暑假作业08 导数的极值和最值-【暑假作业】2025年高二数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

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作业08 导数的极值和最值
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一： 函数极值的辨析 】
1．（24-25高二下·山东·期中）已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数极值的辨析、根据极值点求参数
【分析】对于函数，先对其求导，因为函数有两个不同的极值点，那么其导数等于零的方程有两个不同的正根，由此可通过二次函数的性质来确定实数的取值范围.
【详解】已知，其定义域为.
对求导可得：.
因为函数有两个不同的极值点，所以在上有两个不同的实根，
即方程在上有两个不同的实根.
设，此方程为二次方程，要使其在上有两个不同正实根，
需满足以下条件：二次项系数不为零：，
因为若，则，为一次函数，最多有一个零点，不符合题意.
判别式：所以，解不等式得到.
两根均大于零：根据韦达定理，在中，
两根满足，，解得；
综合以上三个条件，的取值范围是.
故选：B.
2．（24-25高二下·北京通州·期中）若函数在上存在极值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】函数极值的辨析、根据极值求参数
【分析】依题意将极值点问题转化为导函数有变号零点的问题，再结合判别式可求得结果.
【详解】易知函数的定义域为，则，
依题意可得导函数在上存在变号零点，
即有实数根，且不能是两个相等的实根，
因此，解得或；
即实数的取值范围为.
故选：B
3．（2025·重庆·三模）已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数极值的辨析、根据极值求参数
【分析】先根据绝对值的性质将函数写成分段函数的形式，再对其求导，结合极小值点的性质来确定实数的取值范围.
【详解】已知，根据绝对值的性质，
当时，，此时；
当时，，此时.
所以.
对分段函数求导，
当时，，对其求导，可得；
当时，，对其求导可得.
因为是函数的一个极小值点，所以在左侧附近，在右侧附近.
当时，，令，即，解得；
当时，，令，即，解得.
要使是极小值点，则需满足，解这个不等式，得.
所以实数的取值范围是.
故选：A.
4．（24-25高三下·河北承德·阶段练习）定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．有极大值无极小值B．有极小值无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值又无极小值
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数极值的辨析
【分析】设函数，则，进而可得，结合已知求得，利用二次求导可判断的极值.
【详解】由知，
设函数，则.则，c为常数.
所以.又，
则，..
设，，
当时，，当时，，
则在单调递减，在单调递增，
所以的最小值为，即.
所以在上单调递增，既无极大值又无极小值.
故选：D.
5．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间上至少有2024个极值点，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数极值的辨析、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、根据极值点求参数
【分析】根据极值点的概念，结合正弦函数型图象特征，构造不等式计算即可.
【详解】由，得，即，．
所以第2024个极值点为，令，得．
故选：C．
6．（2025·全国·模拟预测）函数在区间的极大值点的数目为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数极值点的辨析、求已知函数的极值点
【分析】求出函数的导数，利用正弦函数的性质可分析出函数极大值点的个数.
【详解】，
因为，故由正弦函数性质知，时，，，函数递增，
当时，，，函数递减，为函数的一个极大值点 ，
所以时，函数有1个极大值点；
由正弦函数的周期性，可知在上，函数有5个极大值点，
故选：C
7.（2025·江苏·三模）设函数的定义域为是的极大值点，则（ ）
A．是的极小值点B．是的极大值点
C．是的极小值点D．是的极大值点
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、函数极值点的辨析
【分析】A选项，的图象和的图象关于轴对称，是的极大值点；BD选项，可举出反例；C选项，的图象和的图象关于原点对称，故是的极小值点.
【详解】A选项，的图象和的图象关于轴对称，
因为是的极大值点，故是的极大值点，A错误；
BD选项，取，则是的极大值点，
，故不是的极大值点，B错误；
，其为偶函数，在上单调递减，
不是的极大值点，D错误.
C选项，的图象和的图象关于原点对称，
因为是的极大值点，故是的极小值点，C正确.
故选：C
8．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处可导，是函数在点处取得极值的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件、函数极值点的辨析
【分析】函数在点处取得极值的充要条件是：且在点附近的左右两侧异号，由此结合充分、必要、充要条件的判断，即可得到答案．
【详解】函数在处可导，推不出函数在点处取得极值；
反之，函数在点处取极值，必有．
故是函数在点处取得极值的必要不充分条件．
故选：B．
9.（2025·河南·模拟预测）函数在上的零点和极值点的个数分别为（ ）
A．5，3B．5，4C．3，4D．3，2
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数极值点的辨析
【分析】由二倍角的正弦公式结合正余弦函数的值域可判断零点个数；求导后令导数为零，结合余弦函数的值域可得判断极值点个数.
