暑假作业04 等和线、极化恒等式-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

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作业04 拓展专题1：等和线、极化恒等式
【知识点1 极化恒等式】
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设，则，，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
平行四边形模式：.
2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图).
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图).
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
【知识点2 等和(高)线定理】
1．等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立.
(2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.
①当等和线恰为直线AB时，k=1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)；
④当等和线过O点时，k=0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：利用极化恒等式求值（重点）】
1.设向量满足，，则
A．1B．2C．3D．5
2.已知在中，是中点，，，则（ ）
A．B．16C．D．8
3.如图，AB是圆O的直径，P是AB上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB=6，MN=4，则PM·PN等于( )
A.13B.7C.5D.3
4.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E，F是线段AD的两个三等分点，若BA⋅CA=7，BE⋅CE=2，则BF⋅CF=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
5.平行四边形中，，点满足.则 .
6.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若AB⋅AD=－7，则BC⋅DC的值是 ．
【题型二：利用等和线求基底系数的和（重点）】
7.如图，在平行四边形ABCD中，BE=23BC，DF=34DE，若AF=λAB+μAD，则λ+μ=（ ）
A．32B．−112C．112D．0
8.在△ABC中，BE=12EC,BF=12BA+BC，点P为AE与BF的交点，AP=λAB+μAC，则λ+μ=（ ）
A．0B．14C．12D．34
9．（多选题）在△ABC中，点D是线段BC上任意一点，点M是线段AD的中点，若存在λ,μ∈R使BM=λAB+μAC，则λ,μ的取值可能是（ ）
A．λ=−35,μ=110B．λ=1,μ=−32
C．λ=−910,μ=25D．λ=−710,μ=35
10.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若AC=λAE+μAF，λ,μ均为实数，则λ+μ的值为 ．
11.如图，在矩形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若MN=λ1AM+λ2BN，λ1,λ2∈R，则λ1+λ2的值为 .
12．如图，在ΔABC中，已知，点分别在边上，且，点为中点，则的值为 .

【题型一：利用极化恒等式求最值（范围）（高频）】
1.如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）

B．C．D．
2.半径为2的圆O上有三点A、B、C满足OA+AB+AC=0，点P是圆内一点，则PA⋅PO+PB⋅PC的取值范围为（ ）
3.正三角形ABC的边长为3，点D在边AB上，且BD=2DA，三角形ABC的外接圆的一条弦MN过点D，点P为边BC上的动点，当弦MN的长度最短时，PM⋅PN的取值范围是（ ）
A．[−1,5]B．[−1,7]
C．[0,2]D．[1,5]
4.已知△OAB的面积为1,AB=2，动点P,Q在线段AB上滑动，且PQ=1，则OP⋅OQ的最小值为 34 .
5．在面积为2的平行四边形中ABCD中，∠DAB=π6，点P是AD所在直线上的一个动点，则PB2+PC2-PB⋅PC的最小值为 ．
【题型一：利用等和线求基底系数和的最值（范围）】
6.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
7.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若AP=xAB+yAC，则2x+2y的最大值为（ ）
A．83B．2C．43D．1
8.（多选题）如图所示,在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F,若，，，则（ ）
A. B.
C. 的最大值为1 D.
9.如图,在扇形OAB中,∠AOB=60∘,点C在圆弧AB(包含端点)上运动,若OC=xOA+yOB,则x+4y的取值范围是
10.在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若AN=λAB+μAC（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围是 .
11.在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设AP=αAB+βAF(α，β∈R)，则α+β的取值范围是 .
12.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内(不包含边界)运动，设AP=xAB+yAD(x，y∈R)，则x+y的取值范围是 .
【题型一：新定义题（难点）】
1.对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC中，AB=2，以三条边为直径向外作三个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若BM=λAB+μAC，则λ+μ的最大值为（ ）
A．12B．33C．1D．32
2．我国历史悠久，各地出土文物众多.甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印.图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图.如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则的最大值是 .
3.“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围.
【题型二：综合应用题（难点）】
4．如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且.
(1)求的值；
(2)若点为线段（含端点）上的动点，求的最小值．

2.在三角形ABC中，AB=a，AC=b，BE=2EC，D为线段AC上任意一点，BD交AE于O.

(1)若CD=2DA.
①用a，b表示AE；
②若AO=λAE，求λ的值；
(2)若BO=xBA+yBC，求12x+13y+1的最小值.