暑假作业10 随机变量及其分布表（10题型）-【暑假作业】2025年高二数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

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作业10 随机变量及其分布
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一： 条件概率与全概率公式 】
1．（江苏省南师附中、天一中学、海门中学、海安中学2024-2025学年高二下学期6月联考数学试题）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率
【分析】设出事件，根据全概率公式得到，，再利用条件概率公式计算得到答案.
【详解】设第一次取出红球的事件为，第二次取出的球是白球的事件为，
取到甲袋，乙袋的事件分别为，，
则，
，
则.
故选：C．
2．（24-25高二下·云南临沧·阶段练习）现随机安排甲、乙等位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算条件概率、独立事件的乘法公式
【分析】借助排列数与组合数计算出所有安排方法即可得相应事件发生的概率，再结合互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可.
【详解】先将人分为组，再安排参加项比赛，则有种安排方法，
若参加跳高比赛，即甲所在的组参加跳高比赛，则，
同理：，
事件，即甲参加跳高比赛且乙参加跳高比赛，此时有种安排方法，
则，同理：，
依次分析选项：
对于A，，，，故A错误；
对于B，，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：C．
3．（2025·湖南岳阳·模拟预测）现有把相同的椅子排成一排，甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子入座，在这三人中有两人相邻坐的条件下，则三人均相邻（甲、乙、丙之间无空座）的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题、组合数的计算、计算条件概率
【分析】现根据捆绑法计算出仅有两人相邻和三人均相邻的不同情况数，再根据古典概型计算事件概率，再根据条件概率定义求出事件概率.
【详解】设“甲乙丙之间恰有两人相邻”，“甲乙丙三人均相邻”
则，，故在有两人相邻坐的条件下，三人均相邻的概率为
，
故选：A.
4．（24-25高二下·河南郑州·期末）在暑假期间，甲、乙、丙、丁四名实验员到某生物研究所的分子生物学、生态学、遗传学三个实验室实习，每个实验室至少有一人，且每人只去一个实验室.已知甲在分子生物学实验室实习，则甲与乙不在同一实验室实习的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】分组分配问题、计算古典概型问题的概率、计算条件概率
【分析】利用排列组合计算各个事件的情况数，根据古典概型以及条件概率，可得答案.
【详解】记事件为“甲在分子生物学实验室实习”，事件为“甲与乙不在同一实验室实习”，
样本点的总数为，，
事件，同时发生的情况种数为，
，.
.
故选：D.
5．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的学生近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为.现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率
【分析】根据题意结合条件概率公式分析运算.
【详解】记“学生近视”为事件，“学生每天玩手机超过”为事件，
由题意可得：，，，
因为，则，
所以.
故选：A.
6．（2025·河北邢台·三模）现有甲、乙、丙、丁4位乒乓球业余爱好者组队参与某次比赛，比赛顺序是第一场双打，第二场与第三场单打，每人只参加其中一个项目，在每场比赛中赢对方的概率分别是，，，且每场比赛相互独立，则在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算条件概率、独立事件的乘法公式
【分析】由互斥加法、独立乘法公式即可求解.
【详解】设双打与第二、第三场单打赢对方分别为事件，，，
三场比赛中恰有两场赢对方为事件，则，，，
，
，
所以.
故选：D.
7．（2025·河北保定·二模）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则是（ ）
A．与有关的常量B．与有关的变量
C．与无关的定值，且为D．与无关的定值，且为
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率
【分析】先利用条件概率公式和全概率公式计算得，然后利用贝叶斯概率公式即可求出.
【详解】依题意可得，，，
若先发生，则乙袋中有个红球，5黑球，此时，
若先发生，则乙袋中有个红球，4黑球，此时，
若先发生，则乙袋中有个红球，3黑球，此时．
所以，，，
所以，
所以，即是与无关的定值，且为.
故选：C.
8．（24-25高二下·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．B．是可能的
C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】条件概率性质的应用
【分析】利用条件概率公式及概率的性质判断各项的正误可得答案.
【详解】对于A，由，当，则，故A错误；
对于B，当事件A包含事件时，，
则此时，故B正确；
对于C，，如：当A或B为不可能事件时，，故C错误；
对于D，由，故D错误.
故选：B.
9．（24-25高二下·重庆九龙坡·阶段练习）两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是废品的概率为（ ）
A．0.21B．0.05C．0.94D．0.95
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】利用全概率公式求概率
【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算.
【详解】记表示第台加工的零件，表示任取一件为废品，
则,
所以任取一零件，它是废品的概率.
故选：B
10．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ）
A．0.08B．0.1C．0.15D．0.2
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】利用全概率公式求概率
【分析】以分别表示取得的这盒光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的光片为次品，求得，由全概率公式可得答案.
【详解】以分别表示取得的这盒光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的光片为次品，
，，
由全概率公式
.
所求概率为，
故选：A.
11．（24-25高二下·云南保山·阶段练习）运动员甲使用自由泳、蛙泳、仰泳这三种泳姿参加游泳比赛的概率依次为0.3，0.4，0.3；在甲使用自由泳、蛙泳、仰泳的条件下，甲能够获得奖牌的概率依次为0.5，0.5，0.4.若甲参加某次游泳比赛，则甲没有获得奖牌的概率为（ ）
A．0.47B．0.49C．0.51D．0.53
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率
【分析】利用全概率公式及条件概率进行求解.
【详解】设表示“甲使用自由泳参加比赛”，表示“甲使用蛙泳参加比赛”，表示“甲使用仰泳参加比赛”，表示“甲没有获得奖牌”，则.
故选：D
12．（24-25高二下·山西长治·期中）两批同种规格的产品，第一批占，次品率为，第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取一件．已知取到的是合格品，则它取自第一批产品的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率
【分析】根据全概率公式求出事件“取到合格品”的概率，再利用条件概率公式求得答案.
【详解】设事件为“取到合格品”，事件为“取到的产品来自第批”，
则，，，，
则，
所以取到的是合格品，它取自第一批产品的概率为：
．
故选：C.
13．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）若从数字中任取一个数，记为，再从任取一个数，记为，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率
【分析】记表示取出数字i，分别求出，再应用全概率公式求的概率即可.
【详解】记表示取出数字表示取到，
易知，则，
.
故选：A.
14．（24-25高二下·山东青岛·阶段练习）数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素干扰，发送的信号0或1，有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收到信号为1的概率为 .
【答案】0.525/
【难度】0.65
【知识点】利用全概率公式求概率
【分析】利用全概率公式计算.
【详解】发送为事件，则发送为事件，接收信号为1为事件，
则
，
则接收到信号为1的概率为
故答案为：
15．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球、2个白球、5个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为
【答案】
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率
【分析】设已知第一次拿到红球为事件，第二次拿到白球为事件，先求出，，然后利用条件概率公式进行计算即可．
【详解】设事件表示“第一次拿到红球”，事件表示“第二次拿到白球”.
盒中一共有个球，第一次从个球中取到红球的概率，可得.
“第一次拿到红球且第二次拿到白球”的取法有种.
从个球中不放回地取两次球，总的取法有种.
所以.
根据条件概率公式.
故答案为：
16．（24-25高二下·上海·阶段练习）2025年底，莘庄中学开展迎新狂欢活动，高二某班级决定组织盲盒抽奖活动，到班级参与活动并达到一定要求的同学都可以参与抽奖．组织方准备了20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品，抽奖者甲先拿起一个盲盒在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另一个盲盒打开，记甲中奖的概率为，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用全概率公式求概率
【分析】利用全概率公式进行求解即可.
【详解】设表示“甲第一次拿的盲盒有奖”，表示“甲第一次拿的盲盒无奖”，表示“甲最终中奖”，
因为共有20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品，
所以，，
若发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩个盲盒，其中个有奖，
甲再选另一个盲盒打开，则，
若发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩个盲盒，其中个有奖，
甲再选另一个盲盒打开，则，
根据全概率公式得，，
所以甲中奖的概率.
故答案为：.
17．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知某次数学测试卷中有8道4选1的单选题，某学生能完整做对其中6道题，在剩下的2道题中，有1道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案.小明从这8题中任选1题，则他做对的概率为 .
【答案】/0.875
【难度】0.65
【知识点】利用全概率公式求概率
【分析】合理设出事件，利用全概率公式进行求解.
【详解】设小明从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的6道题为事件B，
选到有思路的1道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，
则，，，
由全概率公式可得：
.
故答案为：.
18．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）学校有甲、乙两家食堂，记事件“李同学第一天去甲食堂就餐”，事件“李同学第一天去乙食堂就餐”，事件“李同学第二天去甲食堂就餐”.已知，.如果李同学第二天去了乙食堂就餐，则第一天在甲食堂就餐的概率为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率
【分析】根据全概率公式及条件概率公式求解即可.
【详解】记“李同学第二天去了乙食堂就餐”，
由全概率公式，得，
因事件与事件是对立事件，则，，
由贝叶斯公式，得.
故答案为：.
19．（24-25高二下·天津南开·阶段练习）某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如表所示.则甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，甲担当前卫的概率为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率
【分析】设表示“甲球员担当边锋”，表示“甲球员担当前卫”，表示“甲球员担当中场”，两两互斥，设表示“球队赢了某场比赛”，利用全概率公式与贝叶斯公式求解即可.
【详解】设表示“甲球员担当边锋”，表示“甲球员担当前卫”，表示“甲球员担当中场”，两两互斥，设表示“球队赢了某场比赛”，
则
则,
故.
故答案为：.
20.（24-25高二下·山西·阶段练习）已知随机事件A，B满足，且，则 .
【答案】/0.75
【难度】0.65
【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率
【分析】首先根据概率运算法则将原等式化简，求出的值，然后根据已知条件求出的值，最后即可求出条件概率的值.
【详解】因为，所以，
整理得，因为，
所以，所以，
所以．
故答案为：.
21．（24-25高二下·重庆巴南·期中）设为两个随机事件，若，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率
【分析】根据条件概率公式可得，进而利用概率加法公式以及对立事件概率，即可代入求解.
【详解】由，又，故，
所以，
.
故答案为：.
22．（24-25高二下·天津河西·阶段练习）科学健身倡导综合性训练，但一些健身爱好者由于盲目追求高强度运动且只进行某种单一的运动方式，忽视热身和拉伸等导致运动损伤.大文在某健身房健身，已知他每天只进行一项运动，且每天进行有氧运动、力量训练、平衡性训练的概率分别为0.3，0.5，0.2，他在有氧运动、力量训练、平衡性训练中出现运动损伤的概率分别为0.3，0.4，0.7.则大文出现运动损伤的概率为 ；在大文已经出现运动损伤的条件下，由于力量训练导致他运动损伤的概率为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率
【分析】先设事件再利用全概率公式和贝叶斯公式即可计算求解；
【详解】设大文进行有氧运动为事件，进行力量训练为事件，
进行平衡性训练为事件，大文出现运动损伤为事件，
由题意知，，，
，，.
由全概率公式知.
由贝叶斯公式知，
，
故答案为：；.
