暑假作业01 等差数列（21题型）-【暑假作业】2025年高二数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

这是一份暑假作业01 等差数列（21题型）-【暑假作业】2025年高二数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019），文件包含暑假作业01等差数列原卷版docx、暑假作业01等差数列解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共92页， 欢迎下载使用。
作业01 等差数列
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：判断等差数列 】
1．（24-25高三上·福建福州·期末）设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（24-25高二上·陕西西安·期末）设数列的前项和为，若，且的等差中项为），则（ ）
A．4B．8C．10D．12
3．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知是无穷数列，，则“对任意的，都有”是“是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（21-22高二下·辽宁沈阳·开学考试）若数列是无穷数列，则“是等差数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（23-24高二下·广东佛山·期末）已知数列的前项和为，则下列选项中，能使为等差数列的条件有（ ）
A．
B．
C．对，有
D．
6．（22-23高二上·广东深圳·期末）数列的前项和为，已知，则（ ）
A．是递减数列B．是等差数列
C．当时，D．当或4时，取得最大值
【题型二：利用等差数列的性质计算 】
1．（22-23高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列满足，则等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【题型三：利用定义求等差数列通项公式 】
1．（2024高三下·四川内江·专题练习）数列为正项数列，为数列的前项和，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·重庆·三模）数列满足又则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·河北·模拟预测）在数列中，已知，设，则数列的前项和（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高二下·安徽·期中）已知正项数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二下·四川成都·期中）已知，且满足，则（ ）
A．29B．31C．59D．61
6．（24-25高二下·浙江·期中）设数列的前项和为，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·江西·二模）已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．有最大值D．不是单调数列
8．（24-25高二下·湖南·期中）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
9．（24-25高二上·江苏苏州·期中）数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 .
10．（2025·山东济南·二模）已知数列的前项和为，且满足，则
11．（2025·四川南充·三模）数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则 .
12．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）若数列满足，若，则 .
13．（24-25高三上·广东深圳·期末）设正项数列的前项和为，满足（）.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式.
14．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列A：具有性质：对任意与两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列的前项和.
(1)分别判断数列与数列是否具有性质P；
(2)证明：；
(3)证明：当时，成等差数列.
15．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，，求．
16．（2025高三·全国·专题练习）已知正项数列满足，.求的通项公式.
17．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知数列的各项均为正数，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若数列满足求数列中的最大项与最小项．
18．（2025·河北·模拟预测）已知数列满足，．
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
19．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
20．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知数列满足，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)已知，记数列的前n项和为，求证：．
21．（24-25高二上·湖南·阶段练习）在各项均不为零的数列中，，若，则（ ）
A．13B．16C．19D．22
22．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知数列的首项，则（ ）
A．48B．80C．63D．65
【题型四： 等差中项的应用 】
1．（24-25高二上·北京·期末）和是两个等差数列，其中（）为一固定常数值，，，，则（ ）
A．32B．48C．64D．128
2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若数列是等差数列，且，则（ ）
A．22B．32C．20D．10
3．（24-25高二上·甘肃白银·期末）在等差数列中，，则（ ）
A．20B．10C．D．5
4．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知为等差数列，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ）
A．10B．20C．25D．50
6．（22-23高二下·贵州黔东南·阶段练习）在等差数列中，若和是方程的两实数根，则（ ）
A．B．1C．2D．4
7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
【题型五：验证是否为等差数列中的项 】
1．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知等差数列{aₙ}的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ）
A．
B．当时，
C．当时，不是数列中的项
D．若是数列中的项，则k 的值可能为6
2.（23-24高二下·河北承德·开学考试）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．当时，不是数列中的项
D．若是数列中的项，则的值可能为7
3．（22-23高二上·广东广州·阶段练习）在等差数列中，，.
(1)求的值；
(2)2023是否为数列中的项？若是，则为第几项，若不是，请说明理由.
