且单位长度要统一，解答即可.
【详解】A、单位长度不统一，故该选项不正确，不符合题意；
B、数轴的三要素：原点、正方向与单位长度且单位长度统一，故该选项正确，符合题意；
C、没有正方向，故该选项不正确，不符合题意；
D、 单位刻度的数值标错了，故该选项是错误的；故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
考点五 用数轴上的点表示有理数
1．（24-25七年级上·江西赣州·期中）在图中将数轴补充完整，并将下列各数在数轴上表示出来：+3，−4，−2.5，1，52，−412．
【答案】数轴见解析
【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴有三要素：原点、正方向，单位长度；正数在原点的右边，负数在原点的左边，再结合数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大即可作答．
【详解】根据数轴上的点所表示数的特征，先把数轴补充完整再用数轴上的点表示出所给各数即可．
解：如图所示，
2．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）在图中将数轴补充完整，并将下列各数在数轴上表示出来：
+3，−4，−2.5，0，1，52，−412
【答案】见详解
【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴有三要素：原点、正方向，单位长度；正数在原点的右边，负数在原点的左边，再结合正数大于0，0大于负数进行逐个表示，即可作答．
【详解】解：如图所示：
3．（22-23七年级上·全国·课后作业）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数．
−3，212，−1.5，0，+3.5，4
【答案】作图见解析
【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，根据正数在原点右边，负数在原点左边即得．解题的关键是在数轴上正确找出各个点．
【详解】解：如图所示，
4．（24-25七年级上·广东阳江·期中）将下列各数在给出的数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“