暑假作业04 数列的求和-【暑假作业】2025年高二数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

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作业04 数列的求和
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：倒序相加法求和 】
1．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列是公比为的等比数列，且，若，则（ ）
A．4046B．4045
C．2024D．2023
2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等差数列满足，则（ ）
A．2025B．C．D．
3．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知，若等比数列满足，则（ ）
A．B．1013C．2025D．2026
4．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，利用教材中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（ ）
A．B．1012C．D．101
【题型二：错位相减法求和 】
1．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）数列的前n项和，满足：，，（），数列满足，．
(1)求，的通项公式；
(2)设，求的前2n和．
2．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，，且；数列的首项，且满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)设，求数列的前项和为.
3．（2025·陕西汉中·二模）对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列．
(1)若数列为数列的偶数列，求．
(2)若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列．
(3)在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，求数列的前项和．
4．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知数列的前项和为．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设的前项和为；
①求；
②若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．（结果可保留幂的形式）
5．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前项和.
6．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列中，.
(1)求；
(2)证明：为等差数列；
(3)求的前项和.
7．（24-25高二下·广东·阶段练习）在等差数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
8．（2025·辽宁·二模）记数列的前项和为，已知．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和．
9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和.
10．（2025·湖南长沙·二模）已知数列的首项，的前项和为且满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
11．（24-25高二下·广东·期中）已知数列满足，
(1)探究数列的单调性；
(2)求数列的前n项和
12．（24-25高二下·四川广安·阶段练习）已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列；．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为递增数列，记，求数列的前项的和．
13．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知等比数列的前项和为，，且是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
14．（2025·天津河东·二模）设是公差d为的等差数列，是公比为q的等比数列，，，，，.
(1)求数列与的通项公式及；
(2)落在区间之内的项的个数为，.
（ⅰ）求，及数列的通项公式；
（ⅱ）求.
【题型三：裂项相消法求和 】
1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，若，则数列的前16项和为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二下·辽宁·期中）若数列满足（且），，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河北·模拟预测）已知函数为函数的正零点，若（表示不超过的最大整数），则数列的前10项和为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·山东·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知.
(1)求，；
(2)证明：是等差数列；
(3)求数列的前项和.
5.（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式.
(2)证明：.
6．（24-25高二下·河北·期中）数列满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)令，求数列的前项和.
7．（2025·重庆·三模）已知数列是首项为2的正项等比数列.又构成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足.令.求数列的前项和.
8．（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）已知正项数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和.
9．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设数列满足，；正项数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列、的通项公式；
(3)设是数列的前n项和，证明：．
10．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知数列是递增的等比数列且
(1)求数列的通项公式；
(2)设是数列的前项和，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值.
11．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知函数.
(1)当为奇数时，证明：的图象关于点对称；
(2)当时，，求的取值范围；
(3)证明：当时，.
12．（湖南省天壹T8联盟2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题）已知等比数列的各项均为正数，首项为其前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和．
13．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知数列的前项和为，，对，都有．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列的前项和为，求．
14．（2025·天津南开·二模）已知等差数列的前项和为．
(1)求的通项公式；
(2)记，其中为二项式系数．
（ⅰ）求数列的前项和；
（ⅱ）求．
15．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知等差数列的前n项和为，满足，．
(1)求数列的通项公式．
(2)求证：
16．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知等差数列的前项和为．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
17．（24-25高二下·四川内江·期中）已知数列中，，且满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)令，为数列的前n项和，证明：．
18．（2025·江西·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【题型四： 分组并项法求和 】
1．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（ ）
A．30B．4944C．9876D．14748
2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列满足，，，则的第2025项为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·福建三明·三模）若数列满足，，则（ ）
A．155B．156C．203D．204
4．（2025·江苏·三模）设，数列为等比数列，数列是公差不为零的等差数列，且，，，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为．若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．101B．100
C．99D．98
6．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知数列满足，，记，则数列的前100项的和为（ ）
A．B．25C．D．50
7．（2025高三·全国·专题练习）已知，为的前项之和，则的值为（ ）
A．3023B．3024C．3025D．3026
7．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足，，，数列满足，则数列的前1011项的和 .
8．（24-25高二下·吉林长春·期中）已知数列满足，在之间插入个，连同的项构成数列，则数列的前200项的和为 .
9．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列是首项为2且公差不为0的等差数列，为和的等比中项，记数列的前项和为.
(1)求和；
(2)设，求数列的前2022项的和.
10．（2025·广东广州·三模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和；
11．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知正项数列的首项为7，且，数列满足，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围．
12．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足：，，数列为单调递增的等比数列，，且，，成等差数列.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
13．（2025·贵州黔东南·三模）已知等差数列的前n项和为，等比数列的首项为2，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
【题型五：奇偶项求和 】
1．（24-25高二下·湖北·阶段练习）设是等差数列，数列的前项和为，满足，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.
2.（2025·天津河西·一模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和；
(3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式．
3．（2025·天津河北·二模）设数列是等差数列，是等比数列．已知．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，数列的前n项积为，证明：．
4．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知数列的前项和为，且．
(1)求、、的值．
(2)求数列的通项．
(3)求数列的前项和．
【题型六： 数列求和和函数的综合应用 】
1．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数共有个交点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（ ）
A．2022B．4036C．2023D．4038
3．（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（ ）
A．4050B．2025C．4052D．2026
4．（2024高三·上海·专题练习）已知函数，若等比数列满足，则（ ）
A．2020B．C．2D．
5．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列是公比为q（）的正项等比数列，且，若，则（ ）
A．4069B．2023
C．2024D．4046
6．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，其前项和为，设函数，则（ ）
A．0B．1C．1012D．2024
7．（2025·四川德阳·二模）已知数列前项和为，满足，且
(1)求数列的通项公式；
(2)令，讨论与的大小关系；
(3)对任意正整数恒成立，求正整数的最小值．
【题型七：由数列求和求相关参数问题 】
1．（2025·广东茂名·二模）已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
2．（24-25高三上·河北邢台·期末）若数列的首项，对任意的，都有（k为常数，且），则称为有界变差数列，其中k为数列的相邻两项差值的上界．已知数列是有界变差数列，的前n项和为．
(1)当时，证明：．
(2)当（）中各项都取最大值时，对任意的恒成立，求k的最大值；
(3)当（）中各项都取最大值时，，数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围．
【题型八：新定义问题 】
1．（2024·天津·二模）已知为等差数列，是公比为2的等比数列．，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若
①当为奇数，求；
②求．
2．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．
(1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若为“上凸数列”，则当时，．
（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；
（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．
3．（2025·安徽安庆·二模）定义在同一数集上的函数，按一定顺序排成一列，称为数集上的函数列，记为的导函数为.
(1)若满足，证明：为等比数列：
(2)定义在上的函数列满足，且.
①若，设，证明：：
②若，证明：.
4．（24-25高二下·广东·期中）设是等差数列，是等比数列，满足，，且，．
(1)求与的通项公式；
(2)设，在平面直角坐标系中，依次连接点，，，得到折线，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积．
5．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢?”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究.
(1)若a=3，b=4，求S₆的值;
(2)若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab;
(3)三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放mn个物体堆成的堆垛（如图2所示），利用上述材料，求从上往下n层三角垛的物体总数Tn.