4．（2023高三·全国·专题练习）已知等差数列，试求所有的正整数m，使得为数列中的项．
【题型六：等差数列通项公式的基本量计算 】
1．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知数列的通项公式为，数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则 ．
2．（24-25高二下·安徽·期中）若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二下·江西萍乡·期中）若数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称是二阶等差数列.现有二阶等差数列，已知，则（ ）
A．1264B．1224C．1128D．1120
4．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列是等差数列，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
5．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）在数列中，，，若，则（ ）
A．10B．11C．12D．13
6．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）数列 对任意的有成立，若，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列中，，，则数列的前2025项和为（ ）
A．1012B．1013C．2025D．
8．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知满足，且，则的值为（ ）
A．6072B．6075C．6078D．6069
9．（24-25高二上·广东潮州·期末）记数列的前项和为，若数列是公差为的等差数列，则的值为（ ）
A．18B．12C．6D．3
10．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知正项数列满足，，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（24-25高三下·湖南·开学考试）记数列的前项和为，若数列是公差为1的等差数列，则（ ）
A．1B．2C．2025D．2022
12．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为（ ）
A．4B．3C．2D．1
13．（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）若等差数列满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．（24-25高二上·湖北·期末）已知公差为正数的等差数列，若，则等于（ ）
A．11B．9C．7D．11或1
15．（24-25高三上·吉林·期末）若等差数列的公差，则（ ）
A．B．C．15D．28
16．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知递减等差数列，，是方程两个实根，当时，（ ）
A．2026B．2025C．1012D．2
17．（24-25高二上·湖南·阶段练习）在各项均不为零的数列中，，若，则（ ）
A．13B．16C．19D．22
18．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）在等差数列中，，则的值为（ ）
A．20B．40C．60D．80
【题型七：由递推关系求数列通项 】
1．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知数列满足，当时，，则数列的通项公式 ．
2．（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ．
3．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知数列，，，且，则 .
4．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知数列中，，，数列满足：，则 ；若、分别是数列的最大项与最小项，则 ．
5．（24-25高二下·广东广州·期中）数列满足，首项为，则数列的通项公式 ．
6．（24-25高二下·湖北武汉·期中）设，且，则数列的通项公式为 .
【题型八： 由递推关系证明数列是等差数列 】
1．（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二下·广东广州·开学考试）设数列的前项之积为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·吉林·期末）已知数列的前n项和为，满足，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）数列满足，，则 ．
5．（24-25高二上·湖南永州·期末）已知数列的前项和，，则 ．
6．（22-23高三下·江苏连云港·阶段练习）已知数列满足，且，，则=（ ）．
A．B．C．D．
【题型九：利用等差数列的性质进行计算 】
1．（24-25高二下·北京房山·期中）我国古代数学名著《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问：各得几何？”意思是：五个人分五钱（“钱”是古代的一种计量单位），每人所得依次相差一样多，前两人所得钱数与后三人所得钱数一样多，问每个人分得多少.在这个问题中分得最少的一个得到（ ）
A．钱B．钱C．钱D．1钱
2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等差数列满足，则（ ）
A．2025B．C．D．
3．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（ ）
A．24.5尺B．25.5尺C．37.5尺D．96尺
4．（2024·广西贵港·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，，给定正整数m，使得对任意的（且）都有成立，则m的值为（ ）
A．4047B．4046C．2024D．4048
5．（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，，则数列的最大项为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·河北保定·三模）设是公差为3的等差数列，且，若，则（ ）
A．21B．25C．27D．31
7．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项积为，若，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．（23-24高二下·河南驻马店·阶段练习）已知数列满足，则（ ）
A．4048B．2025C．2024D．2023
9．（2024·辽宁大连·一模）在等差数列中，能被3 整除，能被7整除，则下列各项一定能被21 整除的是（ ）
A．B．C．D．
【题型十：等差数列单调性 】
1．（22-23高二下·安徽·阶段练习）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它是世界数学史上光辉的一页，定理涉及的是整除问题.现有如下一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被3除余1且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（ ）
A．133项B．134项C．135项D．136项
2．（22-23高二上·陕西渭南·阶段练习）在等差数列中，记，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（ ）条件
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2023·北京海淀·三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【题型十一： 求等差数列中的最大项 】
1．（2023·江西·模拟预测）已知函数满足：对于任意正整数，．若使得不等式成立的最小正整数是2023，则的取值范围是 ．
2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ．
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ．
4．（2023·安徽·二模）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为 ．
【题型十二：等差数列奇数项或偶数项的和 】
1．（24-25高二·全国·课堂例题）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差的值分别是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高二上·全国·专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则的前40项和为 .
