专题4.13 余角和补角（基础篇）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题4.13 余角和补角（基础篇）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共20页。试卷主要包含了求一个角的余角，求一个角的补角，余角与补角的有关计算，同角相等等内容，欢迎下载使用。

类型一、求一个角的余角
1．如果一个角的度数为，那么它的余角的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示，，垂足为，是过点的一条直线，则下列关于与的关系一定成立的是（ ）
A．互为对顶角B．互补C．相等D．互余
3．已知，，下列说法正确的是（ ）
A．是余角B．是补角
C．是的余角D．和都是补角
类型二、求一个角的补角
4．若一个角为65°，则它的补角的度数为（ ）
A．25°B．35°C．115°D．125°
5．如图，是直线上一点，，射线平分，．则（ ）
A．B．C．D．
6．下列图形中，∠1与∠2互为补角的是（ ）
A．B．C．D．
类型三、余角与补角的有关计算
7．如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
8．已知:如图, ,垂足为,为过点的一条直线,则与的关系一定成立的是( )
A．相等B．互补C．互余D．互为对顶角
9．如图，若将三个同样大小的正方形（每个角都是90°）的一个顶点重合放置，则的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
类型四、同角（等角）的余角（补角）相等
10．如图，垂足为D，，下列结论正确的有（ ）
（1）；（2）；（3）与互余；；（4）与互补．
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图，已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，则图中与∠A相等的角是( )
A．∠1B．∠2C．∠BD．∠1、∠2和∠B
12．如图，若，，则图中与互余的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
填空题
类型一、求一个角的余角
13．若∠A＝48°36′，则∠A的余角为_______度．
14．已知一个角的补角是它的余角的4倍，那么这个角的度数是______．
15．如图，是直角，已知，那么______度．
类型二、求一个角的补角
16．一个角的余角比这个角少，则这个角的补角度数为__________．
17．如图，，，则图中互为补角的角共有______对．
18．如图，某海域有三个小岛，，，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，观测到小岛在它南偏东的方向上，则的补角的度数是________．
类型三、余角与补角的有关计算
19．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为_____．
20．下列说法中：①射线AB与射线BA表示同一条射线．②若∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，则∠2=∠3．③一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫这个角的平分线；④连结两点的线段叫做两点之间的距离．⑤40°50′=40.5°．⑥互余且相等的两个角都是45°，那么，其中正确的是_____（把你认为正确的序号都填上）
21．如图，BD平分，.若，则________.
类型四、同角（等角）的余角（补角）相等
22．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．若∠AOD＝25°，则∠AOC＝_____．
23．如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是________．
24．如图，已知是直线上的一点，平分，，图中相等的角有对，互余的角有对，互补的角有对，则________．
三、解答题
25．如图，点A，O，B在同一直线上，∠AOC=120°，OD是∠AOC的平分线，且∠DOE=90° ．
（1）求∠BOE的度数．
（2）直接写出图中所有与∠AOD互余的角．
26．直线AB，CD交于点O，将一个三角板的直角顶点放置于点O处，使其两条直角边OE，OF，分别位于OC的两侧．若OC平分∠BOF，OE平分∠COB．
（1）求∠BOE的度数；
（2）写出图中∠BOE的补角，并说明理由．
27．如图，已知和都是的余角，、分别为和的角平分线，如果
(1)求的度数；
(2)求的度数.
28．完成推理填空：如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．
解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°（ ）
∴∠EOF＝ °
又∵OF是∠AOE的角平分线（ ）
∴∠AOF＝ ＝56°（ ）
∴∠AOC＝∠ —∠ ＝ °
∴∠BOD＝∠AOC＝ °（ ）
29．已知：如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC的平分线，∠COD与∠COE互余
求证：∠AOE与∠COE互补.