【详解】令，所以或，
又，所以，即在上有5个零点；，
令，解得或，
又，所以在区间上有2个解，在区间上有2个解，故在上有4个变号零点，即在上有4个极值点.
故选：B.
10．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ）
A．B．C．4D．9
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】等比数列下标和性质及应用、函数极值点的辨析
【分析】由题意可知，，是方程的两根，利用韦达定理和等比数列的性质求解即可．
【详解】由题得，
因为，是函数的极值点，
则，是方程的两根，
所以从而可得，
又因为等比数列，可得，且，所以.
故选：B.
11．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的单调区间;
(2)当时，
①证明: 有唯一极值点;
②若存在，使得恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间，单调递增区间.
(2)①证明过程见解析；②
【难度】0.4
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、函数极值点的辨析
【分析】（1）求导得，再解三角不等式即可求出；
（2）①求导，再令，结合零点存在性定理可得存在唯一一个零点，再结合的单调性即可求证；
②先根据①写出，再构造函数求其最大值，最后利用即可求出.
【详解】（1）当时，，
则，
当时，，
由得，即；
由得，即；
则的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）①由得，，
令，
则在上恒成立，
则在上单调递增，
因，
则，，
则，使得，即，
则得；得；
则在上单调递减，在上单调递增，
则存在唯一极小值点；
②由①可知，
令，
则
，
则得；得，
则在上单调递增，在上单调递减，
则，
因对恒成立，则，
又使得成立，则，
因，，
则，得，
故的取值范围为.
【题型二：求已知函数的极值 】
1．（24-25高二下·山西·期中）已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】求过一点的切线方程、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、函数极值点的辨析
【分析】设切点后由导数的意义得到切线方程，代入转化为三次方程有三个不同实数根问题，构造函数求导得到极值点和极值，再根据三次方程有三个不同根的条件计算.
【详解】设切点为，
由可得，所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
由点在切线上代入可得，
即三次方程有三个不同的实数根，
令，则，
所以极值点为和，
又极值点处函数值为，
三次方程有三个不同实数根的充要条件是极值点处函数值异号，
所以，解得.
故选：B
2．（2025·江西·模拟预测）函数在区间上的极值点个数为（ ）
A．675B．676C．2027D．2028
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】正切函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数、函数极值点的辨析
【分析】根据极值点的定义，将问题等价转化为函数求零点，根据零点的定义，结合图象，可得变号零点存在的区间，结合题意，可得答案.
【详解】由题意可得．
当时，显然，于是，
易知符合条件的解为的变号零点，即的极值点，
于是的极值点均可视作的图象与直线交点的横坐标，
由可知交点必在第四象限．
当时，由图象可知的解集为．
故的图象与直线在每一个区间上有且仅有一个交点．
由解得，故满足条件的区间共676个，
于是的图象与直线在区间上共有676个交点，
即在区间（0，2028）上共有676个极值点．
故选：B．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数
【分析】求出函数的导数，利用给定极值点求出，进而求出极小值.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
由是函数的极值点，得，解得，
函数，，
当或时，；当时，，
所以函数的极小值.
故选：A
4．（24-25高二下·河南·阶段练习）函数的零点的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点
【分析】利用导数确定单调性，再利用零点存在性定理求得答案.
【详解】函数的定义域为，求导得，
函数在上单调递减，而，
所以函数有唯一零点，即零点个数为1.
故选：C
5．（24-25高二下·天津南开·期中）已知函数，下列命题正确的有（ ）
A．可能有2个零点
B．没有极小值
C．时，
D．若存在极大值点，其中，则
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点
【分析】讨论的范围，根据不同的取值讨论函数的单调性及极值和零点，即可判断A、B两项；再根据得到，根据时的单调性即可判断C；根据分析已知，，解关于的方程即可，得，即可判断D.
【详解】函数的定义域为，.
当时，，根据二次函数性质可知最低点坐标为，此时函数与轴无交点，即函数无零点；
当时，令，或.
当时，在时，，在上，即在上单调递增，在和上单调递减.
