暑假作业11 基本立体图形、直观图及几何体的表面积与体积-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

这是一份暑假作业11 基本立体图形、直观图及几何体的表面积与体积-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019），文件包含暑假作业11基本立体图形直观图及几何体的表面积与体积原卷版docx、暑假作业11基本立体图形直观图及几何体的表面积与体积解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
作业11 基本立体图形、直观图及几何体的表面积与体积
【知识点1 几何体的结构特征】
1.多面体的结构特征
2．正棱柱、正棱锥的结构特征
(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
3．旋转体的结构特征
【知识点2 直观图】
斜二测画法规则：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．
【知识点3 几何体的表面积与体积】
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
2．柱体、锥体、台体和球的表面积和体积
eq \a\vs4\al([常用结论])
1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：
2．多面体的内切球与外接球常用的结论
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝
(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝，内切球半径，外接球半径
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：几何体的结构特征（易错）】
1.下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱的所有面均为平行四边形
B．球面上四个不同的点一定不在同一平面内
C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D．在正方体的所有顶点中取4个点，则由这4个顶点可以构成三个面是直角三角形，一个面是等边三角形的四面体
2．下列说法正确的是________．
①一个棱锥至少有四个面；
②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；
③五棱锥只有五条棱；
④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．
【题型二：多面体的展开图（易错）】
3．某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)( )
4.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )
A．2 B．6 C．快 D．乐
【题型三：多面体中的有关计算（高频）】
5.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为（ ）
A.1 B.2 C. 2eq \r(3) D.3
6.一个正四棱锥的侧棱长为10，底面边长为，该四棱锥截去一个小四棱锥后得到一个正四棱台，正四棱台的侧棱长为5，则正四棱台的高为（ ）
A．5B．4C．3D．2
7.一个直平行六面体的侧棱长是9,底面相邻的两边的长都是6,底面四边形的一个内角是60°,则此直平行六面体的体对角线长是 .
8.正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则该正三棱锥的高为 ，侧面上的斜高为 .
【题型四：旋转体中的有关计算（高频）】
9.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是4，则此圆柱的下底面面积为____.
10.一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
【题型五：对斜二测画法的理解（易错）】
11.（多选）关于斜二测画法，下列说法正确的是（ ）
A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行
B．若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为
C．一个梯形的直观图仍然是梯形
D．在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直
12.（多选）关于斜二测画法所得直观图的说法错误的是（ ）
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
【题型六：直观图的计算问题（高频）】
13．已知水平放置的等边的边长为4，则该三角形斜二测直观图的面积为（ ）
A．B．3C．D．
14. 已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形（如图所示），则顶点对应的点到轴的距离是（ ）
A．B．C．D．
15. 已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为
【题型七：空间几何体的表（侧）面积（易错）】
16. 已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
17.某厂生产一批圆台形灯罩，灯罩的上、下底面都是空的，上、下底面的半径之比为1:2，高为15cm，母线长为25cm．现要对100个这样的灯罩的内、外表面都涂上一层防潮涂料，若每平方米需要100克涂料，则共需涂料（ ）
A．克B．克C．克D．克
18.在正四棱台中，，则该棱台的侧面积为 ．
【题型八：空间几何体的体积（易错）】
19. 已知在三棱锥中，，，则三棱锥的体积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
20.如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的体积为（ ）
A．B．189C．D．126
21．如图是一个直径为12cm的球形容器和一个底面直径为6cm、深8cm的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（ ）
A．3杯B．4杯C．5杯D．6杯
【答案】B
22．若圆锥的表面积为，且其母线长是底面半径的3倍，则圆锥的体积为 .
23．已知圆锥的底面圆半径为2，体积为，两条母线的夹角为
(1)求圆锥的侧面积；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求三棱锥的高．
【题型一：几何体的截面（易错）】
1．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（ ）
A．B．C．D．
2．如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等腰梯形
C．五边形D．六边形
3.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( )
A．4 B．3
C．2 D．0.5
4.正四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于a,过不相邻的两条侧棱作截面,则截面的面积为 .
【题型二：几何体表面上两点间距离的最值（难点）】
5．如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A．B．4C．D．6
7．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到点所经过的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在正三棱锥中，，三条侧棱两两夹角均为，，分别是，上的动点，则三角形的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝2，BC＝eq \r(3)，AC＝1，AA1＝3，F为棱AA1上的一动点，则当BF＋FC1最小时，△BFC1的面积为________．
【题型三：几何体的外接球（难点）】
10.已知直三棱柱ABC­A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且∠BAC＝eq \f(3π,4)，AA1＝BC＝2，则球O的体积为( )
A．4eq \r(3)π B．8π C．12πD．20π
11.在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（）
A．B．C．D．
12.已知正三棱台的上底面边长为，高为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
13．已知正四棱锥中，，若此正四棱锥的外接球为球，则侧面所在平面被球所截的面积为（ ）
A．B．C．D．
14．三棱锥中，，面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是 .
15．已知圆锥的底面半径，高.
(1)求此圆锥的表面积；
(2)若圆锥在球内，求球的表面积的最小值；
(3)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值.