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵O是直线AB上一点
∴∠AOB=180°
∵∠COD与∠COE互余
∴∠COD+∠COE=90°
∴∠AOD+∠BOE=_________°
∵OD是∠AOC的平分线
∴∠AOD=∠________（理由：_______________）
∴∠BOE=∠COE（理由：________________）
∵∠AOE+∠BOE=180°
∴∠AOE+∠COE=180°
∴∠AOE与∠COE互补
30．已知：是内部一条射线，是的平分线，是的平分线．
（1）如图①所示，若，，三点共线，则的度数是 ，此时图中共有 对互余的角．
（2）如图②所示，若，求的度数．
（3）直接写出与之间的数量关系．
参考答案
1．D
【分析】根据“和为90度的两个角互为余角，1°=；=”进行计算即可．
解：依题意得：，
的余角的度数为，
故选：D．
【点拨】本题考查了余角，度分秒的换算，此题属于基础题，比较简单，解题关键是记住互为余角的两个角的和为90度．
2．D
【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠AOE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余，从而求解．
解：图中，∠2=∠AOE（对顶角相等），
又∵AB⊥CD，
∴∠1+∠AOE=90°，
∴∠1+∠2=90°．
故选：D．
【点拨】本题考查了余角和补角，垂线的定义以及对顶角相等的性质，是基础题型．
3．C
【分析】根据余角和补角的定义求解．
解：由题意得，
、是的余角，原说法错误，故本选项错误；
、是的补角，原说法错误，故本选项错误；
、是的余角，原说法正确，故本选项正确；
、是的补角，原说法错误，故本选项错误；
故选：．
【点拨】本题考查余角和补角的应用，熟练掌握余角和补角的定义是解题关键．
4．C
【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式进行计算即可得解．
解：180°﹣65°=115°．
故它的补角的度数为115°．
故选C
【点拨】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是熟记互为补角的和等于180°．
5．B
【分析】先根据射线平分，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根据，可得∠GEB=∠GEF-∠BEF即可得出答案．
解：∵，
∴∠CEF=140°，
∵射线平分，
∴∠CEB=∠BEF=70°，
∵，
∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°，
故选：B．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，补角，掌握知识点灵活运用是解题关键．
6．C
【解析】
【分析】分析每个图形中∠1与∠2的和是否等于180°便可得出答案.
解：互为补角的两个角之和为180°，观察各图形可知只有C中两个角的和为180°.
故选:C.
【点拨】本题是判断补角的问题，关键是掌握补角的定义；两个角的和为180°，则这两个角互为补角；
7．B
【分析】首先根据补角的定义求得这个角的度数，然后根据余角的定义即可求出这个角的余角．
解：根据定义一个角的补角是150°，
则这个角是180°-150°=30°，
这个角的余角是90°-30°=60°．
故选B．
【点拨】此题主要考查的是补角和余角的定义，属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为90°；互为补角的两个角的和为180°．
8．C
【分析】根据互余的定义，结合图形解答即可.
解：∵，
∴∠BOC=90°，
∴∠1+∠COE=90°.
∵∠2=∠COE，
∴∠1+∠2=90°，
∴与互余.
故选C.
【点拨】本题考查了垂直的定义，对顶角的性质，以及余角的定义，如果两个角的和等于90°那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角.
9．D
【分析】根据已知条件，结合余角的性质，计算，，再由角的和差解题即可．
解：如图，
故选：D．
【点拨】本题考查角的运算、余角等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．C
【分析】根据余角和补角的性质即可得到结论；
解：∵，，
∴，
∴，
∴，故（1）正确；
同理可得，故（2）正确；
∵，
∴与互余，故（3）正确；
∵＜，
∴＜，
∴与不互补，故（4）错误；
故答案选C．
【点拨】本题主要考查了余角和补角的知识点，准确分析判断是解题的关键．
11．B
【分析】
解：∵∠ACB= 90°，即∠1+∠2= 90°
又∵在Rt△ACD 中，∠A+∠1=90°
∴∠A=∠2
故选：B.
12．D
【分析】由垂直的定义可得，，再由平行得，，由等量代换即可得出所有与∠1互余的角.
解：
如图，∵，
∴，.
又∵，
∴，，
∴，.
∴与互余的角有、、、，共4个.
故选D.
【点拨】错因分析：不能熟练的运用平行线的性质和余角的定义.
本题考查了平行线的性质和余角的定义，根据平行线的性质得到相等的角，再进行等量代换是解题的关键.
13．41.4
【分析】根据余角的定义进行计算即可．
解：若∠A＝48°36′，
则∠A的余角为90°﹣48°36′＝89°60′﹣48°36′＝41°24′；
41°24′＝41.4°．
故答案为：41.4．
【点拨】本题考查了余角的定义，熟记余角的定义和度、分、秒的换算是解题的关键．
14．60°
【分析】根据互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，表示出余角和补角，然后列方程求解即可．
解：设这个角为x，则补角为（180°﹣x），余角为（90°﹣x），
由题意得，4（90°﹣x）＝180°﹣x，
解得：x＝60，即这个角为60°．
故答案为：60°．
【点拨】本题主要考查了余角和补角的定义，属于基础题，解题的关键是熟练掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．
15．30
【分析】要求∠COB，就要根据把给的角的比值设出未知数，列出方程求解．
解：设∠AOC=2x，
那么∠COD=x，∠DOB=2x，
∵∠AOB是直角，
∴∠AOC+∠BOC=90°，
∴2x+2x-x=90°，
解得x=30°，
那么∠DOB=2x=60°，
∠COD=x=30°，
∠COB=∠DOB-DOC=30°．
故答案为：30．
【点拨】本题考查了角的运算，解决本题的关键是利用题中所给比值得到和所求角相关的角的度数．
16．125
【分析】设这个角的度数为x度，先根据“一个角的余角比这个角少20°求出x，再根据补角的定义求解.