23．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域之一，且其概率分别为0.3，0.2，0.4，0.1.现搜救部门打算逐个搜索这四个区域.若飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域内，且被搜救部门发现的概率分别为0.8，0.7，0.75，0.9.求：
(1)首先应该搜索哪个区域？
(2)若搜索该区域后，未发现飞机，则此时飞机落入四个区域的概率又是多少？
【答案】(1)丙区域
(2)飞机落入甲区域的概率为，落入乙区域的概率为，落入丙区域的概率为，落入丁区域的概率为
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率
【分析】（1）由条件概率计算公式逐个计算概率即可求解；
（2）设事件A为“首次搜索未在丙区域发现飞机”，事件为“飞机坠落在甲区域”，事件为“飞机坠落在乙区域”，事件为“飞机坠落在丙区域”，事件为“飞机坠落在丁区域”，由全概率公式及贝叶斯公式逐个计算即可.
【详解】（1）应首先搜索丙区域.
理由如下：搜索甲区域，且被搜救部门发现的概率为；
搜索乙区域，且被搜救部门发现的概率为；
搜索丙区域，且被搜救部门发现的概率为；
搜索丁区域，且被搜救部门发现的概率为.
故首先搜索丙区域，因为当前可能性最大.
（2）设事件A为“首次搜索未在丙区域发现飞机”，事件为“飞机坠落在甲区域”，事件为“飞机坠落在乙区域”，事件为“飞机坠落在丙区域”，事件为“飞机坠落在丁区域”，
则，，，，
，，，，
所以
，
所以.
同理，
，
.
所以搜索丙区域后，未发现飞机，此时飞机落入甲区域的概率为，落入乙区域的概率为，落入丙区域的概率为，落入丁区域的概率为.
24．（24-25高二下·福建·期中）在量子通信中，通过发送和接收光子实现信息的传递.光子可制备为“0”和“1”两种偏振态.发送器和接收器独立选择测量基，基的匹配规则如下：①当发送器与接收器的测量基相同时，接收器可准确测得光子的偏振态；②当基不同时，接收器测量结果完全随机（即测得“0”或“1”光子的概率均为0.5）.现发射器使用基，从两个“1”、两个“0”光子中随机选取两个依次发送.接收器每次随机地以或基测量，每次发送和接收相互独立.
(1)求发射器第一次发送“0”光子的条件下，第二次发送“1”光子的概率；
(2)求接收器测量到两个“1”光子的概率；
(3)已知接收器测量到两个“1”光子，求发送器正好也是发送两个“1”光子的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率
【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式，结合条件概率公式求解即可；
（2）利用概率的乘法公式、加法公式，结合全概率公式求解即可；
（3）直接利用条件概率公式求解即可；
【详解】（1）设事件“发射器第一次发送“0”偏振态的光子”，
事件“第二次发送“1”的光子”偏振态，
则，，
由条件概率公式，；
（2）设事件“接收器测量到两个1偏振态光子”，
事件“发射器先后发射了0，0光子”，
事件“发射器先后发射了0，1光子”，
事件“发射器先后发射了1，0光子”，
事件“发射器先后发射了1，1光子”，
事件“发射器使用基发送1偏振态光子时接收器测量结果为1”，
事件“发射器使用基发送0偏振态光子时接收器测量结果为0”.
，，
，，，，
则，，
，.
由全概率公式，得：
.
（3）.
【题型二：离散型随机变量及其分布列 】
1．（24-25高二下·江苏淮安·期中）为迎接五一假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的5个红球和4个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；摸到两红球，可获得价值b百元代金券；摸到两白球，可获得价值ab百元代金券（a，b均为整数）．已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者获得至多（ ）百元代金券
A．12B．16C．18D．20
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率
【分析】根据题意可知代金券的取值，再根据随机变量的意义求概率，即可求分布列，再求期望可知，根据条件，结合基本不等式求的最大值，即可求解.
【详解】若摸到一红球一白球的概率，
若摸到2白球的概率，若摸到2红球的概率，
设可获得百元代金券为变量分布列如下，
，
手气最好者获得百元代金券
即，，
又a，b均为正整数，
所以当时，有，即舍去；
当时，有，即，
此时运气最好者获得至多百元代金券；
当时，有，即舍去；
当时，有，即，此时运气最好者获得至多百元代金券；
当时，有，即舍去；
当时，有，即舍去；
当时，有，即舍去；
当时，有，即舍去；
当时，可得舍去；
综上，运气最好者获得至多16百元代金券.
故选：B.
2．（2025·四川·模拟预测）若随机变量的分布列如下表，表中数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用随机变量分布列的性质解题
【分析】根据等比数列通项公式用表示、，再结合概率和为求出，最后根据期望公式计算．
【详解】已知数列是公比为的等比数列，可得，．
因为随机变量的所有概率之和为，即，将，代入可得：
，合并同类项得，解得．
根据离散型随机变量的期望公式，把，，代入可得：
．
故选：D．
3．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、两点分布
【分析】根据两点分布的性质以及概率的取值范围来确定实数的值.
【详解】因为随机变量服从两点分布，所以.
.
整理得，解得，.
当时，，；
当时，，故不合题意.
综上，可得.
故选：A.
4．（24-25高二下·山东·期中）甲、乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各随机掷一次骰子，当两人的点数之差为偶数时．视为平局，当两人的点数之差为奇数时，谁的骰子点数大该局谁胜．重复上面的步骤，游戏进行到一方比另一方多胜2局或平局4次时停止，记游戏停止时局数为X次，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】独立重复试验的概率问题、独立事件的乘法公式
【分析】分别计算甲胜和乙胜的概率，再对具体每局的情况分类讨论即可.
【详解】甲乙每次掷股子1次，若两人的点数都是偶数或都是奇数，则平局，所以平局的概率，
若甲胜，则结果有，，，，，，，，，9种，
所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为，
局数为4次后停止游戏，若4次全平局，概率为；
若平局2次，则最后1次不能是平局，
另外2次甲全胜或乙全胜，概率为，
若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，
概率为，
所以．
故选：D.
5．（24-25高二下·河南濮阳·期中）已知盒中装有9个除颜色外其他完全相同的小球，其中有3个白球，6个红球，每次从盒中随机抽取1个小球，观察颜色后再放回盒中，直到两种颜色的球都取到，且取到的一种颜色的球比另一种颜色的球恰好多2个时停止取球，则停止取球时取球的次数为6的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列
【分析】分四种情况讨论，结合离散型随机变量的概率计算后再两种概率相加即可.
【详解】一共四种情况：
（1）前四次，可能是白2红2（顺序任意），然后(i)抽2红或者(ii)抽2白结束.
（2）前四次也可能是白4，然后抽2红结束.
（3）前四次还可能是红4，然后抽2白结束.
取到白球的概率为，取到红球的概率为，
（1）的两种情况的概率分别为
（i），
(ii)，
（2）（3）前4红后2白或者前4白后2红的概率和为：
，
所以共有总概率为.
故选：D
6．（24-25高二下·江苏徐州·期中）设为实数，若随机变量的分布列为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由随机变量的分布列求概率
【分析】由随机变量分布列所有概率之和等于1，计算即可.
【详解】根据题意，，且所有概率之和等于1，
，
，解得：，
.
故选：A
7．（24-25高二下·陕西榆林·阶段练习）已知随机变量X的分布列为，，则的值为 ．
【答案】/0.4
【难度】0.65
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题
【分析】根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果．
【详解】∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题
【分析】根据随机变量的概率非负不大于，且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于，列出方程和不等式，解方程组即可．
【详解】因为随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于，
所以，
解得或，
又因为随机变量的概率非负不大于，
所以，，
解得，
综上，
故答案为：##．
9．（2025高三·全国·专题练习）某种儿童游戏每局的规则是：儿童先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其资金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量和分别表示儿童在一局游戏中的资金和奖金，则 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、由随机变量的分布列求概率
【分析】由已知分别得出资金和奖金的分布列，得出所需概率求解即可.
【详解】资金的分布列为
奖金的分布列为
则.
故答案为：.
10．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】两点分布、利用随机变量分布列的性质解题
【分析】利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可.
【详解】因为X的分布列服从参数为p的两点分布，所以，且，
所以即，∴.
故答案为：
11．（24-25高二·全国·课堂例题）对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列如表所示
我们称服从 分布或分布．
【答案】两点
【难度】0.65
【知识点】两点分布
【分析】略
【详解】略
12．（24-25高二·全国·假期作业）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数为6的概率是 .
【答案】/0.0625
【难度】0.65
【知识点】互斥事件的概率加法公式、判断随机试验中的随机变量、独立事件的乘法公式
【分析】记为甲、乙、丙在第局获胜，写出对应的基本事件，应用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求概率即得.
【详解】分别记为甲、乙、丙在第局获胜，则.
由已知，可取，其中表示事件为“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜丙胜”或
“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜丙胜”或“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜乙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜甲胜”，
所以
.
故答案为：.
13．（2024高三·全国·专题练习）某次乒乓球比赛的规则为：双方轮流发球，每人发一个球后交换发球权，先得11分的一方获胜，同时规定，双方比分达到（未达到时）后，先多得2分的一方获胜，双方比分达到后，先多得1分的一方获胜.甲、乙两人进行比赛，比分达到，下一次由甲发球，用表示结束比赛还需要发球的次数，已知甲、乙两人比赛时发球方得分的概率均为，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列
【分析】根据题意先列出的所有可能取值，再分析各个取值的情况，求得和的值，由随机变量的分布列的概率和为1求得.
【详解】由题意知的所有可能取值为.
当时，甲的胜负情况为“胜胜”或“负负”，故.
当时，甲的胜负情况为“胜负胜胜”“胜负负负”“负胜胜胜”或“负胜负负”，
故.
则.
故答案为：.
14．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球.
(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列
【分析】（1）利用组合数及古典概型的概率计算公式即可求解；
（2）根据已知条件，求出随机变量的可能取值，然后利用组合数及古典概型的概率计算公式求出不同取值的概率，进而得出分布列.
【详解】（1）记“取出的3个小球上的数字互不相同”为事件M，
所以.
（2）由题意可知，X的可取值为1，2，3
所以，
，
，
所以X的分布列为：
15．（24-25高二下·湖北·阶段练习）AI智能客服机器人全天在线，能节省以上的人工成本，某人工智能研究实验室开发出一款AI客服机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来解答人们的问题.AI客服机器人的开发主要采用自然语言处理、语言识别与合成等技术.在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为；当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为.已知输入的问题出现语法错误的概率为.
(1)求输入的问题被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了个问题，以表示输入的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【难度】0.65
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、二项分布的均值
【分析】（1）根据全概率公式进行计算；
（2）根据二项分布的概率公式求概率及分布列.
【详解】（1）由已知设事件：输入的问题没有语法错误；事件：回答被采纳；
则；
（2）由已知某次测试中输入了个问题，以表示输入的问题中回答被采纳的问题个数，
则，
则；
；
；
；
；
；
则分布列为
期望.
16．（24-25高二下·重庆·阶段练习）现有一种不断分裂的细胞X，每个时间周期T内分裂一次，一个X细胞每次分裂能生成一个或两个新的X细胞，每次分裂后原X细胞消失，设每次分裂成一个新X细胞的概率为p，分裂成两个新X细胞的概率为；新细胞在下一个周期T内可以继续分裂，每个细胞间相互独立．设有一个初始的X细胞，在第一个周期T中开始分裂，其中．
(1)设2T结束后，X细胞的数量为，求的分布列；
(2)设结束后，X细胞数量为m的概率为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）证：．
【答案】(1)分布列见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【难度】0.65
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式
【分析】（1）求出的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列；
（2）（i）求出第时分裂为2个细胞的概率，再用等比数列求和公式，即可求解；
（ii）求出第时分裂为3个细胞的概率，再用等比数列求和公式，求出，再利用导数法确定函数的单调性，从而确定最值，即可得证.
