暑假作业13 空间直线、平面垂直-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

这是一份暑假作业13 空间直线、平面垂直-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019），文件包含暑假作业13空间直线平面垂直原卷版docx、暑假作业13空间直线平面垂直解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
作业13 空间直线、平面垂直
【知识点1 直线与平面垂直】
1．直线与平面垂直
(1)定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
2．直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)线面角θ的范围：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
【知识点2 平面与平面垂直】
1．二面角
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
②二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．
③二面角α的范围：eq \a\vs4\al([0，π]).
2．两平面垂直
(1)定义：当两平面所成的二面角为直二面角时，称这两个平面垂直.
(2)判定定理与性质定理
[常见结论]
(1)两个重要结论
①若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
②若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
(2)使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．
(3)三种垂直关系的转化
线线垂直eq \(,\s\up7(判定定理),\s\d5(性质))线面垂直eq \(,\s\up7(判定定理),\s\d5(性质定理))面面垂直
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：与垂直关系有关的命题真假的判断（易错）】
1．已知是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若、，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
2．已知、、为三条不同的直线，、为两个不同的平面，则（ ）
A．由，，，得与平行或者异面
B．由，，，得或
C．由，，得
D．由，，，，得
【题型二:线面垂直的判定（重点）】
3.如图，平行四边形中， ， ， ， ， 分别为， 的中点，求证：平面.
4.如图所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面.
M
【题型三:面面垂直的判定（重点）】
5.如图所示，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60º，∠BSC=90º.
求证：平面ABCD⊥平面BSC.
A
B
S
C
O
6. 如图，四棱锥的底面是菱形，底面，分别是的中点，，，
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
【题型四:线面垂直的性质定理的应用（重点）】
7.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证：AP∥GH.
8．如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
【题型五:面面垂直的性质定理的应用（重点）】
9．如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF，
求证：EA⊥平面ABCD.

10.如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC.
求证：BC⊥AC.
【题型六：与垂直有关的补充条件题（高频】
11．已知平面，和直线，给出以下条件：①；②；③；④.要想得到，则所需要的条件是 ．（填序号）
12．已知是不重合的平面，l是直线，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．当满足条件 时，有；当满足条件 时，有．（填序号）
【题型七:线面角的求解（高频）】
13．已知三棱锥的体积为1，是边长为2的正三角形，且，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．1
14．如图，在直四棱柱中，底面为正方形且边长为3，与底面所成角的正切值为，则该直四棱柱的侧棱长为（ ）
A．B．C．2D．
15．已知四面体，若，，则直线与平面所成角为 ．
【题型八:二面角的求解（高频）】
16．如图，点在以为直径的圆的圆周上，平面，则二面角的平面角为（ ）
A．B．C．D．
17.如图，在三棱锥中，平面，若，，则二面角的大小为 .

18．在矩形中，平面，则平面与平面的夹角的正切值为 .
【题型九:空间距离的求解（高频）】
19．在三棱锥中，是边长为1的正三角形，，，，则点B到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
20．已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
21．如图，已知正方体的棱长为，求：

(1)点到直线的距离；
(2)点到平面的距离；
(3)到平面的距离；
(4)平面到平面的距离．
【题型一：垂直关系的综合（重点）】
1. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．平面B．
C．平面D．平面与平面不垂直
2.如图所示，已知三棱锥P­ABC中，PC⊥底面ABC，AB＝BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E.
(1)求证：AP⊥平面BDE；
(2)求证：平面BDE⊥平面BDF.
【题型二：平行与垂直的综合（高频）】
3．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//平面B．
C．D．//平面
4.如图所示，AB为圆锥PO底面的直径，为圆上异于A、B的一点，、分别为AC、PA的中点，连接DO并延长交圆于点．
(1)证明：平面PDE；
(2)证明：平面PBC.
【题型三:垂直关系的实际应用(高频)】
5．上海市政府实施“景观工程”，对现有平顶的民用多层住宅进行“平改坡”，计划将平顶房屋改为尖顶，并铺上彩色瓦片．现对某幢房屋有两种改造方案：方案中坡顶，如图1所示，为底面是等边三角形的直三棱柱，尖顶屋脊与房屋长度等长，有两个坡面需铺上瓦片．方案中坡顶，如图2所示，为图削去两端相同的两个三棱锥而得，尖顶屋脊比房屋长度短，有四个坡面需铺上瓦片．若房屋长，宽，屋脊高为，要使铺设的瓦片比较省，请你选择两种方案中的哪一个？
【题型四：垂直关系与面、体积的综合】
6.如图，已知四棱锥的底面为菱形，.
(1)求证：平面BDS；
(2)若，求四棱锥的体积.
7.如图，在三棱锥ABCD中，已知平面平面，，O为BD的中点．
(1)求证：；
(2)若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，，且二面角的大小为45°，
①求三棱锥的体积．
②求直线与平面所成角的正弦值．
【题型五：垂直关系与空间角的综合（难点）】
8．如图，四面体中，等边的边长为，，，平面平面，则下列选项正确的是（ ）
A．四面体的体积为
B．直线与直线所成角的大小为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．点到平面的距离为3
9．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面PAC平面PCD；
(3)求二面角所成角的余弦值．
.
【题型六：垂直关系与空间距离的综合（难点）】
10．如图， 已知是平面外一点，平面，.
(1)证明：平面；
(2)过点作垂直于，证明：；
(3)若，，求点到平面的距离.
11.如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线到平面的距离；
(3)若点P是平面内的动点，且满足，设直线与平面所成角为，求的最大值．
【题型一：数学文化题（高频）】
1．苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣．《蝶恋花春景》是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：“墙里秋千墙外道．墙外行人，墙里佳人笑．笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼．”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行．在佳人荡秋千的过程中，下列说法中错误的是（ ）
A．秋千绳与墙面始终平行B．秋千绳与道路始终垂直
C．秋千板与墙面始终垂直D．秋千板与道路始终垂直
2．正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是3（如图），则下列说法错误的是（ ）