故此时有极小值点，极小值为，存在极大值点，极大值为；，所以有一个零点.
当时，在时，，在上，即在和上单调递增，在上单调递减.
故此时有极小值点，极小值为，存在极大值点，极大值为；，所以有一个零点.
对于A，当时，函数无零点；和时有一个零点；故A错误；
对于B，当时，函数有极小值，故B错误；
对于C，时，，此时在上单调递减，又，所以，故C错误；
对于D，由上述分析可知，则，，即.
已知方程已有一根为，故可因式分解得，解得与相异的根，则，故D正确.
故选：D.
6．（24-25高二下·天津·期中）已知函数，其导函数为，下列说法不正确的是（ ）
A．函数的单调减区间为
B．函数的极小值是
C．函数的图象有条切线方程为
D．点是曲线的对称中心
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断或证明函数的对称性、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值
【分析】利用导数求出函数的单调区间结合极小值的定义即可判断AB；根据导数的几何意义即可判断C；求出即可判断D.
【详解】由，得，
令，则，令，则或，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以函数的极小值是，故AB正确；
对于C，设切点为，
则，解得或，
当时，，切线方程为，
当时，，切线方程为，
所以函数的图象没有一条切线方程为，故C错误；
对于D，因为
，
所以点是曲线的对称中心，故D正确.
故选：C.
7．（2025·广东·模拟预测）已知函数，则的极小值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值
【分析】求出函数的导函数，分析可得在区间上单调递增，又，即可得到在区间 上单调递减，从而求出函数的极值.
【详解】因为，所以，
当 时，，故 ，
所以，
当 时，，故 ，
所以，
综上，当时，恒成立，故在区间上单调递增，
又因为，，
即，所以的图象关于直线对称，
故在区间 上单调递减，故为的极小值点，的极小值为 .
故答案为：
8．（24-25高二下·云南保山·期中）已知函数，函数在处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)求函数的极值.
【答案】(1)
(2)极大值为，极小值为
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值
【分析】（1）先求导，由已知根据即可求解；
（2）利用导数判断函数的单调性即可求解极值.
【详解】（1）函数的定义域为，，
在处的切线方程为，
，解得.
（2）由（1）知，
，，
令，得或；令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
因此在处取得极大值，且，
在处取得极小值，且，
故的极大值为，极小值为.
9．（2025·上海黄浦·三模）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：．
(1)若，求出函数的极值点，并判断的符号；
(2)若，，讨论方程解的个数；
(3)若，当，，记与中较大者为．证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、求函数零点或方程根的个数
【分析】（1）令 ，解得 或 ，再求，分别代入求解即可；
（2）求出，令 ，利用导数研究函数的单调性与极值，分类讨论即可得到答案.
（3）假设 在 上的最大值在某个内点 处取得，可得，结合导出矛盾，则假设不成立，进而可得结论.
【详解】（1），令，解得或，
由或；由.
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
所以是函数的极大值点；是函数的极小值点.
又，当时，；
当 时，.
（2）因为 ，所以 ，，
则 ，
令 ，，，
令 ，即 ，因为 ，所以 ，
当 时，，所以 在上严格递增，
当 时，，所以 在上严格递减，
所以函数在 处取得最大值 ；
当 时，；当 时，，
时， 的图象无交点；当 时，的图象有 1 个交点；当 时，的图象有 2 个交点，
所以当 时，方程 无解；当 时，方程 有 1 个解；当 时，方程 有 2 个解；
（3）假设 在 上的最大值在某个内点 处取得，
即时 ，
由最大值的定义且 可导，且，，
因为当，，所以 ，
所以 ，由于 ，所以 ，所以 ，
但 ，而 ，这与 矛盾，
因此，函数 在 上的最大值只能在端点 或 处取得，
即
10．（24-25高二下·新疆喀什·期中）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)求函数在上的最大值.
【答案】(1)极小值-10，极大值27
(2)17
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出极值.
（2）由（1）的信息，利用导数求出最大值.
【详解】（1）函数定义域为R，，
当或时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，当时，有极大值.
（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以当时，取得最大值17.