【详解】（1）结束后，的取值可能为，其中，
，
所以分布列为：
（2）（i）表示分裂结束后共有个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设在第时分裂为个细胞，之后一直有 个细胞，
此事件概率，
所以
.
（ii）代表分裂后有个细胞的概率，设细胞在后分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的中，其中一个分裂为个细胞，一个保持一直分裂为个细胞，此事件的概率
，
得，
，
其中，.
令,，
记，,令，得.
当,,递增；
当，,递减.
故，
也就是.
17．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛．
(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；
(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【难度】0.65
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率
【分析】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2正，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，结合条件概率和全概率公式，即可求解；
（2）设在一轮比赛中的得分为随机变量，得到可能取值为，求得相应的概率，列出分布列.
【详解】（1）解：设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，
“随机抽取2正，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，
则，且，
由全概率公式，可得.
（2）设在一轮比赛中的得分为随机变量，则可能取值为，
则，，
，
所以得分的分布列为：
18．（24-25高二下·山东·阶段练习）甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将将这些零件混合放在一起，则合格率为88%.
(1)设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，求证：；
(2)从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率；
(3)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)分布列见解析，.
【难度】0.65
【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）根据给定条件，利用频数、频率、样本容量的关系列式推理得证.
（2）由（1）的结论，利用条件概率公式计算即得.
（3）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望.
【详解】（1）甲工厂试生产的件零件的合格率为80%，则合格零件为件；
乙工厂试生产的件零件的合格率为90%，则合格零件为件，
混合后，总零件为件，合格率为88%，则混合后合格零件为件，
依题意，，化简得，即.
（2）设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，由（1）知，
事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂”，
事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自乙工厂”，
事件“任取一个混合放在一起的零件，零件是合格品”，
则，，
所以所求概率.
（3）由（2）知，任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂的概率是，
依题意，的可能取值为0，1，2，3，且，
，，
，，
所以的分布列为
的数学期望.
19．（24-25高二下·重庆·期中）2025年1月，某视频APP发布，该模型在全球范围内引发广泛关注，现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了若干名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”.
(1)求a的值：
(2)采用分层抽样的方法，已经从样本中每日使用时长在，的用户中抽取出了7人，现从这7人中随机抽取2人作进一步分析，记X为2人中忠实粉丝的人数，求X的分布列和期望.
(3)用样本频率估计总体概率，从该产品所有用户中随机抽取10人，记为其中“忠实粉丝”的人数，时对应的概率记为，则k为多少时最大？
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
(3)
【难度】0.65
【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、方差的期望表示
【分析】（1）根据频率和为1求解可得；
（2）根据分层抽样性质可得抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，则可取0，1，2，进而可得分布列与数学期望；
（3）由题意，再根据二项分布的公式求解最值即可.
【详解】（1）由，解得．
（2）由频率分布直方图可知，与的用户数之比为3：4，
所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取0，1，2，
，，
所以的分布列为
所以；
（3）用样本的频率估计概率，从该公司所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为
所以
，解得：，又，故时概率最大.
20．（24-25高二下·重庆·阶段练习）为响应“书香重庆”全民阅读活动，育才中学举办了“阅读之星”比赛活动．为了解比赛情况，现从高一年级随机抽取了300名学生的比赛成绩样本，将样本数据按照分成5组，制成了如图所示的样本频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)学校从比赛成绩落在区间和的学生中，按照分层抽样随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名学生代表参与社区阅读推广活动．
①设抽取的2名学生中比赛成绩落在区间的学生人数为，求随机变量X的分布列；
②抽取的2名学生中，求有一名学生的比赛成绩落在区间的条件下，另一名学生的比赛成绩也落在区间内的概率．
【答案】(1)
(2)①分布列见解析；②
【难度】0.65
【知识点】补全频率分布直方图、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率
【分析】（1）根据所有小矩形的面积和为列出关系式求得；
（2）①首先求出各组抽取的人数，则的可能取值为，，，求出相应的概率，即可得解；②利用条件概率公式计算可得.
【详解】（1）由频率分布直方图可得，
解得；
（2）依题意组抽取人，组抽取人；
①依题意的可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列为：
②记有一名学生的比赛成绩落在区间为事件，两名学生的比赛成绩都落在区间为事件，
则，，
所以.
21．（2025·甘肃嘉峪关·三模）“村BA”是由贵州省台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展而来的赛事，比赛由村民组织，参赛者以村民为主，极具乡村气息. 某学校为了研究不同性别的学生对该赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，分别随机抽取男生和女生各80名作为样本，设事件M=“了解村BA”，N=“学生为女生”.据统计数据得，.
(1)根据已知条件，作出2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关；
(2)现从该校不了解“村BA”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)列联表见解析，有
(2)分布列见解析，
【难度】0.65
【知识点】完善列联表、卡方的计算、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）由知女生中了解“村BA”的人数有5人，由知了解“村BA”的人数有35人，作出列联表，求出值，根据临界值进行判断得出结论；
（2）求出抽样比进而求出所需抽取的男生、女生人数，再利用超几何分布概率的求法求出X的分布列和数学期望.
【详解】（1）结合男生和女生各80名，可作出如下列联表：
计算可得，
因此，有的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关．
（2）由（1）可知，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，其中男生人数为，女生人数为．
易知随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
且，
，
，
，
，
所以随机变量X的分布列为
数学期望．
22．（2025·辽宁·三模）某农业兴趣小组为比较长效肥和缓释肥这两种肥料的作用，进行了一个季度的对比试验，长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的同一种植物分别对应第组．分别从第组各随机抽取20株并测出株高，得到的60个样本数据分组整理如下表所示：
(1)从第一组20株植物中随机抽取2株，求至少有一株株高在内的概率；
(2)为了进一步研究，从这三组植物中各随机抽取1株，记这3株植物中恰有X株的株高在内，求X的分布列和数学期望（假设植物的生长情况相互独立，用频率估计概率）；
(3)已知这三组植物的平均株高分别为，株高的方差分别为，求样本的平均数和方差．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)9.3；6.83
【难度】0.65
【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列
【分析】（1）根据排列组合求出事件的概率.
（2）分别算出从三组中抽取一株株高在特定区间的概率，确定可能取值，根据独立事件概率公式求出各取值的概率，进而列出分布列并计算数学期望.
（3）依据样本平均数计算公式算出平均数；按照样本方差计算方法，结合已知的各组平均数和方差，算出样本方差.
【详解】（1）设事件“从第一组20株植物中随机抽取2株，至少有一株株高在”，
则．
（2）X的可能取值为，
则，
，
，
，
的分布列为
．
（3）样本的平均数为，
所以样本的方差为
，
又，
类似的，，成立，
所以.
所以样本的平均数为9.3，方差为6.83.
【题型三：离散型随机变量的数字特征 】
1．（24-25高二下·上海·阶段练习）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差
【分析】由题意可知，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布求概率，然后逐个分析判断即可.
【详解】由题意可知，爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，
且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均，
所以设爬行后小虫一共向能爬行次，则向后爬行，
所以，
所以，
对于AB的分布列为：
，所以A正确；
因为
，
所以
，所以B错误；
对于C，因为，
所以，所以，所以C正确；
对于D，因为，
所以，
所以，所以D正确．
故选：B．
2．（24-25高二下·上海·阶段练习）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质
【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解：利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解.
【详解】对于A，由分布列的性质可得，
解得，故A正确；
对于B，C，由分布列可得：，
故，
故B错误，C正确，
对于D，因为，
所以，故D正确．
故选：B．
3．（24-25高二下·河南郑州·期末）某次知识竞赛中，题库共有9道题目，选手需随机抽取3道作答.答对题数未达到2道的视为不合格，记为分；恰好答对2道的为合格，记为0分；3道题全部答对为优秀，记为2分.已知某位选手仅能答对其中5道题，记该选手的得分为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】组合数的计算、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值
【分析】的所有可能取值为，0，2，根据组合数及古典概型求出相应概率，列出分布列，根据期望公式求解即可.
【详解】的所有可能取值为，0，2，
所以，
，
，
则的分布列为：
所以.
故选：B.
4．（24-25高二下·河南商丘·期中）若投掷一枚图钉，每次针尖向上的概率都是，连续投掷3次，记针尖向上的次数为随机变量，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】均值的性质、二项分布的均值、方差的性质、二项分布的方差
【分析】运用二项分布的概率公式，结合期望方差公式计算判断即可.
【详解】因为，所以，故A错误；
，故B错误；
，，所以，，故正确，错误.
故选：C.
5．（24-25高二下·山东青岛·阶段练习）如图是一块改进型高尔顿板，将小木块设计成层，使小球在下落的过程中与小木块碰接时，有的概率向左，的概率向右落下，最后落入编号为、、、、的球槽内.游戏制定者规定：玩一次游戏所获奖金为元，，其中表示小球落入球槽的号数.则当最大时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的性质
【分析】对每个选项中，列出其分布列，计算出的值，比较大小后可得出结论.
【详解】由题意可知的可能取值为、、、、，
，，
，，
，
对于A选项，当时，，则的分布列如下表所示：
所以，
对于B选项，当时，，此时，
对于C选项，当时，，则随机变量的分布列如下表所示：
所以，
对于D选项，当时，，则随机变量的分布列如下表所示：
所以，
所以，故A选项中最大，
故选：A.
6．（24-25高二下·山西·阶段练习）一只智能玩具狗在起点处，每次向前或向后跳动一个单位长度，且每次向前、向后跳动的概率均为，记第6次跳动后到起点处的距离为个单位长度，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求离散型随机变量的均值
【分析】由题意知的取值依次为0，2，4，6，利用二项分布的概率公式可求得分布列，进而求得数学期望.
【详解】由题意知的取值依次为0，2，4，6，其中
，
所以．
故选：D.
7．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦、孙颖莎以3:1战胜日本队组合吉村真晴、大腾沙月，连续第三次夺得世乒赛混双冠军.假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为，则中国队组合再次以3:1获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题
【分析】根据比分可知前三局输一场第四局胜，根据独立重复事件的概率公式求解.
【详解】由题意，前三局胜两场输一场，第四局胜，
所以 ，
故选：A
8．（24-25高二下·辽宁大连·期中）在4次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件在1次试验中发生的概率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】独立重复试验的概率问题
【分析】根据独立重复试验概率公式求出随机事件恰好发生1次的概率，和恰好发生2次的概率，建立的不等式关系，求解即可.
【详解】依题意可得，解得，
即事件在1次试验中发生的概率的取值范围是.
故选：D
9．（24-25高二下·安徽·阶段练习）小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“0点”的格子中，每次向右移动1格或移动2格，其中每次向右移动1格的概率为p（），向右移动2格的概率为，要求参与者一共移动5次，每次移动之间互不影响，奖品放在“7点”的格子中，5次移动结束后参与者正好停在“7点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能的拿到奖品，则p的值为（ ）
A．0.2B．0.4C．0.5D．0.6
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、服从二项分布的随机变量概率最大问题
【分析】由题意可得，若五次移动结束正好停在“7点”格子中，必然是3次向右移动1格，2次向右移动2格，其概率，求导求出最值时的值.
【详解】由题意可得，若五次移动结束正好停在“7点”格子中，必然是3次向右移动1格，2次向右移动2格，其概率，
故，
当，，单调递增，当，，单调递减，
所以当时，取到最大值.
故选:D.
