暑假作业17 立体几何中的翻折问题、截面问题与动点轨迹问题-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

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作业17 拓展专题7：立体几何中的翻折问题、截面问题与动点轨迹问题
【知识点1 诠释立体几何中的翻折问题】
1.立体几何中的翻折问题的分类
（1）平面图形的折叠.
把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题
（2）几何体表面的展开
把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展开问题.
2.翻折问题注意事项
(1) 平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化，我们称其为“不变量”．求解立体几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键．
(2)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.
【知识点2 补全截面的方法】
以下面的实例为例，讲述补全截面的方法
【典例】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2,AD=3,点E,F分别是AB,AA1的中点,点E,F,C1平面，直线A1D1平面=P，则直线BP与直线CD1所成角的余弦值是

【答案】B
【解析】如图，过点C，E，F作出截面，计算可得余弦值是.
【截面训练基础】
模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图.可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点，
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；
2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只
要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下图：
方法二：平行线法.做法如下图：
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：平面图形折叠后形状的判断（易错）】
1．下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（ ）
A. B. C. D.
2.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形ABCD(如图2),则在空间四边形ABCD中,AD与BC的位置关系是( )
图1 图2
A．相交且垂直 B．相交但不垂直
C．异面且垂直 D．异面但不垂直
【题型二：几何体展开后形状的判断（易错）】
3.把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图）,请根据各面上的图案判断这个正方体是（ ）
4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、 “你”、 “前”分别表示正方体的______________________.
【题型三：几何体表面上最短距离问题（重点）】
5．我县为响应政府号召，大力发展民宿产业.现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）.现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）.若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（ ）
A．B．C．D．
6．在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（ ）
A．6B．C．8D．
【题型四：截面形状的判断（易错）】
7.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ）
A．B．C．D．
8.用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ）
A．直角三角形B．直角梯形C．正五边形D．正六边形
9．在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】B
【解析】在正方体中，取，，
【题型五：求截面周长（重点）】
10.在三棱锥中，，截面与，都平行，则截面的周长等于（ ）
A．B．C．D．无法确定
11．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（ ）

A．B．C．D．
【题型六：求截面面积（重点）】
12．已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（ ）
A．B．C．D．
13．在棱长为2的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（ ）
A．不存在点使得异面直线与所成角为
B．存在点使得异面直线与所成角为
C．存在点使得二面角的平面角为
D．当时，平面截正方体所得的截面面积为
14.已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C，E的平面截得的截面面积为______.
【题型七：截面分体积问题（高频）】
15．在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（ ）
A．2B．C．D．
16.正方体中，E，F分别是棱，的中点，则正方体被截面分成两部分的体积之比为___________.
【题型八：球截面问题（高频）】
17．已知正三棱锥的外接球的表面积为，侧棱，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
18．已知正四面体内接于球，球半径为3，为的中点，过点作球的截面，求截面圆半径的最小值（ ）
A．1B．C．D．
【题型九：平行、垂直中的轨迹问题（重点）】
19．已知每条侧棱长都为6，底面是边长为4的正方形的直四棱柱中，长为4的线段MN的一个端点在棱上运动，点在正方形ABCD内运动，则MN中点的轨迹与该几何体所围成的几何体中较小的几何体的体积是（ ）
A．B．C．D．
20.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体表面上一个动点，满足BP⊥A1C，则点P的轨迹长度为( )
A.2B.22
C.4D.32
21．已知正四棱锥，底面边长为，，交于点，平面，，为的中点，动点在该棱锥的侧面上运动，并且，则点轨迹长度为（ ）
A．1B．C．D．2
22．如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 ．
【题型十：距离、角度中的轨迹问题（重点）】
23．动点在棱长为4的正方体内部及表面运动，动球是以点为球心，半径为1的球，求动点在运动过程中球的轨迹形成的几何体体积（ ）
A．B．C．D．
24.(多选)(2024·朔州模拟)在三棱锥A1-ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AA1=AB=AC=3，P为△A1BC内的一个动点(包括边界)，AP与平面A1BC所成的角为45°，则( )
A.A1P的最小值为6-3
B.A1P的最大值为6+3
C.有且仅有一个点P，使得A1P⊥BC
D.所有满足条件的线段AP形成的曲面面积为32π4
【题型一：折叠后几何体的数字特征（重点）】
1．已知为直角三角形，为直角顶点，分别以边上的高、中线的内角平分线为折线，将三角形折成直二面角，记折叠后的四面体的体积分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
2．已知在中，，，，D是AB的中点，沿着CD将折起，使得点A折叠到点的位置，则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3.如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于．

(1)证明：是的中点；
(2)是上一点，已知二面角为，求的值．
5．已知矩形ABCD中，，，分别为中点，为对角线交点，如图1所示．现将和剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿将，折叠，并使与重合，与重合，连接，得到由平面，，，围成的无盖几何体，如图2所示．