11．（河北省邢台质检联盟2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题）已知函数，．
(1)求的极值；
(2)求的极值；
(3)当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）直接求导，判断函数的单调性，结合极值的概念进行求解；
（2）求导，判断出在上单调递增，在上单调递减，有极大值即可求解；
（3）把问题转化为，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：．
当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
所以当时，取得极大值，极大值为，
当时，取得极小值，极小值为．
（2）．
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以当时，取得极大值，极大值为．无极小值；
（3）当时，和都在处取得最值，
要使得，则，即，解得．
故a的取值范围为．
12．（2017·全国·高考真题）已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)求的极小值．
【答案】(1)；
(2)4
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、分式不等式
【分析】（1）列出不等式直接求解即可.
（2）求出函数的导数，并探讨单调性，再确定极值点并求出极值.
【详解】（1）由，解得，所以x的取值范围为.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；
当时，在单调递减；当时，在上单调递增，
所以当时，取得极小值.
13．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若不等式恒成立，且，求的最小值．
【答案】(1)极大值，无极小值
(2)1
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）由题可得，据此可得单调性及极值情况；
（2）由题可得，令，可得，据此再令，由其单调性及零点存在性定理可得单调性及最值，据此可得答案.
【详解】（1）因为，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，函数取得极大值，无极小值.
（2）因为不等式恒成立，
即恒成立，
由于，则，设，
则，
设，则，所以在上单调递减，
又，，
所以存在，使，即．
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减.
所以．
又，则，由于恒成立，，且
所以的最小值为1．
14．（2025·广东揭阳·三模）已知函数
(1)求的极值；
(2)证明：.
【答案】(1)极小值，无极大值
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，即可得出函数的极大值和极小值；
（2）分、两种情况讨论，在时，利用不等式的基本性质可证得结论成立；在时，构造函数，证明出，可得出，结合（1）中的结论可证得结论成立.
【详解】（1）易知函数的定义域为，
且，
可知当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增，
故有极小值，无极大值.
（2）当时，有恒成立.
当时，构造函数，则，
故在上单调递增，
于是，即，于是此时，
由（1）可知，故，故.
综上所述，当时，.
15．（2025·安徽·模拟预测）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线过点，求的值；
(2)求的极值点.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值
【分析】（1）利用导数的几何意义来求切线斜率，并写出切线方程，代入点即可求值；
（2）利用导数研究正负，即可判断原函数单调性和极值点.
【详解】（1）求导得，则，又有，
所以曲线在点处的切线方程为：，
又由切线过点，则；
（2）由（1）可知，，
令，则．
①当时，对，有单调递增，无极值．
②当时，的图象开口向下，且对称轴为直线，
又，则在时有一根，
时，单调递增，
时，单调递减．
所以在处取得极大值，极大值点为．
③当时，的图象开口向上，．
i．当，即时，有，所以当时，
有单调递增，无极值点．
ii．当，即时，在时，，
有两个根．
时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增．
有极大值点，极小值点．
综上所述，
当时，单调递增，无极值点；
当时，的极大值点为，无极小值点；
当时，的极大值点为，极小值点为．
16．（2025·重庆九龙坡·三模）已知函数.
(1)当时，求函数的极值;
(2)设有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】(1)的极小值为的极大值为
(2)
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）利用导数研究的单调性，进而可求的极值；
（2）求出的方程，由可得，转化为函数图象有两个不同的交点即可.
【详解】（1）当时，，
，
由得：，由得：或，
当时，单调递增，当和时，单调递减，
的极小值为的极大值为．
（2），
令，则，
记，则，
当时，，当时，，
在单调递增，在单调递减，
且，
又当时恒成立，
要使有两个零点，则与图象有两个交点，
，解得：．
17．（2025·浙江·三模）已知函数．
(1)当时，求函数的极值点个数；
(2)若对，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)有1个极小值点，无极大值点；
(2).
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）应用导数研究函数的区间单调性，进而确定极值点情况；
（2）对函数求导，结合分类讨论研究不等式恒成立求参数范围.
【详解】（1）由的定义域为，当时，，
当时，，，又，
所以，故在上单调递减，无极值；
当时，令，则，因为，，
所以，故（即）在上单调递增，
又，，所以存在唯一的使，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以在处取得极小值，
综上，当时，有1个极小值点，无极大值点．
（2）由题，，
令，则，
所以（即）在上单调递增，故，
当时，，此时在上单调递增，故，符合题意；
当时，，
又 ，
因为在上单调递增，所以存在，使得，
当时，，在上单调递减，此时，不合题意，
综上，实数a的取值范围为．
18．（24-25高二下·新疆喀什·期中）已知函数的单调减区间．
(1)求曲线在处的切线方程
(2)求函数的极值；
【答案】(1)
(2)没有极大值，极小值为1
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值
【分析】（1）根据导数的几何意义可求得切线斜率为，再由点斜式求切线方程即可；
（2）求导后，根据导函数求得单调区间，即可求函数极值.