10．（24-25高二下·广东潮州·阶段练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，其中，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、均值的性质、离散型随机变量的方差与标准差、由离散型随机变量的均值求参数
【分析】由期望的性质可判断A；由对立事件的概率可判断D；由和概率和为1求出可判断B；求出可判断C；
【详解】对于A，，故A正确；
对于D，，故D正确；
对于B，又
联立得故B错误；
对于C，，故C正确；
故选：ACD.
11．（24-25高二下·陕西咸阳·期中）一个袋子中有3个大小相同的球，其中有1个红球、2个白球.从袋中不放回摸球2次，每次摸1个球，记摸得红球个数为X；从袋中有放回摸球2次，每次摸1个球，记摸得红球个数为Y，则（ ）
A．X的所有可能取值为0或1B．Y的所有可能取值为0或1
C．D．
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】求离散型随机变量的均值
【分析】由题意确定的取值可判断AB，再由离散型的概率计算出相应的概率可判断C，由期望公式可判断D.
【详解】对于A，由题意可得，摸得红球的个数为0或1，所以X的所有可能取值为0或1，故A正确；
对于B，由题意可得，有放回的摸球，每次都可摸到红球、摸到1次红球、摸到0次红球，
所以Y的所有可能取值为0或1或2，故B错误；
对于C，，
，故C错误；
对于D，，
，，
所以，即，故D正确.
故选：AD
12．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件 “出现奇数点”，事件“出现点或点”，则和相互独立
B．已知随机变量X，Y满足，若，则
C．某中学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3名同学去参加某公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.则至少选到2名女同学的概率是0.3
D．三批同种规格的产品，第一批占20%，第二批占30%，第三批占50%，次品率依次为6%、5%、4%， 将三批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是合格品的概率是0.953
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、二项分布的方差、利用全概率公式求概率
【分析】利用相互独立事件的定义判断A；利用二项分布的期望、方差公式，结合期望方差的性质求解判断B；利用古典概型的概率公式计算判断C；利用全概率公式计算判断D.
【详解】对于A，掷一枚质地均匀的骰子一次，则，而，
因此，事件和相互独立，A正确；
对于B，依题意，，，而，
于是，，B错误；
对于C，所求的概率为：，C错误；
对于D，由全概率公式得合格品的概率为：，D正确.
故选：AD
13．（24-25高二下·江苏常州·期中）下列命题正确的是（ ）
A．若随机变量，满足，，则
B．若，，，则
C．若，则
D．若分布，，则
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、方差的性质、两点分布的方差、超几何分布的方差
【分析】根据方差的性质判断A选项；利用贝叶斯公式判断B选项；根据超几何分布判断C选项；根据两点分布的期望与方差判断D选项．
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：因为，所以，
所以，故B正确；
对于C：若，则，故C正确；
对于D：若分布，，则，故D错误．
故选：BC.
14（24-25高二下·广东广州·阶段练习）已知离散型随机变量服从二项分布，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】均值的性质、二项分布的均值、方差的性质、二项分布的方差
【分析】由二项分布均值、方差公式以及性质即可求解.
【详解】由于服从二项分布，故，故正确，
，故C正确，
，，故B错误，D正确.
故选：ACD.
15．（24-25高二下·河北·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量，则
B．若随机变量，满足，则
C．已知随机变量，最大，则k的取值为3或4
D．若，，且，则C，D相互独立
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】二项式系数的增减性和最值、独立事件的判断、二项分布的均值、方差的性质
【分析】A利用二项分布的期望公式；B方差的性质；C利用二项式系数的性质可得；D利用条件概率的概率公式即可得出.
【详解】对于A，若随机变量，则，故A正确；
对于B，由方差的性质可知，，故B错误；
对于C，因为随机变量，
所以，，
所以要使最大，只需最大，
由二项式系数的性质得：当或4时，最大，故C正确；
对于D，因为，所以，
由条件概率公式，得到，
即C，D相互独立，故D正确．
故选：ACD．
16．（24-25高二下·天津静海·阶段练习）某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答．
(1)若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率；
(2)若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率；
(3)若逐个抽选，求在第一次抽选到男生的条件下第二次也抽到男生的概率；
(4)若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)分布列见解析；
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）利用古典概型概率公式计算求解；
（2）判断所求为条件概率，利用条件概率公式即可求解；
（3）采用缩小样本空间的方法，利用古典概型概率公式计算即得；
（4）列出所有符合的组合情况，计算的分布列与均值即可.
【详解】（1）若逐个抽选，恰好第一个抽选的是男生的概率为男生在成员总人数中所占的比率，即；
（2）记事件为恰好抽选了 1名男生与1名女生，事件为这2人都是高二学生.由题知男生总共5人，女生总共7人.
则，由条件概率可得： .
（3）对于“在第一次抽选到男生的条件下第二次也抽到男生”的概率，可采用缩小样本空间的方法，
计算从去掉1个男生后的4个男生中抽取1人的方法数，除以从去掉1个男生后的11人中抽取1人的方法总数的比值，
即得其概率为.
（4）因为恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，可能的情况包含“1名高一男学生与1名高二男学生” 、
“1名高一男学生与1名高二女学生”、 “1名高一女学生与1名高二男学生”、“1名高一女学生与1名高二女学生”.
抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，则的可能取值为0和2.
则，，
则的分布列为：
则均值为.
17．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）国家规定：中小学校每年组织一次在校学生乙肝病毒筛查体检.某学校现有学生4000名，假设每名学生携带乙肝病毒的概率是，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者.如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验次数4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照个人进行分组，将各组个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.
(1)若，记每人血样平均化验次数为，当取何值时，的数学期望最小；
(2)若，设每人血样单独化验一次费用5元，个人混合化验一次费用共元.求当取何值时，每人血样平均化验费用的数学期望最小，并求化验总费用.
参考数据及公式：，.
【答案】(1)
(2)，元
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、基本（均值）不等式的应用、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）利用离散型随机变量及其期望公式结合导数说明函数的单调性，从而计算最值即可；
（2）利用离散型随机变量及其期望公式结合基本不等式计算最值即可；
【详解】（1）每人血样平均化验次数为，
若混合血样呈阴性，则，若混合血样呈阳性，则，
所以，，
则
.
令，，即，
则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，且，，
所以当时，取得最小值，为.
（2）设每组人，每组化验总费用为元，
若混合血样呈阴性，则；若混合血样呈阳性，则，
且，，
所以，
则每人血样化验的费用为
，
当且仅当，即时取等号，
即个人一组，每人血样化验费用的数学期望最小，
此时化验总费用为（元）．
18．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.
(1)如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率；
(2)某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满200元就能得到一次抽奖机会，如消费180元没有抽奖机会，消费300元有一次抽奖机会，消费400元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入号球槽得到的奖金为（元），其中.
①求一次抽奖的奖金（元）的分布列及数学期望；
②已知某顾客在商场消费500元，设他所得的奖金为（元），求.
【答案】(1)
(2)①分布列见解析，数学期望；②.
【难度】0.65
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值、均值的性质
【分析】（1）直接利用独立重复实验的概率公式求解；
（2）（i）记随机变量M：小球掉入号球槽，求出M的分布列.由题意分析出的可能取值为：0，40，80，120.分别求出对应的概率，写出分布列，求出数学期望；（ii）得到某顾客所得的奖金为，即可求解.
【详解】（1）记事件A：小球落入6号球槽，需要在6次碰撞中有1次向左，5次向右.
所以；
（2）①记随机变量M：小球掉入号球槽，则M的可能取值为：1，2，3，4，5，6，7.
由题意可得；
；；
；
所以M的分布列为：
因为，所以X的可能取值为：0，10，20，30.
其中,,
,.
所以一次抽奖的奖金（元）的分布列为：
所以数学期望为.
②某顾客在商场消费500元，可以抽奖2次，所以他所得的奖金为.
因为，所以.
19．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）甲、乙两人进行游戏比赛，游戏共五局，先获得三局胜利的人赢得比赛；比赛分为进攻方与防守方，一方进攻则另一方防守，进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利，一方进攻成功则继续进攻，一方进攻失败则更换进攻方；甲在进攻方胜率为a，乙在进攻方胜率为，甲优先进攻．
(1)第二局乙获胜的概率；
(2)若，求甲在四局以内赢得比赛的概率；
(3)若，记游戏局数为，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】基本（均值）不等式的应用、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）设第二局乙获胜为事件A，则有第一局甲进攻甲胜且第二局甲进攻乙胜，第一局甲进攻乙胜且第二局乙进攻乙胜两种情况，再根据独立事件乘法公式计算即可；
（2）根据题意比赛可能进行三局或四局，求出对于概率，再相加即可.
（3）根据题意比赛可能进行3,4,5局三种情况，求出对于概率，再计算期望，再利用基本不等式和二次函数性质可得最大值.
【详解】（1）设第二局乙获胜的概率为，
则．
（2）设比赛三局甲获胜的概率为，比赛四局甲获胜的概率为，
则，
代入，得甲在四局以内赢得比赛的概率.
（3）若，则每局游戏中甲获胜的概率为，失败的概率为．
由题意，． 于是，利用，
因为，所以时，取得最大值．
20．（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球.
(1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率；
(2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列及方差.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差
【分析】（1）根据题设分析，对应事件为从3黑2红中取出2个球，应用古典概型的概率求法求概率；
（2）由题意的可能值为，并求出对应概率值，写出分布列，依次求出期望和方差，即可得.
【详解】（1）由题意，取球放球结束后袋子里白球的个数为2，即从3黑2红中取出2个球，
所以所求概率为；
（2）由题设，的可能值为，且，，，
所以的分布列如下，
则，故.
21．（24-25高二下·安徽·阶段练习）某单位春节期间，为烘托节日气氛，让员工既能感受到单位对员工的关爱，又能增加单位凝聚力，增强员工之间的感情，特拿出一部分资金，通过举行趣味乒乓球赛的方式给员工发福利.因为是趣味性的比赛，所以在比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率都受到现场气氛及前一局结果的影响.现甲、乙两位选手上场，根据以前的比赛情况，第一局甲胜的概率为；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是．每场比赛设奖金600元，奖金两人分完.因为是趣味比赛，比赛规则也别具一格，比赛采用五局三胜制，先赢三局者获胜，结束比赛，拿走全部奖金；若比赛三局后，没有决出胜负，也可由胜两局者提出，结束比赛.每局比赛没有平局.
(1)求在第3局后即决出胜负的概率；
(2)现甲、乙已经打了3局，其中甲胜了2局，若甲见好就收，停止比赛，则甲拿走奖金的；如果再继续比赛一局，第4局甲失败，若结束比赛，奖金平分.请你帮助甲，从获得更多的奖金的角度，对接下来的比赛如何进行决策.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、均值的实际应用
【分析】（1）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率；
（2）根据已知分别求出3局即停止比赛、进行第4局比赛，不管结果，结束比赛、若甲在第4局比赛失败，进行决胜局比赛对应的期望，比较大小得结论.
【详解】（1）第3局后即决出胜负，即甲连胜三场或乙连胜三场，
所以第3局后即决出胜负的概率为.
（2）甲的决策有三种方案，
方案一：3局即停止比赛，甲拿到奖金的期望为（元）；
方案二：进行第4局比赛，不管结果，结束比赛，设甲拿到奖金的期望为，
设甲在前3局中已经胜了2局的情况下第4局获胜的事件为，
前3局的情况有：
胜胜负，概率；
胜负胜，概率；
负胜胜，概率．
再继续比赛，第4局甲获胜的概率为
，
则第4局甲失败的概率为，
所以甲拿到奖金的期望（元）；
方案三：若甲在第4局比赛失败，进行决胜局比赛，设甲拿到奖金的期望为，
由方案二知，第4局甲失败的概率，
所以甲拿到奖金的期望（元）.
