暑假作业12 空间点线面间的位置关系，空间直线、平面平行-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

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作业12 空间点线面间的位置关系，空间直线、平面的平行
【知识点1 四个基本事实】
1．四个基本事实
(1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内．
(2)基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
拓展：公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(4)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【知识点2 空间点、直线、平面的位置关系】
1．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(相交直线,平行直线)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
②范围：(0°，90°]．
2．空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
(2)空间中平面与平面的位置关系
3.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【知识点3 空间直线、平面平行】
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
eq \a\vs4\al([常用结论])
1.唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ．
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：对平面的基本性质的理解（易错）】
1.下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．平面和平面有不同在一条直线上的三个公共点
2.下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
B．若四点不共面，则其中任意三点不共线
C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分
【题型二：共点、共线、共面问题（重点）】
3.在图示正方体中，O为BD中点，直线平面，下列说法正确的是（ ）．
A．A，C，，四点共面B．，M，O三点共线
C．平面D．与BD异面
4．如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且．
(1)求证：、、、四点共面；
(2)设与交于点，求证：、、三点共线．
5．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．

(1)证明：B，D，E，G四点共面.
(2)证明：三条直线交于一点.
【题型三：直线与直线位置关系的判断（易错）】
6.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
7.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM、EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM、EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
【题型四：异面直线所成的角问题（高频）】
8.在三棱锥A­BCD中，AD=BC，且AD与BC所成的角为60°，若E，F分别是AB，CD的中点，则直线EF与所成的角为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．30°或60°
9.在直三棱柱中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
10.已知三棱锥满足，.
(1)证明：直线与直线是异面直线；
(2)若为的中点，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值.
【题型五：直线与平面位置关系判断（易错）】
11.下列命题中，正确命题的个数是( )
①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；
④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；
⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.
A．0 B．1
C．2 D．3
12．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为m，n，则的值为（ ）

A．7B．8C．9D．10
【题型六：平面与平面位置关系的判断（易错）】
13.在四棱台中，平面与平面的位置关系是（ ）
A．相交B．平行
C．不确定D．异面
14.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
【题型七：基本事实4与等角定理的应用（重点）】
15．在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：

(1)四边形为平行四边形；
(2)．
16．如图，在正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点．求证：
(1)；
(2)．
【题型八：与线、面平行相关命题的判断（易错）】
17.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
18.（多选）已知是不同的直线，是不同的平面，则下列命题中错误的是（ ）
A．若是异面直线，，，，，则
B．若，，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
【题型九：线面平行的判定（重点）】
19．如图，在正方体中，分别为棱上分别靠近的三等分点，为棱的中点.
(1)设平面平面平面，证明：三点共线；
(2)证明：平面.
20．如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点E为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)若M为上的动点，N为线段的中点，试判断直线与平面的位置关系，并给出证明.
【题型十：面面平行的判定（重点）】
21.如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
22.如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
【题型十一：线面平行性质定理的应用（重点）】
23.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证：AP∥GH.
24．如图，正方体中，分别是的中点．
(1)求证：四点共面；
(2)设平面与平面交于直线，求证：．
【题型十二：面面平行性质定理的应用（重点）】
25.已知平面平面，点是平面外一点（如图所示），且直线分别与相交于点，若，则 ．