【详解】（1）由题意，函数的定义域为，
导函数为，且，
所以切线斜率，
故切线方程为，即.
（2）由（1）可得，
令，解得，
令，解得，
所以函数在单调递减，在单调递增，
故函数的极小值为，无极大值.
19．（24-25高二下·福建福州·期中）设曲线在处的切线与轴交于点.
(1)求的值；
(2)求函数的极值．
【答案】(1)
(2)的极大值为，极小值为
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、已知切线（斜率）求参数
【分析】（1）求出函数的导函数，即可表示出函数在的切线方程，根据切线过点，求出即可；
（2）由（1）知函数解析式，再利用导数研究单调性，进而求出函数的极值.
【详解】（1）由，得
令，则
所以曲线在点处的切线方程为
∵点在切线上，可得 解得.
（2）由（1）知且的定义域为，
则
令解得
则、、的变化情况如下：
所以在和上单调递增，在上单调递减；
所以的极大值为，的极小值为.
20．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数．
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若在上有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值；
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题
【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可；
（2）当时，当时，不等式变形为在上有解，构造函数，，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案．
【详解】（1）当时，，所以，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值；
（2）当时恒成立，所以；
当，在上有解，即在上有解，
即在上有解，
令，，
则
由（1）知时，即，
所以当时，当时；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数的取值范围是.
21．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数．
(1)若，求的极小值；
(2)若，证明：在上单调递减．
【答案】(1)-1
(2)证明过程见解析
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】（1）时，，求定义域，求导，得到单调性，故在处取得极小值，求出答案；
（2）时，，求定义域，二次求导，结合最值，得到导函数小于0恒成立，故在上单调递减.
【详解】（1）时，，定义域为，
故，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，极小值为；
（2）时，，定义域为，
，
令，则，
令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以在取得极大值，也是最大值，，
所以恒成立，所以在上单调递减.
22．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数（其中为常数）在处取得极值.
(1)当时，求的极值；
(2)若在上的最大值为2，求的值.
【答案】(1)极大值为：，极小值
(2)或.
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、已知函数最值求参数
【分析】（1）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据是的一个极值点，可构造关于，的方程，根据求出值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，的范围，可得函数的单调区间；
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于的方程求得结果.
【详解】（1）因为，所以，
因为函数在处取得极值，，
当时，，，
，随的变化情况如下表：
所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，
极大值为：，极小值，
（2）当时，由，可知，
，，
易知当时，，当时，，
所以，在单调递增，在单调递减，
此时最大值为，不符合题意，
当时，由，得到，
所以，
令，，，
因为在处取得极值，所以，
当时，易得在上恒成立，
在上单调递减；
所以在区间上的最大值为，
令，解得，
当，；
当时，易得在恒成立，
在上单调递增，
所以，解得，符合；
当时，
由得，由得
所以在上单调递减，上单调递增，
所以最大值2可能在或处取得，而，
所以，
解得，与矛盾
当时，可以在恒成立，
所以在单调递减，
所以最大值2可能在处取得，而，矛盾
综上所述，或.
【题型三：根据极值求参数 】
1．（24-25高二下·北京顺义·期中）“”是函数“存在极大值和极小值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数极值点的辨析、根据极值求参数、充要条件的证明
【分析】求导后令，结合判别式和韦达定理分析可得.
【详解】，，
令，即，
，，
若，则函数有两个正根，即有两个变号零点，
此时函数存在极大值和极小值；
当时，方程无正根或仅有一个重根，
此时函数不可能同时存在极大值和极小值；
综上，“”是函数“存在极大值和极小值”的充分必要条件.
故选：C
2．（24-25高二下·安徽合肥·阶段练习）若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据极值点求参数、函数极值点的辨析
【分析】可先对函数求导，再根据函数极值点的性质，结合二次函数的图象与性质来确定实数的取值范围.
【详解】已知，其定义域为.
根对求导可得：.
函数在上有且仅有一个极值点，等价于在上有且仅有一个变号根，即在上有且仅有一个变号根.
令， 则在上有且仅有一个变号根等价于.