因为，所以选择方案二即四场比赛后即停止比赛，拿到奖金的期望更高.
【题型四：二项分布 】
1．（24-25高二下·山东临沂·阶段练习）为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则下列说法错误的是（ ）
A．甲乙丙三人选择课程方案有种方法
B．恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为
C．已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为
D．设三名同学选择课程“礼”的人数为，则
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、二项分布的均值、计算古典概型问题的概率
【分析】利用分步乘法原理判断A；结合排列数利用古典概型概率公式计算判断B；计算条件概率判断C；利用二项分布的期望公式求解判断D.
【详解】甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程，则选择方法有种，故A错误；
恰有三门课程没有被三名同学选中，表示三位同学每个人选择了不重复的一门课程，
所以所求的概率为，故B正确；
已知甲不选择课程“御”的概率为，甲乙丙都不选择“御”的概率为，
所以条件概率为，故C正确；
三名同学选择课程“礼”的人数为，则服从二项分布，则，
故D正确.
故选：A.
2．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）某新能源汽车公司生产的电池容量（单位：千瓦时），且．若质检部门随机抽检块电池，则恰好有块电池的容量在千瓦时以上的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】独立重复试验的概率问题、指定区间的概率、建立二项分布模型解决实际问题
【分析】由正态密度曲线的对称性可求得，若质检部门随机抽检块电池，其中容量在千瓦时以上的电池块数服从二项分布，由此可得结果.
【详解】因为，所以由正态密度曲线的对称性可知，
若质检部门随机抽检块电池，其中容量在千瓦时以上的电池块数为，则，
由二项分布的概率公式可得.
故选：C.
3.（2025·湖南长沙·三模）随着 2025 年春节档电影《哪吒》与《封神榜》的播出，中学生中掀起了一股对 “中国神话故事”的讨论热潮.某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “中国神话故事”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各 50 名作为样本，设事件 “喜欢中国神话故事”， “学生为女生”，据统计 .
(1)现采用分层抽样从 50 名女生样本中选出 5 人，再从这 5 人中随机选出 3 人，设其中喜欢中国神话故事的学生人数为 ，求 的概率分布列和期望;
(2)将样本的频率视为概率.
（i）求该校任意一名学生喜欢中国神话故事的概率；
（ii）现从全校的学生中随机抽取 名学生，设其中喜欢中国神话故事的学生人数为 ，且当 时， 取得最大值，求从全校学生中抽取的人数 .
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i） ；（ii） 或 40或41
【难度】0.65
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、服从二项分布的随机变量概率最大问题、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）的所有可能取值为，算出对应的概率可得分布列，进一步得数学期望；
（2）（i）由条件概率公式即可求解；（ii）由二项分布概率最大可列不等式求解.
【详解】（1），所以 5 个女生中喜欢神话故事和不喜欢神话故事的人数分别为 3 人和 2 人，故的取值范围是 ，
，
的分布列为
故 的期望为 ；
（2）（i） 因为已知 ，女生有 50 人，所以喜欢神话故事的女生人数为 30 人，
又因为 ，所以喜欢神话故事的人数为 45 人，可得 .
（ii） 随机变量 ，
令 ，
解得 ，
因为 ，所以 或 40或41.
4.（2025·陕西安康·模拟预测）小明和小红参加反应速度测试，该测试通过一个简单的视觉刺激来测试反应速度，其规则为当看到屏幕上红色圆变为绿色时，测试人员应当以最快速度敲击屏幕，若测试结果低于150毫秒，则被认定为“优秀”．已知小明和小红分别进行了m，n次测试，其中小明反应速度的优秀率为94%，小红反应速度的优秀率为98%，若将两人的测试情况进行混合，总体优秀率为97%．
(1)求的值；
(2)以频率估计概率，若从两人所有的测试结果中随机抽取3次，记其中由小明完成的测试次数为X，求X的分布列，以及数学期望与方差．
【答案】(1)
(2)分布列见解析 数学期望为，方差为
【难度】0.65
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率
【分析】（1）由优秀率建立等式求解即可；
（2）先确定服从二项分布，再根据分布列的公式求出各取值的概率，进而计算期望和方差.
【详解】（1）由题意，小明和小红分别进行了m，n次测试，
其中小明反应速度的优秀率为94%，小红反应速度的优秀率为98%，
则小明反应速度优秀的次数为，小明反应速度优秀的次数为，
因为总的测试次数为，所以，
即，即，
所以，所以；
（2）由可知，由小明完成的测试次数的概率为，
由小红完成的测试次数的概率为.
表示这次测试中由小明完成的次数，
则服从参数为，的二项分布，即.
则，.
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
所以的分布列为：
则，所以期望为，
方差为.
5．（24-25高二下·湖南长沙·期末）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，．
(1)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；
(2)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全省抽查10000名高中生进行体质测试，记这10000名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望．
附：若，则，，．
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、二项分布的均值、指定区间的概率
【分析】（1）求出X的可能取值及各个值对应的概率，列出分布列.
（2）由给定的数据求出，再利用正态分布求出概率，利用二项分布求出期望.
【详解】（1）依题意，体质测试不合格的学生有3名，则X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为
（2）依题意，，
，则，，
于是，
学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.9545，，
所以Y的数学期望.
6．（24-25高二下·重庆·阶段练习）为弘扬传统文化，传承端午民俗，我市特举办“粽情端午，舟竞风流”双队对抗赛.现有甲、乙两支队伍参加对抗赛，采用五局三胜制，每局均无平局，已知每局比赛甲队获胜的概率为，假设每局比赛的结果互不影响.
(1)比赛进行四局结束且乙队获胜的概率；
(2)记比赛结束时甲队胜的局数为，求的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【难度】0.65
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）由题意，乙队前三局输一局，第四局一定赢，根据相互独立事件的乘法公式即可得解；
（2）先写出随机变量的所有取值，再求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式求期望即可.
【详解】（1）由题意，乙队前三局输一局，第四局一定赢，
所求概率；
（2）由题意，可取，
，
，
，
，
所以的分布列为
.
7.（24-25高二下·河南郑州·期末）2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次.研究所设计了两种奖励方案.
方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金.
方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金.
(1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率；
(2)分别计算选择两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望；
(3)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，该研究所应选择哪一种抽奖方案进行奖励活动?
【答案】(1)
(2)，
(3)第二种
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、二项分布的均值
【分析】（1）先求出每一次摸到红球的概率，再由相互独立事件的概率解；
（2）求出两种方案所获奖金的分布列，再求期望；
（3）根据期望值大小判断.
【详解】（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为，
设“最终获得60元奖金”为事件，则.
（2）若按方案一抽奖，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.
设最终获得奖金为元，则的所有可能的取值为30，60，90，120，
则，，
，，
所以.
若按方案二抽奖，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得奖金为元，
则，故，
所以.
（3）因为，所以应选择第二种抽奖方案.
8．（2025·山东泰安·模拟预测）在概率统计中，常常用频率估计概率.已知袋中有若干个白球和红球，有放回地随机摸球次，白球出现次.假设每次摸出白球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出白球的概率的估计值为.
(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取个球，设摸出的球为白球的次数为，则.
（注： 表示当每次摸出白球的概率为时，摸出白球次数为的概率）
（ⅰ）完成下表，并写出计算过程；
（ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值.
(2)把（1）中“使得取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值.已知的参数的对数似然函数为，其中，求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性.
【答案】(1)（ⅰ）表格见解析，答案见解析；（ⅱ）
(2)，答案见解析
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用二项分布求分布列
【分析】（1）由题意可知，的值为或，根据二项公布的概率公式求解概率填入表格，由表中数据确定的值；
（2）由参数的对数似然函数，利用导数研究单调性，求出最大似然估计，与频率估计的概率比较后下结论.
【详解】（1）因为袋中这两种颜色球的个数之比为，且，
所以的值为或，
（ⅰ）当时，，
，，
当时，，
，，
表格如下
（ⅱ）由上表可知．
当或时，参数的概率最大；当或时，参数的概率最大．
所以 ；
（2）由，
则，
令，即，
故，
即当时，， 当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
即当时，取最大值，故，
因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的.
9．（24-25高二下·上海·阶段练习）福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油.已知某工艺师制作出一件优秀作品的概率为，在某次福州纸伞的比赛中，该工艺师制作了4件作品.
(1)设该工艺师制作的优秀作品数为X，求X概率分布列及期望；
(2)若制作一件优秀作品得10分，制造一件不合格品扣5分，求该工艺师在本次比赛中得分的期望和方差.
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)4；216
【难度】0.65
【知识点】利用二项分布求分布列、均值的性质、二项分布的均值、方差的性质
【分析】（1）求出X的所有可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望.
（2）求出比赛中得分与的关系，再利用期望、方差的性质求解.
【详解】（1）依题意，制作一件优秀作品的概率为，
该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X，X的所有可能取值为，，
，，，
，，
所以X的分布列为：
数学期望.
（2）设该工艺师在本次比赛中得分为Y，则，
由（1）知，，
则，
，
所以该工艺师在本次比赛中得分的期望和方差分别为和.
10．（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的.
(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列；
(2)第二小组进行试验，到成功了3次为止，求在第3次成功之前共有2次失败的概率.
【答案】(1)分布列见解析；
(2).
【难度】0.65
【知识点】独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列
【分析】（1）由题意，应用二项分布的概率求法求对应概率，即可得分布列；
（2）先分析事件，再应用独立事件乘法公式求概率即可.
【详解】（1）由题设，则，，，，
所以的分布列如下：
（2）由第3次成功之前共有2次失败，即共试验了5次，前4次成功、失败各两次，最后一次成功，
所以所求概率为.
11．（2025·安徽·模拟预测）为了解一种新药治疗某疾病的效果，在获得有关部门批准后，制药公司在若干医院进行试验，每个医院选10个病人服用此药，规定：若这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，否则认为这种药无效.
(1)甲医院参加试验的10个病人服用该药后有6人痊愈，乙医院参加试验的10个病人服用该药后有7人痊愈，现随机从甲、乙两医院中选择一个医院，然后从参加试验的10个病人中随机抽取2人，求恰好抽到痊愈、未痊愈的病人各1人的概率；
(2)假设这种新药的治愈率为80%，且每个病人服药后是否痊愈相互独立，求某医院经过试验认定该药无效的概率；（结果精确到0.0001）
(3)若已知这种病的自然痊愈率为10%，根据（2）的结果解释规定是否合理.
参考数据：512×62201≈32000000.
【答案】(1)
(2)
(3)合理
【难度】0.65
【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、利用全概率公式求概率
【分析】（1） 根据全概率公式求解即可；
（2）将10个病人服用新药视为10重伯努利试验，利用二项分布求解即可；
（3）根据（2）的计算结果，结合小概率事件的理解得出结论.
【详解】（1）设“抽到甲医院”，“抽到乙医院”，“随机抽取2人，恰好抽到痊愈、未痊愈的病人各1人”，
则，，，
由全概率公式得.
（2）将10个病人服用新药视为10重伯努利试验，在每次试验中，每个病人痊愈的概率均为0.8，且每个病人是否痊愈是相互独立的.
