暑假作业09 复数-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

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作业09 复数
【知识点1 复数的概念及几何意义】
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R).
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(4)复数的模：向量 eq \(OZ,\s\up8(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝ eq \r(a2＋b2)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi eq \a\vs4\al(一一对应)复平面内的点Z(a，b) eq \a\vs4\al(一一对应)平面向量 eq \(OZ,\s\up8(→))＝(a，b)．
【知识点2 复数的运算】
1.复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法： eq \f(z1,z2)＝ eq \f(a＋bi,c＋di)＝ eq \f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝ eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋ eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).
2．复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
3．复数运算的几个重要结论
(1)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．
(2)eq \x\t(z)·z＝|z|2＝|eq \x\t(z)|2， |z1·z2|＝|z1|·|z2|， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z1,z2)))＝ eq \f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.
(3)若z为虚数，则|z|2≠z2.
(4)(1±i)2＝±2i.
(5)eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
(6)i的周期性：i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：复数的有关概念（易错）】
【知识讲解】
解决复数概念问题的方法及注意事项：
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(3)复数是实数的条件：
①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；
②z∈R⇔z＝eq \x\t(z)；③z∈R⇔z2≥0.
(4)复数是纯虚数的条件： ①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R); ②z是纯虚数⇔z＋eq \x\t(z)＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2