A．
B．直线BC与平面BEDF所成的角为
C．若点P为棱EB上的动点，则三棱锥F-ADP的体积为定值
D．若点P为棱ED上的动点，则的最小值为
3．如图，已知四面体中，平面，．
(1)求证：；
(2)若在此四面体中任取两条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为，试求的值；
(3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度．
【题型二：与垂直有关的开放、探究性问题（高频）】
4．在直三棱柱中，，当底面满足条件 时，有．（答案不唯一，请填上你认为正确的一种条件即可）
5．已知平面ABCD，则四边形ABCD满足 时，有．（试写出一个满足的条件）
6.如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2.
(1)证明：；
(2)求直线和所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点N，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
【题型三：新定义题（难点）】
7.阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，⋯，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形，．（角的运算均采用弧度制）
(1)若，求四棱柱在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若与平面的夹角的正弦值为，求四棱柱在顶点处的离散曲率；
(3)截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为，与平面交于点，证明：．
8．三余弦定理：设A为平面内一点，过点A的斜线在平面上的正投影为直线．为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角（即直线与平面所成角）为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则．三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理．
(1)证明三余弦定理；
(2)如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值；
(3)已知平行六面体，记为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱长总和，求证：．
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b)) ⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊂β,l⊥α))⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α
⭐【知识讲解】
对于与垂直关系有关的命题，常利用线线、线面、面面垂直间的关系判断其真假，有时也举反例说明命题为假.
⭐【知识讲解】
证明直线与平面垂直的方法有以下六种.
1.定义法
若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面.
2.判定定理法
利用判定定理是判定线面垂直的最主要方法，其关键在于寻找平面内与直线垂直的两条相交直线.
3.平行与垂直的相互转化法
(1)线线平行线面垂直:
如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
(2)面面平行线面垂直:
如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
4.面面垂直的性质法
两平面垂直具有以下性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.即“面面垂直线面垂直”
⭐【知识讲解】
处理平面与平面垂直的判定问题的基本思想仍是“转化”，具体的转化策略有：
1.定义法
如果两个平面相交所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.
即将两平面垂直转化为证二面角的平面角的两条边垂直，这体现了面面垂直与线线垂直间的转化..
2.判定定理法
两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.可简述为“线面垂直，则面面垂直”.
判定定理法是证明两平面垂直的最常用方法,其证题的关键是找到其中一个平面的垂线.
3.平行与垂直的转化法
(1)若一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面垂直.
(2)若两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于第三个平面.
上述两个结论可用来速解选择、填空题，但在解答题中不能直接使用.
⭐【知识讲解】
线面垂直的性质定理主要用来判定线线平行，该性质是由线面垂直关系到线线平行关系的转化，掌握性质的关键是要明确平面的垂线，应用时，只要找到这个平面的两条垂线即可.
⭐【知识讲解】
两个平面垂直的性质定理主要用于解决线面垂直问题，即由面面垂直线面垂直.
运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.
⭐【知识讲解】
这类问题一般根据题设条件先补充条件，再利用垂直的判定或性质定理验证所补充条件的正确性.
⭐【知识讲解】
常用线面角的定义求线面角，其过程为：
一作：作出表示线面角的平面角；
二证：证明所作的角是线面角的平面角；
三求：将线面角对应的平面角放置于某个三角形中，通过解三角形求出该角的大小.
⭐【知识讲解】
二面角的大小是用二面角的平面角来度量的，求二面角的难点和关键是正确作出二面角的平面角，其过程是：一作，二证，三计算.
⭐【知识讲解】
(1)求点线距的实质是求出表示点到平面距离的线段的长度，故找到或作出表示距离的垂线段是解题的关键所在;
(2)点线距有时也利用等体积法求解.
(3)直线与平面的距离、平面与平面的距离往往转化为点到平面的距离求解.
⭐【知识讲解】
空间中的平行和垂直关系是立体几何中两类最重要的位置关系，解决这两类问题的通法就是转化，可以说转化是论证平行与垂直的“必杀技”
⭐【知识讲解】
空间中的平行和垂直关系是立体几何中两类最重要的位置关系，解决这两类问题的通法就是转化，可以说转化是论证平行与垂直的“必杀技”
⭐【知识讲解】
对于垂直关系的实际应用问题，要使问题得到解决，可根据已知条件先将其转化为数学问题，再利用垂直的性质或判定得到相关的垂直关系，借助垂直关系进一步证明或求解相关量的值.
⭐【知识讲解】
这类问题的解决策略是——各个击破，即利用垂直的判定或性质研究垂直问题，利用几何体的面、体积公式解决其面、体积.其中几何体的高往往通过作垂线段或证明垂直关系得到.
⭐【知识讲解】
对于垂直关系与空间角综合的问题，作出空间角的平面角时往往需要构造垂直关系或作出垂线段，如果试题是解答题，必须利用垂直的判定或性质证明相应的垂直关系.
⭐【知识讲解】
对于垂直关系与空间距离综合的问题，作出表示空间距离的垂线时往往需要构造垂直关系或作出垂线段，如果试题是解答题，必须利用垂直的判定或性质证明相应的垂直关系.