设表示这10个病人中痊愈的人数，则.设“经过试验认定该药无效”，事件C发生等价于，
所以
.
（3）由题意，实际上新药提高了治愈率，是有效的.
当痊愈的病人数不超过4时，认定新药无效，此时作出了错误的判断.
因为作出错误判断的概率很小，所以规定是合理的.
【题型五：超几何分布 】
1．（24-25高二下·陕西咸阳·期中）2017年5月，来自“一带一路” 沿线的 20 国青年评选出了中国的 “新四大发明”，高铁、扫码支付、共享单车和网购，为发展业务，某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内 个人口超过1000万的超大城市和 8 个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计， 若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为 .
(1)求的值；
(2)若一次抽取3个城市，则：
①假设取出小城市的个数为，求的分布列；
②取出3个城市是同一类城市求全为超大城市的概率.
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
【难度】0.65
【知识点】根据古典概型的概率求参数、计算条件概率、超几何分布的分布列
【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可.
（2）①由题意可知，的可能取值为，用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到的分布列.
②分别求出是同一大类的情况有多少种，再根据条件概率公式求解即可.
【详解】（1）由题意一次抽取2个城市，全是小城市的概率为，
，则，得或（舍），
故.
（2）①由题知的可能取值为
，，
，.
故的分布列为：
②取出个城市全为超大城市，共有种情况,取出个城市全为小城市，共有种情况.
取出3个城市是同一类城市全为超大城市的概率为.
2．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）甲、乙两人进行解题技能比赛，比赛规则如下：每轮比赛甲、乙每人均需要解答3道试题，解对题量多的一方获得1分，解对题量少的一方不得分．若两人解对的题量相等，则两人均不得分．已知甲解对每道题的概率均为，乙解对每道题的概率均为p，每人解对每道题与否互不影响，甲、乙解对试题与否互不影响，每轮比赛互不影响．
(1)若，求一轮比赛后甲比乙多解对1道试题的概率；
(2)设事件A表示“在一轮比赛中乙获得1分”，求；
(3)设，若乙要想至少获得2分，则从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛．
【答案】(1)
(2)
(3)5轮
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）根据互斥事件概率加法公式和独立事件乘法公式求解即可.
（2）根据互斥事件概率加法公式和独立事件乘法公式求解即可.
（3）设随机变量表示轮比赛后乙获得的积分，则，利用二项分布的期望公式及得，然后令，利用导数求解函数的最值即可求解.
【详解】（1）设事件表示“一轮比赛中解对道试题”，
事件表示“在一轮比赛中解对道试题”其中，
事件表示“轮比赛后甲比乙多解对1道试题”，
．
（2）依题意得
．
（3）设随机变量表示轮比赛后，乙获得的积分，
则，．
由，得，
又，所以．
令，
则在上恒成立，
即在上单调递增，所以的最小值为，
即的最小值为，则的最大值为．
因为，所以理论上至少要进行5轮比赛
3．（24-25高二下·陕西安康·阶段练习）为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取5人进行调查，得到如下样本数据：
(1)从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为成绩有进步的学生人数，求X的分布列及数学期望和方差．
(2)用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差．
【答案】(1)分布列见解析，，；
(2)分布列见解析，，.
【难度】0.65
【知识点】利用二项分布求分布列、超几何分布的均值、二项分布的方差、超几何分布的分布列
【分析】（1）由题设X可能取值为0，1，2，应用超几何分布的概率求法求出分布列，进而求期望和方差；
（2）由题意，应用二项分布的概率求法求分布列，进而求期望和方差.
【详解】（1）按分层随机抽样，成绩有进步同学抽取4人，成绩没有进步同学抽取6人，
所以X可能取值为0，1，2，，，，
X的分布列为：
所以X的期望为，；
（2）由题意，则，，，
的分布列为：
，.
4．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）某个学习小组有6名同学，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人参加一项活动，记男生的人数为．
(1)求的分布列和数学期望；
(2)现从该小组6名同学中重新选取3人参加另一项活动．
①求两次活动中恰好有一人都参加的概率；
②已知第一次活动有两名男生参加，求第二次活动这两名男生也参加的概率．
【答案】(1)分布列见解析，期望为2；
(2)①；②.
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、超几何分布的均值、超几何分布的分布列
【分析】（1）根据已知有的可能取值为，应用超几何分布的概率求法得到分布列，进而求期望；
（2）①应用组合数及古典概型的概率求法求概率；②根据题设分析知第二次这两名男生也参加，另一名从其它4人中选1人，应用组合数及古典概型的概率求法求概率.
【详解】（1）由题设的可能取值为，则，，，
所以的分布列如下：
；
（2）①由题意，6个人中有1个人参加两次活动有种，
再从5人中选2人参加第一项活动，最后从3人中选2人参加另一项活动，
所以两次活动中恰好有一人都参加的概率；
②第一次有两名男生参加，第二次这两名男生也参加，且另一名从其它4人中选1人，所以对应概率为.
5．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响.
(1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；
(2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望；
(3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求的分布列和方差.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)分布列见解析，
【难度】0.65
【知识点】利用二项分布求分布列、超几何分布的均值、二项分布的方差、超几何分布的分布列
【分析】（1）根据表格数据，结合频率公式，即可求解；
（2）根据条件，利用超几何分布概率公式，即可求解分布列，以及期望；
（3）根据题意可知，根据二项分布概率公式，即可求解.
【详解】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件，
则.
（2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），
其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3.
，，，，
的分布列为：
∴.
（3）由题意得，，


∴的分布列为：
∴.
6．（24-25高二下·江苏宿迁·阶段练习）强基计划于年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.
(1)若数学组的名学员中恰有人来自中学，从这名学员中随机选取人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望；
(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为、.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且.
①求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值；
②如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)①；②轮
【难度】0.65
【知识点】独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值、超几何分布的分布列
【分析】（1）分析可知，的所有可能取值是、、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；
（2）①设甲、乙两位同学在每轮答题中取胜为事件，利用独立事件的概率公式结合可得出，求出的取值范围，可求得的取值范围，令，，结合二次函数的基本性质可求得的最大值；
②要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值，设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，根据二项分布的期望公式以及已知条件可得出关于的不等式，即可解得的最小值.
【详解】（1）由题意可知，的所有可能取值是、、、，
，，
，，
所以的分布列是
数学期望是.
（2）①设甲、乙两位同学在每轮答题中取胜为事件，
则
，
由，得.
因为，，所以，
令，
所以，设，则，
当时，取得最大值.
所以，甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率取得最大值.
②要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值.
设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，，
由，即解得.
而，则，所以理论上至少要进行轮答题.
【题型六： 正太分布 】
1．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（ ）
A．B．
C．D．若某天只有可用，李明应选择坐公交车
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】正态曲线的性质、正态分布的实际应用
【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可．
【详解】依题意随机变量的均值为，方差为，即，，，
随机变量的均值为，方差为，则，，；
所以，故A正确；
，，
因为，
所以，故B错误；
，故C错误；
因为，
，
又，，
又与的密度曲线大致如下，所以，
所以，所以李明应选择公交车，故D正确．
故选：AD．
2．（2025·天津武清·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位数为17
B．若事件M，N相互独立，，，则
C．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取20份
D．已知随机变量X服从二项分布，若，则
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】二项分布的均值、正态曲线的性质、相互独立事件与互斥事件、总体百分位数的估计
【分析】由百分位数、正态分布、二项分布、独立事件概率的概念逐项判断；
【详解】对于A，数据从小到大排列 的共有10个数据，，所以第 80 百分位数为正确；
若事件M，N相互独立，，，则，B选项错误；
某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，
已知，则，
若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取份，C选项正确；
随机变量X服从二项分布，若，则，D选项正确；
故选：B.
3．（24-25高三上·江苏·期末）已知随机变量，若，，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、根据正态曲线的对称性求参数
【分析】根据正态密度曲线的对称性，得到，再利用“1”的妙用，利用基本不等式，即可求解.
【详解】由条件可知，正态密度曲线关于对称，所以，且，
所以，
则，
当且仅当，，即时，即时等号成立，
所以的最小值是.
故选：B
4．（24-25高二下·江苏·期末）某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布．已知时，有，则下列说法正确的是（ ）
A．该地小麦的平均株高约为10cm
B．该地小麦株高的方差约为10
C．该地株高超过110cm的小麦约占
D．该地株高低于130cm的小麦约占
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、3δ原则
【分析】应用正态分布的性质判断A，B，应用概率值及对称性计算对应概率值判断C，D.
【详解】某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布．
该地小麦的平均株高约为cm，A选项错误；
该地小麦株高的方差约为，B选项错误；
因为，该地株高超过110cm的小麦约占，C选项错误；
因为，该地株高超过130cm的小麦约占，
则该地株高低于130cm的小麦约占，D选项正确.
故选：D.
5．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知随机变量，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、根据正态曲线的对称性求参数
【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案.
【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线，
则，
所以，且，，即，
所以，
当且仅当，即时，取等号.
故选：C.
6．（2025·甘肃白银·模拟预测）正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（ ）
A．1262B．1300C．1366D．1400．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】标准正态分布的应用、指定区间的概率
【分析】根据正态分布的基本概念和性质，计算特定区间的概率解决实际中的人数估计问题．
【详解】整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，
所以，，所以，
即，即求．
由，得，
所以，
那么成绩落在区间（395，545）内的人数大约为，
故选：B．
7．（24-25高二下·山东淄博·阶段练习）设，这两个变量的正态曲线如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质
【分析】由已知图象可得与，与的大小关系，然后利用正态分布的性质逐一分析各选项即可得解.
【详解】由正态分布密度曲线图象的对称性知，，由图象形状可得，如图，
对于 A，由图象可得，故A错误；
对于 B，若，则，故B错误；
对于 C，由图结合图象的对称性知，，故C错误；
对于D，若，结合图象的对称性知，故D正确.
故选：D.
8．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
(1)求这100名学生的竞赛平均成绩
(2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
(3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值．
附：若随机变量服从正态分布，则，．
【答案】(1)64
(2)1587
(3)分布列见解析，
【难度】0.65
【知识点】利用二项分布求分布列、正态分布的实际应用、由频率分布直方图估计平均数、二项分布的均值
【分析】（1）利用频率分布直方图求出样本平均数.
（2）由（1）可得，利用正态分布的对称性求出，进而求出学生人数.
（3）由（1）求出，再利用二项分布求出分布列及期望.
【详解】（1）由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为，
样本平均数.
（2）由（1）知，，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，而，
因此，
所以参赛学生中成绩超过79分的学生数约为.
（3）由（2）知，，，
即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率为，
因此随机变量服从二项分布，的可能值为0，1，2，3，
则，，，，
所以随机变量的分布列为：
数学期望.
9．（24-25高二下·上海·阶段练习）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.
(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50.用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元.已知硬币出现正、反面的概率都是0.5，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第20格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次.若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值.
【答案】(1)300；
(2)0.8186；
(3)证明见解析，期望值为，约2万元
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、由频率分布直方图估计平均数、指定区间的概率
【分析】（1）利用每个矩形的中点值与频率之积求和即为平均值；
（2）利用正态分布曲线的区间来求解对应区间的概率即可；
（3）利用数列的递推思想来研究概率值，然后通过两点概率分布来求期望即可.
【详解】（1）由题意得：估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：
（2）由（1）可得：∵X服从正态分布，
∴它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率为：
.
