暑假作业03 平面向量的数量积及应用-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

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作业03 平面向量的数量积及应用
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：平面向量数量积定义及辨析（易错）】
1.（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．若，且，则D．
【答案】CD
【解析】对于A，由向量的运算法则，得A正确；
对于B，向量数量积满足分配律，B正确；
对于C，由，得，当时，满足题设，C错误；
对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，而与无任何关系，D错误.
故选：CD.
【易错警示】（1）向量数量积运算没有结合律；（2）向量不能作除法.
2．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角
B．设，，为非零向量，则
C．设，为非零向量，若，则
D．若点为的重心，则
【答案】CD
【解析】对于A选项，若，则，，
与平行或与夹角为锐角，所以A错误；
对于B选项，，，为非零向量，则是与共线的向量，是与共线的向量，
而与不一定共线，故不一定成立，所以B错误；
对于C选项，因为，所以，
，所以C正确；
对于D选项，为的重心，

则点，，分别为，，的中点，
且，，，
则，所以D正确．
故选：CD．
【题型二：求平面向量的数量积（重点）】
3.在中，，，，为的外心，则（ ）
A．5B．2C．D．
【答案】D
【解析】由已知可知,,又为的外心，是的中点，,.
故选：D.
4.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】以为原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系，

则有，，,为弧上的点且，则，
，
.
故选：A.
5. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； ．
【答案】0,
【解析】
如图，建立平面直角坐标系，则，
所以，，
【题型三：向量的投影（易错）】
6．已知向量与的夹角为，，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在上的投影向量为，
故选：A.
7．已知向量，则在方向上的投影数量为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】B
【解析】向量，则，，
，，
所以在方向上的投影数量为.
故选：B
8．已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】由在上的投影向量，得，则，而是单位向量，
因此，又是单位向量，所以.
故选：B
【易错警示】向量的投影为一个向量，而向量的投影数量是一个实数.
【题型四：向量的模长及夹角公式的应用（重点）】
9.已知夹角为，且，则等于（ ）
A．B．C．D．10
【答案】A
【解析】
故选：A.
【方法总结】解决向量的模长问题的方法是对向量进行平方，即利用模长公式，以达到将向量转化为实数的目的.
10．已知向量，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，，得，，所以.
故选：B.
11．（多选）已知，则（ ）
A．B．
C．与的夹角余弦值为D．向量在向量方向上的投影向量坐标为
【答案】ACD
【解析】对于A，，A正确；
对于B，，，B错误；
对于C，，，，
则，C正确；
对于D，向量在向量方向上的投影向量，D正确.
故选：ACD
12．如图，在直角中，点为斜边的靠近点的三等分点，点为的中点，，．
(1)用，表示和；
(2)求向量与夹角的正弦值．
【答案】(1)，；(2)．
【解析】（1）以A为原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，．
，，，，
设，则，解得，，，
设，则，解得，，．
（2）由（1）知，，．
，．
故，．
故向量与夹角的正弦值为．
【规律总结】在涉及几何图形的向量问题中，若易于建系，则往往建立直角坐标系，利用向量的坐标运算来简化解题思路.
【题型五：向量的垂直问题（高频）】
13．已知向量满足，，且.若，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【解析】因为且，所以，且，
，
，
则，解得.
故选：A
14.已知非零向量，满足，若，则在方向上的投影的数量为（ ）
A．5B．1C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为，可得，所以，
所以在方向上的投影的数量为.
故选：A.
15．已知向量满足，则与的夹角为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，得,
因为，
所以与的夹角为.
16．已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）因为向量，且，
所以，解得，即，
所以.
（2）因为，且，
所以，解得.
（3）因为与的夹角是钝角，则且与不共线，
可得且，解得且，
所以实数的取值范围为.
【易错警示】依据两向量夹角求参数时,需要注意当夹角θ为0°时,cs θ=1>0;当夹角θ为180°时,cs θ=-1