【题型四：几何体的内切球（难点）】
15．（多选）下列立体图形中，一定有内切球的是（ ）
A．正四面体B．直三棱柱
C．正三棱台D．正四棱锥
16．已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
17．如图，在棱长为的正方体内有两个球相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
18．在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为
19．如图1，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．设O是△ABC的内切圆圆心，r是△ABC的内切圆半径，设S是△ABC的面积，l是△ABC的周长，由等面积法，可以得到．
(1)与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球．设三棱锥的体积是V，表面积是S，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径公式R内（只写结论即可，不必写推理过程）；
(2)若多面体的所有顶点都在同一球上，则该球为多面体的外接球，如图2，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA = PB = PC = 1，求三棱锥P－ABC的内切球半径和外接球的半径．
【题型一：数学文化题（高频）】
1．《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作，成书于公元一世纪左右，书中商功章记载有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高三丈，问积几何？”．大致意思是：现有一个圆台，下底面圆的周长为3丈，上底面圆的周长为2丈，高为3丈，则它的体积是（ ）立方丈．
A．B．C．D．
2．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
3．清乾隆云龙纹双螭龙耳方形炉摆件，是乾隆时期玉雕工艺的杰出代表．它玉质细腻，古韵十足，线条流畅，造型规整，雕刻着精美的云龙纹与螭龙耳，底部落“乾隆年制”款，尽显皇家气派．这件方形炉摆件可近似看作台体，高约，上底面与下底面为相似长方形，上底面的长约，宽约，若下底面的长和宽均为上底面长和宽的0.8倍，则该方形炉摆件主体体积约为（ ）
（参考数据：，结果保留一位小数）
A．B．C．D．
4．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为 .
【题型二：新定义题（难点）】
5．从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几何体可以“一笔画”的是（ ）
A．B．
C．D．
6．等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为12，则用长方体其中的四个顶点构成的等腰四面体的体积为（ ）
A．3B．4C．6D．8
7．多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数、棱数与面数满足的数学关系.请运用欧拉定理解决以下问题：
(1)碳的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，求32个面中正六边形面的个数；
(2)规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.证明：任何简单多面体的总曲率是常数；
(3)如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体叫做正多面体.设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为，每个面的边数为，求满足的关系式；并据此说明正多面体仅有以下五种：正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体.名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
互相平行且相等
相交于一点，
但不一定相等
延长线交于
一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且
相等，垂直
于底面
长度相等且
相交于一点
延长线交
于一点
轴截面
全等的矩形
全等的
等腰三角形
全等的
等腰梯形
圆
侧面
展开图
矩形
扇形
扇环
旋转
图形
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆
圆柱
圆锥
圆台
侧面
展开
图
侧面
积公
式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝S底h
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)S底h
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
⭐【知识讲解】
几何体结构特征问题的解题策略：
(1)有关各种几何体结构特征的问题应紧扣各几何体的定义.
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．
⭐【知识讲解】
多面体展开图问题的解题策略：
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推. 同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．
⭐【知识讲解】
破解多面体计算问题的常见策略
(1)截面法:用平面去截多面体，截面为多边形.平行于底面的截面、纵截面等都可以很好地反映立体图形中的数量关系.
(2)构造直角三角形法:在几何运算中，要解决边的问题，我们可以通过作垂线，来构造直角三角形，以达到利用已知求未知的目的.
(3)构造梯形法：正棱台的计算问题，常常将高、斜高、侧棱置于一个三棱台中，再借助该三棱台中的多个梯形来求解.
⭐【知识讲解】
对于圆柱、圆锥、圆台、球中的计算问题主要是研究它们的轴截面，通过寻找轴截面将空间问题转化为平面问题.对于球中的计算问题，则常利用其截面圆性质求解.
⭐【知识讲解】
对斜二测画法中“斜”“二测”的解读
（1）“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；
（2）“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．
⭐【知识讲解】
（1）直观图中的计算问题主要为求平面图形的直观图中线段长或面积，或由平面图形的直观图求原图形的线段长或面积.
（2）直观图的面积问题常常有两种解法：一是利用斜二测画法求解，注意 “斜”及“二测”的含义；二是直接套用等量关系：S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形．
⭐【知识讲解】
.空间几何体表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理
⭐【知识讲解】
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)直接利用公式进行求解．
(2)用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
⭐【知识讲解】
截面问题解题策略
(1)对于多面体的截面问题，常考虑以下两种策略：
= 1 \* GB3 ①依据定义和多面体的结构特征：根据截面的定义，结合多面体的形状、棱与面的关系等，分析截面可能的形状.
= 2 \* GB3 ②考虑特殊位置：关注平面经过多面体的特殊点（如顶点、棱的中点等）或特殊线（如对称轴）时所形成的截面，这些特殊的截面往往具有特殊的性质和形状，有助于解题.
(2)圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面分别为矩形、等腰三角形、梯形、圆.
(3)对于旋转体的其他截面问题，要利用好空间想象力，想象用一个平面截旋转体，平面与旋转体的交线情况u况，从而确定截面的形状.
⭐【知识讲解】
求几何体表面上两点间的最小距离的步骤
(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；
(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；
(3)结合已知条件求得结果．
⭐【知识讲解】
球与几何体相接问题的解题思路：
（1）球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解.
（2）长方体的对角线恰好是其外接球的一条直径，故对于一些可以补形成长方体的几何体的外接球问题，题，也可将其补形成长方体，再利用上述结论速解.
⭐【知识讲解】
解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系.