（3）由题意可得：遥控车开始在第0格为必然事件，，
第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即.
遥控车移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种.
①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为，
②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为，
∴，∴，
∴当时，数列是公比为的等比数列，
∴，
以上各式相加，得，
∴，
∴获胜的概率，失败的概率，
∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，或0，
∴的期望，
∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为，约2万元.
10．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．
(1)电源电压X（单位：V）服从正态分布，且X的累积分布函数为，求．
(2)在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔．已知随机变量T（单位：天）表示某元件的使用寿命，T服从指数分布，其累积分布函数为．
①设，证明：；
②若第n天只有元件A发生故障，求第天系统正常运行的条件概率．
参考数据：若，．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、指定区间的概率
【分析】（1）根据正态分布原则，计算结果即可.
（2）①根据条件概率和所给分段函数，求出条件概率，证明等式成立；②根据上述等式，求出第元件正常工作的概率，根据独立事件概率公式，写出事件概率，求出结果即可.
【详解】（1）已知电源电压X（单位：V）服从正态分布，可知，
则，
则,
（2）①由题意知，
因为，所以，
等式右边，
所以成立.
②由①可得，
所以第天元件正常工作的概率均为，
当第天系统正常运行时，元件至少有一个在正常工作，其对立事件第天系统不正常运行时，元件都不正常工作.
则第天系统正常运行概率为.
11．（24-25高二下·河北·阶段练习）在一次联考中，经统计发现，张家口的两个学校的考生人数都为2000人，数学均分都为90，标准差都为10，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布．
(1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取20人进行访问，学生小A考分为65分，求他被抽到的概率大约为多少；
(2)根据统计发现学校乙得分不低于120分的学生有30人，得分不高于60分的有2人，试说明乙学校教学成绩的分布特点（与甲学校得分不低于120分和不高于60分的学生人数作对比）．
参考数据：若，则，，．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【难度】0.65
【知识点】正态分布的实际应用、3δ原则、指定区间的概率
【分析】（1）由正态分布确定70分及以下的学生人数，再由古典概率模型即可求解；
（2）由正态分布确定甲校130以上及58分以下人数，对比乙校数据即可判断.
【详解】（1）由题意可知甲校学生数学得分，
由，可得
，则，
所以分数在70分及以下的学生有人，
所以学生小A被抽到的概率．
（2）由，可得：．
所以甲校得分不低于120分的概率为，
得分不高于60分的概率为，
所以甲校得分不低于120分有人，得分不高于60分有人，
故乙校教学120分以上学生更多，得分不高于60分更少；
即乙校高分人数更多，低分人数更少.
12．（2025·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：
(1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表）
(2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数；
(3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：若随机变量，则.
【答案】(1)，样本中位数为
(2)8186
(3)分布列见解析，
【难度】0.65
【知识点】由频率分布直方图估计平均数、正态分布的实际应用、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）结合题设数据，根据平均数和中位数的定义求解即可；
（2）由题意，，，进而根据正态分布特殊区间的概率求解即可；
（3）由题意可得的所有取值为，再求出顾客每次抽奖返还2000元现金的概率，顾客每次抽奖返还1000元现金的概率，顾客每次抽奖不返还任何现金的概率，进而求解分布列和数学期望.
【详解】（1）由题意，平均数，
前3组的频率为，前4组的频数为，
所以样本中位数位于，设为，
则，解得，则样本中位数为.
（2）由题意，近似地服从正态分布，且，，
由于
，
因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为
.
（3）由题意，的所有取值为，
顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为，
顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为，
顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为，
则，，
，
，
，
则的分布列为：
所以.
13．（2025高三下·辽宁沈阳·专题练习）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布．
(1)随机抽取1包该公司生产的糖果，求其净含量误差不小于5g的概率（精确到0.001）；
(2)随机抽取2包该公司生产的糖果，其净含量误差均不小于5g，检测员根据抽检结果，判断生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由．
(3)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为．求的分布列和期望（精确到0.001）．
说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到．
参考数据：，，，其中为标准正态分布函数，具有性质．
【答案】(1)0.046
(2)检测员的判断是合理的，理由见解析
(3)分布列见解析，数学期望为
【难度】0.65
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、正态分布的实际应用、二项分布的均值、特殊区间的概率
【分析】（1）根据正态分布的性质即可求解；
（2）计算这两包糖果其净含量误差均不小于5g的概率，并用这个概率值的大小下结论；
（3）先求任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率，服从二项分布，即可求解.
【详解】（1）由题意，，的概率等于．
令，则．因此，．
故净含量误差不小于5g的概率约为0.046．
（2）检测员的判断是合理的．因为如果生产线不出现异常，由（1）可知，随机抽取2包检查，其净含量误差不小于5g的概率约为，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的．
（发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为设备运转异常，需对设备进行检修．酌情给分）．
（3）可能的取值为、、、．
由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为．
故服从二项分布，记，
，，，
从而的分布列为
因此．
14．（24-25高二下·山西·阶段练习）泊松分布是统计与概率学里常见的离散型概率分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，如自然灾害发生的次数等．若随机变量服从参数为的泊松分布，记作Pissn（），则其概率分布为．
(1)当时，泊松分布可以近似为正态分布．已知某交通路口平均每分钟通过的车辆数服从的泊松分布，试估算在一分钟内该路口通过的车辆数大于15且小于30的概率；参考数据：若，则，
(2)若随机变量服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中．某工厂生产电子元器件的次品率为0.003，现从一批产品中随机抽取1000件，记其中的次品数为，按泊松分布近似计算：
①这1000件产品中恰有2件次品的概率；（参考数据：）
②求使得最大时的值．
(3)若Pissn（），求证：当时，．
【答案】(1)0.8186；
(2)①0.225；②，或
(3)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】二项分布的均值、指定区间的概率、利用导数证明不等式、服从二项分布的随机变量概率最大问题
【分析】（1）由题意，结合正态分布原则即可求解；
（2）①由泊松分布概率公式求解即可；②由题意，故只需讨论与1的大小关系即可求解；
（3）分析知，只要证当时，，构造函数，利用导数证明即可.
【详解】（1）因为Pissn（），且，可近似地认为，即，
所以
；
（2）①由题知Pissn（），其中，
．
②，
所以，
当时，，当时，，当时，，
所以
所以当，或时，最大．
（3）因为Pissn（），所以，
由泊松分布的概率公式，得，
所以，
要证当时，，只要证当时，．
令，则，
所以在上单调递减，
又，所以只要证，
因为，所以只需证，
令，则对任意的恒成立，
所以在上单调递减，且，
所以，所以，
所以当时，.

【题型七：条件概率的综合应用 】
1．（24-25高二下·广东惠州·期中）端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经桥、桥、桥、桥及桥，活动期间在5座桥边各设置1个志愿者服务点.现有5名志愿者参加其中三座桥—桥、桥及桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，设事件为“甲在桥服务点”，事件为“乙和丙分到一起”，则下列结论中错误的是（ ）
A．事件与事件相互独立B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、独立事件的判断
【分析】对于B选项，分为2，2，1和3，1，1，两种情况，求出5名志愿者参加其中三座桥的情况数，再得到甲在G桥服务点的情况数，得到概率；
对于C选项，求出乙和丙分到一起的情况数，得到概率；
对于A选项，求出事件包含的情况数，得到，根据独立事件的概念得到A正确；
对于D选项，根据条件概率公式求出条件概率.
【详解】对于选项，5名志愿者参加其中三座桥，桥、桥及桥的服务，
要求这三个服务点都有人参加，可以分为2，2，1和3，1，1，
其中分为2，2，1时，共有种情况，其中分为3，1，1时，共有种情况，故共有种，
其中甲独自在桥服务点，此时剩余4名志愿者可以分为2，2和3，1，
当剩余4名志愿者分为2，2时，有种情况，
当剩余4名志愿者分为3，1时，有种情况，
当甲和另外一个人在桥服务点，从剩余4名志愿者先选1人，剩余3人，分为两组，故有种情况，
当甲和另外2人在桥服务点，从剩余4名志愿者先选2人，剩余2人，分为两组，故有种情况，故，所以，B正确；
对于选项，乙和丙分到一起，当5名志愿者分为2，2，1时，有种情况，
当5名志愿者分为3，1，1时，先从剩余3名志愿者选择1人和乙，丙一起，
再将剩余2人进行全排列，有种情况，故，错误；
对于选项，表示甲在桥服务点，乙和丙分到一起，
若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为2，2，1，则有种情况，
若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为3，1，1，从剩余2人中选择1人和乙，丙一起，有种情况，
若甲和另外一个人在桥服务点，先从除了乙，丙外的剩余2名志愿者选1人，再进行排列，则有种情况，
当甲和另外2人在桥服务点，则一定是和乙，丙一起，剩余2人进行全排列，共有种情况，
综上，，，
因为，故事件与事件相互独立，正确；
对于选项，，正确.
故选：.
2．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率
【分析】根据给定条件结合条件概率公式，可得事件相互独立，再逐项分析判断.
【详解】由，得，
即，因此事件相互独立，
对于A，，A正确；
对于B，独立事件的概率无需满足，如，
当时，事件相互独立，而，B错误；
对于C，独立事件的概率和无特殊要求，如，
当时，事件相互独立，而，C错误；
对于D，，当且仅当时，，
而题设无的条件，D错误.
故选：A
3．（24-25高二下·四川内江·阶段练习）1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2，3号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（ ）
A．如果坚持第一次选择，你获得豪车的概率为
B．主持人打开3号门的概率为
C．在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为
D．在主持人打开3号门的条件下，改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率
【分析】设分别表示号门里有豪车，用分别表示主持人打开号门，然后用全概率公式和条件概率公式对选项进行分析即可.
【详解】设分别表示号门里有豪车，用分别表示主持人打开号门，
对于A，游戏参与者初次选择了1号门，在做选择的时不知道豪车在哪扇门后，
因此事件发生的概率均为，正确；
对于B，在选择了1号门的前提下，主持人打开1号门外的一个门有以下几种可能的情况：
豪车在1号门里，主持人打开2，3号门，，
豪车在2号门里，主持人只能打开3号门，，
豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，，
由全概率公式，正确；
对于CD，在3号门打开的条件下，1号门和2号门里有豪车的条件概率为：
，
因此选2号门会使获得豪车的概率更大，是正确的决策，即错误，正确.
故选：ABD
故答案为：；.
4．（2025·天津南开·模拟预测）2044年，当同学们重返母校参加140周年校庆时，惊喜地发现，南院正门外真的出现了一家“南德琐艾奶茶店”，这里正出售6款饮品，分别为林林清风、金晓惠兰、明明如月、幽幽谭香、天天爆柠、雅韵冰酿．甲、乙两位同学分别选购3款不同饮品，则甲选购的饮品中有“林林清风”的概率为 ；在甲选购了“林林清风”这款饮品的条件下，甲、乙二人所选饮品中恰有1款相同的概率为 ．
【答案】 / /
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率
【分析】利用组合数，结合古典概型，并结合条件概率的定义计算即可.
【详解】总共有6款饮品，甲选购3款不同饮品，总的选购方案数为组合数,
甲选购的饮品中包含“林林清风”的方案：固定“林林清风”被选中，
则甲需从剩余5款饮品中选购2款，方案数为，因此，概率为 ；
条件：甲已选购包含“林林清风”的3款饮品（记作集合，其中必含“林林清风”），
乙独立选购3款不同饮品，总的选购方案数为.