(1)求证：平面；
(2)若为棱上动点，求的最小值；
(3)求此多面体体积的最大值．
【题型二:截面的最值（范围）问题（难点）】
6．若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（ ）
A．B．1C．3D．2
7.已知长方体中，，点在线段上，，平面过线段的中点以及点，若平面截长方体所得截面为平行四边形，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8.在如图所示的直三棱柱中，，，过点作平面分别交棱，于点，，且，，则截面面积的最小值为（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】设，由等面积法可知，推导出平面，，从而，即可求解.
【解析】在中，由，，可得，，
设，在中，，由等面积法可知，
因为，，，，平面，所以平面，
又由平面，所以，所以，
因为，
当且仅当时，等号成立，所以.故选：B.
【题型三 翻折有关的动态轨迹问题（难点）】
9．(多选)如图，在五边形ABCDE中，四边形ABCE为正方形，CD⊥DE，CD=DE=2，F为AB的中点，现将△ABE沿BE折起到平面A1BE位置，使得A1B⊥DE，则下列结论正确的是( )
A.平面BCDE⊥平面A1BE
B.若O为BE的中点，则DE∥平面FOC
C.折起过程中，F点的轨迹长度为π4
D.三棱锥A1-CDE的外接球的体积为6π
10.(多选)如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=33，CD=43，AD=3，点E，F分别为边AB，CD上的点，且EF∥AD，AE=23.将四边形AEFD沿EF折起，如图2，使得平面AEFD⊥平面EBCF，点M是四边形AEFD内的动点，且直线MB与平面AEFD所成的角和直线MC与平面AEFD所成的角相等，则下列结论正确的是( )
A.AC⊥BF
B.点M的轨迹长度为2π3
C.点M到平面EBCF的最大距离为3
D.当点M到平面EBCF的距离最大时，三棱锥M-BCF外接球的表面积为28π
【题型一：数学文化题（高频）】
1.已知平面上两定点A，B，则平面上所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为1的正方体表面上有一动点P满足，则点P在侧面上的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
2．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面截正方体可得两个堑堵，再沿平面截堑堵可得一个阳马（四棱锥），一个鳖臑（三棱锥）．若为线段（除端点外）上一动点，平面过点，平面，设正方体棱长为1，，平面截三棱锥所得截面的面积为，则点从点移动到点的过程中，关于的函数关系式是 ．
【题型二：新定义题(难点)】
3.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．
(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．

①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；
②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值．
4.定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，．
(1)求四棱锥在顶点处的离散曲率；
(2)求四棱锥内切球的表面积；
(3)若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围．⭐【知识讲解】
解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,在图形发生变化的过程中，注意哪些量折叠前后变，哪些量没有发生变化，从而正确画出折叠后的立体图形，并判断其形状或相应量间的关系.
⭐【知识讲解】
几何体表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,对于展开后形状的判断，可以正向突破，即将原几何体沿着某些棱或母线等特殊线展开，从而得到正确的展开图；也可以逆向操作，将各选项对应的展开图折叠，其中能还原成原几何体的选项便为正确选项.
⭐【知识讲解】
几何体表面上的最短距离需要将几何体的表面展开,将其转化为平面内的最短距离,利用平面内两点之间的距离最短求解.
⭐【知识讲解】
截面形状判断的一些基本规律及注意点：
(1)截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数.
(2)不会与同一个表面有两条交线.
(3)与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长）
(4)截面截内切球或者外接球时，要区分与面相切和与棱相切之间的关系.
⭐【知识讲解】
截面周长求法：
(1)可以利用多面体展开图求.
(2)可以在各个表面各自解三角形求解.
⭐【知识讲解】
求截面面积：
(1)判断界面是否规则图形
(2)求截面各边长度
(3)规则图形，可以用对应面积公式求
(4)不规则图形，可以分割为三角形等图形求.
⭐【知识讲解】
对于截面截开几何体，一般情况下，可能会出现不规则几何体，所以求体积，需要采取“切割法”来求
求截面面积.
⭐【知识讲解】
球截面问题求解策略：
(1)确定球心和半径
(2)寻找做出并计算截面与球心的距离
(3)要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中点”这个性质
(4)强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点.
⭐【知识讲解】
动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹.
⭐【知识讲解】
距离、角度有关的轨迹问题
(1)距离：可转化为在一个平面内的距离关系，借助于球或者特殊曲线（如圆）的定义等知识求解轨迹.
(2)角度：直线与面成定角，可能是圆锥侧面；直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面.
⭐【知识讲解】
1.折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等,设计问题综合、全面,也是高考命题的重点.解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应.
2.折叠问题分析求解两原则：
(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；
(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变.
⭐【知识讲解】
截面有关的最值(范围)计算，常考虑以下方法：
(1)极限法，可通过动点运动到两端，计算截面最值（要注意判断是否单调性）
(2)坐标法，可通过建系设坐标，构造对应的函数求最值.
(3)化归法，可以通过图形转化，把立体图形转化为平面图形，寻找平面图形中最值计算.
⭐【知识讲解】
翻折有关的轨迹问题
(1)翻折过程中寻找不变的垂直关系求轨迹.
(2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹.
(3)可以利用空间坐标运算求轨迹.