解：解:设这个角的度数为x度，
则x-(90-x)＝20
解得:x＝55，
即这个角的度数为55°
所以这个角的补角为180°-55°＝125°
故答案为125
【点拨】本题主要考查的是余角和补角的定义，依据题意列出关于x的方程是解题的关键.
17．3对
【分析】根据题意，补角的定义是两个角的和为180°即可得出结论．
解：由题意知，∵，，
∴∠BOD=45°，∠AOD=135°，
∴互补的角为：∠BOD和∠AOD，∠COD和∠AOD，∠AOC和∠BOC,共3对，
故答案为：3对．
【点拨】本题考查了补角的定义，掌握补角的定义是解题的关键．
18．
【分析】首先求出的度数，然后利用补角的概念求解即可．
解：∵是表示北偏东方向的一条射线，是表示南偏东方向的一条射线，
∴，
∴的补角的度数是．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查补角，掌握补角的概念是解题的关键．
19．140°
分析：直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案．
解：∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，
∴∠EOB=90°，
∵∠EOD=50°，
∴∠BOD=40°，
则∠BOC的度数为：180°-40°=140°．
故答案为140°．
点睛：此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义，正确把握相关定义是解题关键．
20．②⑥
【分析】根据射线的定义，同角的补角相等，角平分线的定义，两点之间的距离的定义，度分秒的换算以及余角的定义对各小题分析判断即可得解．
解：①射线AB与射线BA不表示同一条射线，因为它们的端点不同，故本小题错误；
②若∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，则∠2=∠3，正确；
③应为一条射线把一个角分成两个角相等的角，这条射线叫这个角的平分线，故本小题错误；
④应为连结两点的线段的长度叫做两点之间的距离，故本小题错误；
⑤40°50′≈40.83°，故本小题错误；
⑥互余且相等的两个角都是45°，正确．
综上所述，说法正确的有②⑥共2个．
故答案为②⑥
【点拨】本题考核知识点：余角和补角；直线、射线、线段；两点间的距离；度分秒的换算；角平分线的定义．
21．70°
【解析】
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD=∠ABC=20°，根据垂直的定义得到∠DBE=90°，根据角的和差即可得到结论．
解：∵BD平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴∠ABD=∠ABC=20°，
∵BE垂直BD，
∴∠DBE=90°，
∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=70°，
故答案为：70°．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握角平分线定义是解题的关键．
22．115°
【分析】根据角的和差关系计算即可．
解：由图可知，∠COD＝90°，
∴．
故答案为115°．
【点拨】本题考查了余角和补角，主要利用了三角板的知识以及同角的余角相等．
23．∠COB
解：根据题意可得∠AOD+∠BOD=∠BOC+∠BOD=90°，根据同角的余角相等，即可得∠AOD=∠BOC．
考点：余角的性质．
24．16
【分析】根据等量代换以及互余、互补的概念即可分别确定x，y，z的值．
解：因为平分，
所以，，．
因为，
所以，
所以相等的角有，，，，；
互余的角有与，与，与，与；
互补的角有与，与，与，与，与，与，与，
图中相等的角有5对，互余的角有4对，互补的角有7对，所以．
故答案为：16．
【点拨】本题考查了等角、互余、互补等概念，解题的关键是熟知基本概念，并逐一判断，做到不遗漏、不重复．
25．（1）∠BOE=30°；（2）∠COE，∠BOE
【分析】（1）利用OD是∠AOC的平分线，得出求出∠AOE，再利用平角的意义求得问题；
（2）利用互余两角的和是90°写出即可．
解：解:（1）∵OD平分∠AOC， ∠AOC=120°，
∴∠AOD=∠COD= ∠AOC=60°．
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=150°．
∵∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠BOE=30°．
（2）∵∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=90°，
∵∠COD=60°，∠BOE=30°
∴∠COD+∠BOE=90°，
∴与∠AOD互余的角∠COE，∠BOE．