要求甲、乙所选饮品集合的交集大小恰好为1（即恰有1款相同）；
设饮品全集为，其中为“林林清风”，
不失一般性，设甲选购，则剩余饮品为.
乙选购时，恰有1款与甲相同，即乙从中选1款，
并从中选2款.从选1款的方案数：，
从选 2 款的方案数：.
因此，满足条件的乙选购方案数为，概率为.
故答案为：；.
【题型八：离散型随机变量的综合应用 】
1．（24-25高二下·山东·阶段练习）如图是一块高尔顿板示意图，在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球粒数大约是（ ）
A．30B．40C．50D．60
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】独立重复试验的概率问题
【分析】小球每次下落的选择，服从二项分布，当落入3号格，需要做出3次向左，2次向右的选择，根据二项分布，求出事件概率，计算结果.
【详解】设事件“向右下落”，则事件“向左下落”，且.
设事件A发生的次数为Y，所以.又小球下落过程中共碰撞5次，所以，
所以，
当落入3号格，需要做出3次向左，2次向右的选择，所以，
故投入160粒小球，落入3号格的小球大约有（粒）.
故选：C.
2．（24-25高二下·江苏宿迁·阶段练习）在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名.由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为50万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、服从二项分布的随机变量概率最大问题
【分析】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为，根据马尔可夫不等式可得，再根据二项分布求得，令，利用导数即可求得最大值.
【详解】设为某市去年1名市民的年收入，
某市去年的人均年收入为50万元，则，
设1名市民去年的年收入超过100万元的概率为，
所以，
因为，
由题可得，
设，，
则，
所以，
即的最大值为.
故选：D
3．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）某课程开发团队开发了三类课程，分别为经典课（录播模式）、双师课（直播+辅导）、智适应课（AI驱动），其中智适应课尚在测试阶段．每位用户只能选择其中一类课程进行学习，其中经典课的用户占总用户的40%，该课程的完成率（以下称完课率）为65%，双师课的用户占总用户的60%，其完课率为85%，智适应课还在测试阶段，暂无用户．
(1)从现有用户中随机抽取一人，求该用户完成所选课程的概率．
(2)为测试智适应课的效果，该团队计划在各类课程完课率不变的情况下减少经典课、双师课的用户占比，增加智适应课的用户占比．若每位用户是否完成课程相互独立，且智适应课的完课率为90%，经典课、双师课用户减少的占比相等，则当智适应课的用户占比为多少时，可以保证从完成课程的用户中随机抽取一人，其选择智适应课的概率为22.5%?
(3)设智适应课开放使用后的用户占比为．已知智适应课的用户占比影响服务器的配备台数，当时，则需使用1台服务器；当时，则需使用2台服务器；当时，则需使用3台服务器．若每台服务器的年固定成本为30万元，投入使用的服务器每台每年可获得收入200万元，未投入使用的服务器每台每年没有收入，，．为使总利润的期望最大，试问该团队应配备几台服务器？
【答案】(1)0.77．
(2)智适应课的用户占比需达到．
(3)2台服务器．
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率
【分析】（1）设事件为“取的用户完成所选课程”事件为“用户选择经典课”事件为“用户选择双师课”由全概率公式计算可得；
（2）设事件为“用户选择智适应课”经典课、双师课的用户占比均减少，由条件概率公式计算可得；
（3）分别求出配备1,2,3台设备的总利润，再比较可得.
【详解】（1）设事件为“取的用户完成所选课程”事件为“用户选择经典课”事件为“用户选择双师课”
则由全概率公式，得，
即从现有用户中随机抽取一人，该用户完成所选课程的概率为0.77．
（2）设事件为“用户选择智适应课”经典课、双师课的用户占比均减少，
则．
由条件概率公式，得，所以，
解得，
所以智适应课的用户占比需达到．
（3）设总利润为万元．
①若配备1台服务器，则万元．
②配备2台服务器，
当时，使用1台服务器，则；
当时，使用2台服务器，则．
所以万元．
③配备3台服务器，
当时，使用1台服务器，则；
当时，使用2台服务器，则；
当时，使用3台服务器，则．
所以万元．
因为，所以为使总利润的期望最大，该团队应配备2台服务器．
【题型九： 条件概率在其他情景中的应用 】
1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）如图，数轴上的点分别对应实数，质点从原点出发，每次随机地向左或向右移动1个单位长度，移动了4次．以下结论正确的是（ ）
A．质点移动过程中每次离点的距离都不超过1个单位长度的概率为
B．质点最终移动到点的概率为
C．质点在经过点的条件下，最终回到点的概率为
D．质点在经过点的条件下，最终回到点的概率为
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式
【分析】分别计算每个选项中对应的事件概率，依据古典概型和条件概率的公式及相关原理进行分析.
【详解】对于选项A：可以从每次移动的概率角度分析，每次从点离开（概率为），下次必须回到点（概率为1），所以概率为. 故A正确；
对于选项B：点对应实数2，从原点出发移动4次最终到点，说明向右移动的次数比向左移动的次数多2次.
设向右移动次，向左移动次，则且，解得，.
从4次移动中选3次向右移动的组合数为，而总的移动情况数为种，
所以质点最终移动到点的概率为. 故B正确；
对于选项C：记质点经过点为事件，质点最终回到点为事件.
先求（事件包含的基本事件个数）：
记质点从出发这4次经过的位置为，
则，
所以，其中，，
根据条件概率公式，故C错误；
对于选项D：由于两点关于点对称，所以质点经过点和经过点的情况在本质上是一样的，因此这两个选项的答案相同，故D正确.
故选：ABD.
2.（24-25高二下·河北保定·期中）1990年9月，美国《Parade》杂志首次公开讨论了源自美国电视节目《Let’s Make a Deal》的蒙提霍尔问题（Mnty Hall Prblem）：主持人事先在编号为1，2，3的三个外观相同的三扇门后随机选择一个放入豪车，其余两扇门后放入山羊，再将三个门关闭．当游戏参与者在三扇门中选择一个门后，在门打开之前主持人先打开了另外两个门中的一个门，按游戏规定，主持人只打开游戏参与者的选择之外的门后是山羊的门，当两个都是山羊时，他随机选择其中一个打开，并问参与者是否愿意更改选择以便更大概率获得豪车．用表示号门后有豪车，用表示主持人打开号门，已知甲选择了1号门，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该坚持选择1号门
D．主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该改选3号门
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率
【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，全概率公式及贝叶斯公式逐个判断即可.
【详解】A选项，由题意，故A正确，
B选项，甲选择1号箱，奖品在3号箱里，主持人打开2号箱的概率为1，
即，故B正确，
CD选项，在选择了1号门的前提下，主持人打开2号门有以下几种可能的情况：
豪车在1号门里，主持人打开2号门，故，
豪车在2号门里，主持人打开2号门，故，
豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，故，
由全概率公式，
由贝叶斯公式，在2号门打开的条件下，1号门和3号门里有豪车的条件概率为
，
故选3号门会使获得豪车的概率更大，即错误，正确.
故选：ABD
【题型十：离散型随机变量在其他情景中的应用 】
1．（2025·江西新余·模拟预测）在毕业晚会上小郅与小睿玩一个游戏．如图，在平面直角坐标系中有25个格点（横、纵坐标均为整数的点），他们将一颗棋子放在处，“终点”为；一人持有一质地均匀的骰子，轮到其回合时他可以投一次骰子记向上点数为，若棋子在点，为另一格点且，则回合者可以将棋子从点移动至点，若不在终点则继续投掷，直至棋子被移动到终点其回合结束．每人轮一回合，最终投掷骰子次数较少的一方获胜． 注意事项如下：
① 若对于某个点位，不存在格点使，则棋子不移动但记录一次投掷骰子的次数，否则棋子必须移动；
② 若某次投骰子所示的点数可以使棋子直接移动到终点，则他们会直接进行此操作；
③ 棋子的所有落点只能在这5×5的格点中．
(1)假设除了最后一次投掷以外，棋子移动到某一向上点数限制可到达的点位的概率均等（例如棋子在处对于点数1，则它移动到的概率均为）：
①已知小睿移动两次棋子后棋子落在，设棋子第一次移动到达点位的纵坐标为，求的分布列；
②求小睿3次移动棋子后即结束其回合的概率；
(2)当后手小郅发现他要获胜则投掷骰子次数恰好不能超过2次时，此次移动他不会选择使他必败的策略（除非2步内无法取胜）．若小睿在他的回合投掷了6次骰子，小郅的前两次移动棋子到达，讨论下一次投骰子的不同点数对应的最优落棋位置并以此分析其下次掷出的最佳点数．
【答案】(1)① 答案见解析；②
(2)答案见解析
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题
【分析】（1）①根据独立事件的乘法公式，求出离散型型随机变量的分布列；②根据分布列中事件的概率，利用条件概率公式，求出3次移动棋子后结束回合的概率.
（2）先分类讨论出两部到达终点的所有方法，根据这些方法分类计算下次不同点数下2次到达终点的概率，比较概率大小，判断出下次投掷的最佳点数.
【详解】（1）①可取：0，1，而该事件发生两次点数先后只能为：，设事件棋子第一次移动到达点位纵坐标为；事件：两次移动后棋子到达．
，
，
，
所以：的分布列：
②设三次掷出的骰子点数依次为，记为，则3次移动结束回合有：
几种方式，
所以，
，
所以.
（2）先计算中间9个格子（除，，以外）两步内到达终点的概率，
用表示点两步内到达终点的概率，易见：，假设两种情况下获胜的概率相同，则小郅进行这两次操作的概率相同．一次移动后可能到达的点位有：，分别计算概率得：
，，，，
，，
故点数为1时，，最佳落子为，该点获胜概率为；
点数为2时，，最佳落子为，该点获胜概率为；
点数为3时，只能落到，该点获胜概率为；
点数为4，5，6时，此次机会浪费，获胜概率为；
而又：，所以最佳掷出的点数为2
场上位置
边锋
前卫
中场
出场率
0.2
0.5
0.3
球队胜率
0.5
0.6
0.8
a
b
ab
P
1
2
3
1
2
3
4
5
P
1.4
2.8
4.2
5.6
P
0
1
X
1
2
3
P
1
2
3
4
0
1
2
3
0
1
2
0
1
2
了解“村BA”
不了解“村BA”
总计
男生
30
50
80
女生
5
75
80
总计
35
125
160
X
0
1
2
3
4
P
株高（单位：厘米）
第1组（长效肥）
2
10
6
2
第2组（缓释肥）
3
8
8
1
第3组（未施肥）
8
5
6
1
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0.1
0.4
0.2
0.2
0
2
0（小明）
1
2
3
4
5
6
7（奖品）
8
9
10
X
－1
0
1
P
a
c
0
1
M
1
2
3
4
5
6
7
P
X
0
10
20
30
P
1
2
3
1
2
3
P
序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩（分）
38
41
44
51
54
56
58
64
74
80
X
0
1
2
3
P
0
1
2
3
4
0
1
2
3
成绩有进步
成绩没有进步
合计
参加周六到校自主自习
55
20
75
未参加周六到校自主自习
30
45
75
合计
85
65
150
X
0
1
2
P
0
1
2
P
1
2
3
时长（小时）
人数（人）
3
4
33
42
18
0
1
2
3
P
满意度评分
频数
10
15
20
30
15
10
0
1000
2000
3000
4000
0
1
2
3
0.595
0.337
0.064
0.004
1
4