第1章 有理数单元复习-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（华东师大版）

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【考点1】正负数
【考点2】相反意义的量表示
【考点3】有理数的概念辨析
【考点4有理数的分类
【考点5】数轴和数轴上的点所表示的数．
【考点6】倒数的概念、相反数的概念和相反数的性质运用
【考点7】绝对值定义、绝对值的性质与化简
【考点8】非负性的性质
【考点9】有理数的加减运算
【考点10】有理数乘除法运算
【考点11】有理数的乘方
【考点12】有理数混合运算
【考点13】科学计数法和近似数的表示
【考点14】有理数实际应用
知识点1 ：正数和负数
（1）概念
正数：大于0的数叫做正数。
负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。
注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。
（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）
意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。
知识点2： 有理数
（1）概念
整 数：正整数、0、负整数统称为整数。
分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）
注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。
（2）分类：两种
⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类：
正有理数 正整数 正整数
有理数 正分数 整数 0
零 有理数 负整数
负有理数 负整数 分数 正分数
负分数 负分数
知识点3：数轴
（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度
（2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。
比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。
（3）应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。
（注意不带“+”“—”号）
知识点4：相反数
（1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。
（0的相反数是0）
几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
（2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，
若a＋b=0，则a与b互为相反数。
两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。
（3）多重符号的化简
多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数
（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）
知识点5:绝对值
（1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）
（2）代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数
0的绝对值是0
（3）代数符号意义：
a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0
a = 0， |a|=0
a＜0， |a|=‐
注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。
（4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。
（5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0
1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
（6）比较大小
2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。
两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。
知识点6 ：加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
⑶一个数同0相加，仍得这个数。
知识点7：加法运算定律
（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a
加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）
知识点8 ：减法法则
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
即a－b=a＋（﹣）b
知识点9：乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数同0相乘，都得0。
（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。
（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。
知识点10 ：除法法则
（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。
知识点11： 倒数
（1）定义： 的两个数互为倒数。
（2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。
注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 .
知识点12：乘法运算定律
（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。
知识点13：乘方法则运算
（1）正数的任何次幂都是正数
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
（3）0的任何正整数次幂都是0
知识点14：混合运算
（1）先乘方，再乘除，最后加减。
（2）同级运算，从左到右的顺序进行。
（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。
知识点15：科学计数法
1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚
注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1
2.近似数的精确度：两种形式
（1）精确到某位或精确到小数点后某位。
（2）保留几个有效数字
注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示
例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105
有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。
注：（1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。
（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。
例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。
【考点1】正负数
1．（2025·重庆开州·模拟预测）下列四个数中，是负数的是（ ）
A．−1B．0C．1D．2
2．（2025·江西九江·模拟预测）若将气温零上10℃记作+10℃，则−2℃表示气温（ ）
A．零上8℃B．零下8℃C．零上2℃D．零下2℃
3．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）中国是历史上最早认识和使用负数的国家，成书于东汉前期的《九章算术》．在粮谷计算中，益实五斗记为+5斗，那么损实九斗记为（ ）
A．−5斗B．+5斗C．−9斗D．+9斗
4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，⋯⋯，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是（ ）
A．2763B．−2763C．3672D．−3672
【考点2】相反意义的量表示
1．（2025·湖南·模拟预测）2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，如果体重上升1kg记作+1kg，那么体重下降2kg可以记作（ ）
A．+2kgB．−2kgC．−1kgD．+1kg
2．（2025年云南省玉溪市玉溪第四中学玉溪六中中考三模数学试题）中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作−500年，那么公元2025年应记作（ ）
A．−2025年B．+1525年C．+2025年D．+2525年
3．（2025·辽宁铁岭·三模）某中学篮球队的平均身高为178cm，如果高于平均身高3cm记作+3cm，那么低于平均身高1cm应该记作（ ）
A．−1cmB．+1cmC．177cmD．179cm
4．（2025·福建泉州·二模）某仓库记账员为方便记账，将进货100件记作+100，那么出货50件应记作 ．
【考点3】有理数的概念辨析
1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在3.14，−227，0，π3，65%，−2.4040040004⋅⋅⋅（每两个4之间依次多1个0），−2025中，有理数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．（24-25七年级上·北京·期中）在有理数0，−2022，310，−12中，负分数是（ ）
A．0B．−2022C．310D．−12
·辽宁丹东·期中）在实数6,3−23,−π3,−3.143,1.61中，有理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列说法正确的是（ ）
A．3.14不是分数
B．不带“−”号的数都是正数
C．0是自然数也是正数
D．有理数分为正有理数、0和负有理数
【考点4有理数的分类
1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）把下列各数的序号填在相应的集合里：
①−35，②0.2，③ −47，④0，⑤ −212， ⑥π，⑦−2.3，⑧+320．
整数集合：{ __________________ }；
负分数集合：{ __________________ }；
正有理数集合：{ __________________ }．
2．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中：
15,−12,−81%,227,0,−(+4),π,−1.6
正有理数数集合：｛ ……｝
负分数集合：｛ ……｝
非负整数集合：｛ ……｝
有理数集合：｛ ……｝
3．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）将下列各数填在相应的集合里．
−3.8，−10，4.3，−207，42，π，3，1.010010001…，0，−−35
整数集合：{ }；
负有理数集合：{ }；
正分数集合：{ }；
非负整数集合：{ }．
4.（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）将下列各数填入它所属的集合内：+6，−18，2024，−3.14，0，95%，227，−1.8，−35，0.67．
(1)正有理数集合：{ …}．
(2)负有理数集合：{ …}．
(3)整数集合：{ …}．
【考点5】数轴和数轴上的点所表示的数．
1．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列四个数轴的画法中，规范的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图，数轴上蘑菇盖住的点表示的数，可能是（ ）
A．−2.2B．−1.7C．1.68D．−1.1
3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）数轴上A，B两点对应的数分别是−1.3和92，则A，B两点之间的整数有 个．
4．（24-25七年级上·云南文山·期中）将下列各数在数轴上表示出来：−3.5，32，0，+4，−12，并按从小到大的顺序将它们用“”“