4．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ．
【题型十三：由前n项和判断是否为等差数列 】
1．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知数列的前项和（为常数，且），则“是等差数列”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．（22-23高二上·陕西西安·期末）已知数列的前项和为.若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河北唐山·三模）已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ）
A．27B．28C．54D．55
【题型十四：两个等差数列的前n项和之比问题 】
1．（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二下·河南·期中）已知等差数列和的前n项和分别为、，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二下·四川成都·期中）两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习）设等差数列和的前项和分别是和，若， 求（ ）
A．B．C．1D．
5．（2025届高三筑梦杯第四次线上联考数学试题）数列，均为等差数列，若，则（ ）
A．B．C．1D．
【题型十五： 等差数列前n项和的二次函数特征 】
1．（2023·河北·三模）设等差数列的前项和为，若，那么等于（ ）
A．10B．80C．D．
2．（24-25高二下·四川泸州·期中）已知数列的前项和，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．取最小值时，D．为递增数列
3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．为等差数列B．不可能为常数列
C．若为递增数列，则D．若为递增数列，则
4．记为等差数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，取得最小值
C．当时，取得最大值D．使得成立的最大自然数是16
5．已知等差数列的公差，其前n项和记为，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列中有最大项B．数列中有最小项
C．若，则D．若，，则取最小值时
【题型十六：等差数列片段和的性质及应用 】
1．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
2．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．3C．D．
3．（24-25高三上·广东·开学考试）在等差数列中， ， ， （ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．12
5．（2025高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，若，则 .
6．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）等差数列的前项和记为，若，，则 .
【题型十七： 由Sn求通项公式 】
1．（24-25高三上·辽宁·期中）数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是( ).
A．B．为等差数列
C．不可能为常数列D．若为递增数列，则
2．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知数列满足，则（ ）.
A．
B．的前10项和为150
C．的前11项和为
D．的前16项和为168

【题型十八：数列不等式恒成立问题 】
1．（2024·陕西西安·二模）已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江苏南京·二模）已知数列中，，，，其前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知正项数列的前n项和为，，且满足，若对恒成立，则的取值范围是 .
4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，，若成立，则的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【题型十九：求绝对值数列 】
1．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，对任意，恒成立，求的取值范围．
2．（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足.
(1)求证：数列为等差数列，并求出；
(2)设，求数列的前项和.
【题型二十： 数列新定义 】
1．（21-22高三上·北京丰台·期末）若有穷数列满足，则称为数列．
(1)判断下列数列是否为数列，并说明理由．
①；②．
(2)已知数列中各项互不相等，令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列．
(3)已知数列是个连续正整数的一个排列，若，求的所有取值．
2．（23-24高二下·江西南昌·期末）若数列 满足 ，且 ，则称数列 为 “正余弦错位数列”.已知数列 为 “正余弦错位数列”.
(1)若 ，求 ；
(2)证明： 数列 为等差数列.
【题型二十一：数列在实际生活中的应用 】
1．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列是等差数列，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
2．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）在数列中，，，若，则（ ）
A．10B．11C．12D．13
3．有一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2024个数字为（ ）
A．5983B．5984C．5985D．以上都不对
4．王先生为购房于2019年12月初向银行贷款36万元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2020年1月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因资金充足准备向银行申请提前还款，银行规定：提前还款除偿还剩余本金外，另需收取违约金，贷款不满一年提前还款收取提前还款额的百分之三作为违约金；贷款的时间在一年到两年之间申请提前还款收取提前还款额的百分之二作为违约金；满两年之后提前还款收取提前还款额的百分之一作为违约金.王先生计划于2024年12月初将剩余贷款全部一次性还清，则他按现计划的所有还款数额比按原约定的所有还款数额少（ ）
A．22450元B．27270元C．25650元D．27450元
5．张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（ ）
A．28码B．29.5码C．32.5码D．34码