【点拨】此题考查两角互余的关系、角平分线的意义、平角的意义，以及角的和与差等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
26．（1）30°；（2）∠BOE的补角有∠AOE和∠DOE．
【分析】（1）根据OC平分∠BOF，OE平分∠COB．可得∠BOE＝∠EOC＝∠BOC，∠BOC＝∠COF，进而得出，∠EOF＝3∠BOE＝90°，求出∠BOE；
（2）根据平角和互补的意义，通过图形中可得∠BOE+∠AOE＝180°，再根据等量代换得出∠BOE+∠DOE＝180°，进而得出∠BOE的补角．
解：（1）∵OC平分∠BOF，OE平分∠COB．
∴∠BOE＝∠EOC＝∠BOC，∠BOC＝∠COF，
∴∠COF＝2∠BOE，
∴∠EOF＝3∠BOE＝90°，
∴∠BOE＝30°，
（2）∵∠BOE+∠AOE＝180°
∴∠BOE的补角为∠AOE；
∵∠EOC+∠DOE＝180°，∠BOE＝∠EOC，
∴∠BOE+∠DOE＝180°，∴∠BOE的补角为∠DOE；
答：∠BOE的补角有∠AOE和∠DOE；
【点拨】考查角平分线的意义、互补、邻补角的意义等知识，等量代换和列方程是解决问题常用的方法．
27．（1）50°；（2）90°
【分析】（1）根据∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角，则∠AOB=∠COD=90°−∠BOC，再有∠AOD=∠AOB+∠BOD=∠AOB+90°，及∠AOD=130°，可得∠BOC的度数；
（2）由（1）可知∠BOC =50°，结合角平分线定义，可得∠EOB、∠COF度数,再加∠BOC的度数即可.
解：(1)∵∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角，
∴∠AOB=90°−∠BOC ,
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=∠AOB+90°
又∵∠AOD=130°，
∴90°−∠BOC+90°=130°,
∴∠BOC =50°;
(2)∵∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角，
∴∠AOB=∠COD=40°,
∵OE、OF分别为∠AOB和∠COD的角平分线
∴∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF=×40°=20°,
∴∠EOF=∠BOE+∠BOC+∠COF=20°+50°+20°=90°.
【点拨】此题考查了余角定义，角平分线定义．正确的理解余角和角平分线的定义是解决问题的关键.
28．已知；56；已知；∠EOF；角平分线定义；AOF；COF；22；22；对顶角相等
【分析】根据余角定义可得∠EOF的度数，然后再计算∠AOC的度数，再根据∠EOC=90°可得∠AOC+∠EOB=90°，∠BOD+∠EOB=90° 可得∠BOD=∠AOC=22°．
解：∵∠EOC=90°
∠COF=34° （已知）
∴∠EOF=90°-34°=56°，
∵OF是∠AOE的角平分线
∴∠AOF＝∠EOF＝56°（角平分线定义）
∴∠AOC=∠AOF-∠COF=22°，
∴∠BOD=∠AOC=22° （同角的余角相等），
【点拨】此题主要考查了邻补角和对顶角，以及余角的性质，关键是正确理清图中角之间的关系．
29．90；COD；角平分线所平分的两角相等；如果两个角相等，那么它的余角也相等
【分析】首先根据平角的定义得出∠AOB=180°，然后根据余角的性质得出∠AOD+∠BOE=90°，再由角平分线的性质得出∠AOD=∠COD，进而得出∠BOE=∠COE，从而得出∠AOE+∠COE=180°，即可得证.
解：∵O是直线AB上一点
∴∠AOB=180°
∵∠COD与∠COE互余
∴∠COD+∠COE=90°
∴∠AOD+∠BOE=90°
∵OD是∠AOC的平分线
∴∠AOD=∠COD（理由：角平分线所平分的两角相等）
∴∠BOE=∠COE（理由：如果两个角相等，那么它的余角也相等）
∵∠AOE+∠BOE=180°
∴∠AOE+∠COE=180°
∴∠AOE与∠COE互补
【点拨】此题主要考查平角、余角和角平分线的性质，熟练掌握，即可解题.
30．（1）；4；（2）；（3）．
【分析】（1）由角平分线的性质可得：，从而可得的大小，由 结合角平分线的定义可得互为余角的角；
（2）由角平分线的性质可得：，从而可得的大小；
（3）由（2）可得：，从而可得答案．
解：（1）是的平分线，是的平分线，
，，
，

图中互余的角有：与，与，与，与共4对，
故答案为：；4；
（2）是的平分线，是的平分线，
，，
（3）如图②，
是的平分线，是的平分线，
，，
即：．
【点拨】本题考查的是角的和差关系，互余的概念，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．