26.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF平面BD1G，则___________
【题型一：平面分割空间问题（易错）】
1．三个平面可将空间分成部分，则的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为（ ）
A．18B．21C．24D．27
【题型二：平行关系与体积的综合问题（重点）】
3．正三棱柱的底面正三角形的边长为2，D为的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
4.如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，、分别是棱、上的点，且，.
(1)证明：平面平面；
(2)记多面体的体积为，三棱锥的体积为，求的值.
【题型三：平行关系的综合应用问题（重点）】
5．如图，在长方体中，若分别是棱的中点，则下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形是矩形B．四边形是正方形
C．D．平面平面
6．如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.
(1)求证：平面；
(2)已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，
（i）求证：；
（ii）求证：平面.
【题型四：异面直线所成的角与其他知识的交汇（高频）】
7．如图，正六棱柱的底面边长为5，点分别为线段的中点，若异面直线与所成角的余弦值是，则此正六棱柱的体积为（ ）
A．B．或C．D．或
8．在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且.
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)若，分为，的中点，点在线段上，且.求证：平面平面.
【题型一：数学文化题（高频）】
1．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，平面BCD，且，点E，F分别为线段与线段的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．我国古代《九章算术》里记载了一个求“羡除”体积的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪.小明仿制“羡除”裁剪出如图所示的纸片，在等腰梯形中，，，在等腰梯形中，.将等腰梯形沿折起，使平面平面，则五面体中异面直线与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
3．我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．
(1)证明：三棱锥为鳖臑；
(2)若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为．
①证明：直线平面；
②判断与的位置关系，并证明你的结论．
【题型二：与平行相关的探索性问题（难点）】
4．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面．
(1)求证：点是的中点；
(2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由．
5．如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面.

(1)判断直线l与BC的位置关系并证明；
(2)求证：平面PAD；
(3)在棱CD上是否存在点H，使得平面平面PBC？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在.请说明理由.(1)空间中直线与平面的位置关系位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线不在平面内
直线在平面内
a⊂α
无数个
直线与平面平行
a∥α
0个
直线与平面相交
直线与平面斜交
a∩α＝A
1个
直线与平面垂直
a⊥α
1个
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两平面平行
α∥β
0个
两平面相交
α∩β＝l
无数个
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊄α,a⊂α,l∥a))⇒l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥α,a⊂β,α∩β＝b))⇒a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,a∩b＝P))⇒α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))⇒a∥b
⭐【知识讲解】
这类问题往往以概念辨析题的形式出现，若符合基本事实的条件，则命题为真，否则为假，有时也可举例加以判断.
⭐【知识讲解】
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合．
(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
⭐【知识讲解】
1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．
2．判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交．
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．


⭐【知识讲解】
求异面直线所成的角，一般步骤如下：
（1）作,根据定义，用平移法作出异面直线所成的角;
（2）证，证明所作出的角就是要求的角（或其补角），可由作法直接得出;
（3）计算，求角，常利用解三角形的知识求解.
上述步骤可用“一作，二证，三计算”来概括.

⭐【知识讲解】
直线与平面位置关系的判断方法：
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.
⭐【知识讲解】
1．平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点．
(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
2．常见的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；
(2)长方体的六个面中，三组相对面平行.

⭐【知识讲解】
基本事实4表明了平行的传递性，也可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法.
等角定理主要用来判断或证明两角相等.

⭐【知识讲解】
与线、面平行相关命题的判定
判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含有选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．
⭐【知识讲解】
证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点).
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β).
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).
⭐【知识讲解】
证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的定义．
(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
⭐【知识讲解】
应用线面平行的性质定理的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．
⭐【知识讲解】
应用面面平行性质定理的基本步骤
⭐【知识讲解】
平面可以划分空间，一个平面把空间分成两部分，当用两个或两个以上平面划分空间时，需根据平面的位置来判断所得空间是几部分.
⭐【知识讲解】
对于平行关系与体积的综合问题，可采用各个击破的策略，即分别研究平行关系、几何体的体积，其中若该几何体为三棱锥，则往往考虑利用等积法求其体积.
⭐【知识讲解】
空间中平行关系的综合应用问题往往利用转化思想反复转化求解，其中空间中各种平行关系相互转化关系的示意图如下：
⭐【知识讲解】
异面直线所在的角常与几何体的面、体积综合，有时也与空间位置关系的判定综合，这类问题一般仍用各个击破的策略求解.
⭐【知识讲解】
在平行关系问题中常见的探索性问题主要有两类：一类是探求点的位置使线面平行，另一类是在某些确定的条件下判断线面是否平行，前一种是条件开放题，后一种是结论开放题.