则，即.可得不等式的解集为.
当时，，的根为和，
其中在内，满足有且仅有一个极值点的条件.
当时，，的根为和，
和不在内，不满足有且仅有一个极值点的条件.
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究函数的零点、函数极值点的辨析、根据极值点求参数
【分析】根据函数极值点的个数与导函数零点之间的关系，构造函数并出其有两个变号零点时的实数a的取值范围即可.
【详解】因为，所以，
令，则.
由题意可知有且仅有两个零点，
则在上有唯一的极值点且不等于零.
①当时，，单调递增，则至多有一个零点，不符合题意.
②当时，令，解得，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以是函数的极大值点，则，
即，解得,
而当时，，当时，，
故符合题意.
综上所述，实数a的取值范围是.
故答案为：
4．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数存在两个极值点,满足，则实数 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据极值点求参数、函数极值点的辨析
【分析】利用函数极值点的定义可知方程在上有两个不等的实数根，转化为方程在上有两个不等的实数根，结合韦达定理代入即可求解.
【详解】因为，
由题意可知方程在上有两个不等的实数根，
因此有，解得，
此时，，
所以
，
解得，满足，
故答案为：
5．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数的极大值为1，则（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据极值求参数
【分析】利用导数求出单调性进而可求极大值，进而求a
【详解】，
当时，恒成立，此时单调递减，无极大值；
故，
令得或，令得，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，
解得，
故选：C
6．（24-25高二下·广东广州·期中）已知，该函数在时有极值0，则（ ）
A．4B．7C．11D．4或11
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据极值求参数
【分析】根据和求出的值，再检验是否在处取极值即可.
【详解】容易得，
因在处取极值，
则且，
解得或，
当时，，
则在上单调递增，则无极值，不符合题意；
当时，，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则在处取极小值，符合题意，
故，则.
故选：C
7．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据极值求参数
【分析】分、、讨论，利用导数求出极小值可得答案.
【详解】，令得或，
当时，，在R上单调递增，无极值；
当即时，
时，，单调递增，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
得在处取得极小值，即，
解得；
当即时，
时，，单调递增，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
得在处取得极小值，即，
不满足题意；
综上，实数.
故选：C.
8．（24-25高二下·广东江门·期中）若函数有极值，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据极值求参数
【分析】由导数存在变号零点，构造不等式即可求解.
【详解】，
因为函数有极值，
所以存在变号零点，
可得：，
解得：或，
所以a的取值范围是，
故选：D
9．（24-25高二下·北京通州·期中）若函数在上存在极值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】函数极值的辨析、根据极值求参数
【分析】依题意将极值点问题转化为导函数有变号零点的问题，再结合判别式可求得结果.
【详解】易知函数的定义域为，则，
依题意可得导函数在上存在变号零点，
即有实数根，且不能是两个相等的实根，
因此，解得或；
即实数的取值范围为.
故选：B
10．（24-25高二下·福建厦门·期中）若在上的极大值大于1，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据极值求参数、利用导数研究函数的零点
【分析】求导可得，即可得到与时，都单调无极值点，当时，结合隐零点问题，代入计算，即可得到结果.
【详解】，
当时，，在定义域上单调递减，无极值点，
当时，，在定义域上单调递增，无极值点，
当时，因为，，
而在单调递减，所以存在，使，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
于是是在上的极大值点，
此时，即，
由题意，，即，
设，则，
于是在上单调递增，又，
所以，.
故选：B.
11．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】简单复合函数的导数、根据极值点求参数
【分析】根据函数极值点和导函数之间的关系，求出函数极值点的含参代数式，列出大于零的不等式，解出参数取值范围.
【详解】已知，则，令即，化简得，
当时无解，
当时，解得，
由题意得，即，
根据对数函数性质可得，因为，解得.
故选：B.
12．（2025·江西·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据极值点求参数
【分析】函数有两个极值点，只需导函数有两个不同的根，求导反解参数，得到只需有两个不同的根，引入函数，求导研究其单调性，数形结合得到答案.
【详解】根据题意 ，若函数恰有两个极值点，
则只需有两个不同的根，
显然不是方程的根，所以只需有两个不同的根，
令，则，
当时，，是减函数；
当时，，是减函数；
当时，，是增函数，
极大值，
又当，当，
当，当，，
的图像如图所示，
结合图象可得若原函数有两个极值点，需满足.
故选：B．
14．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ）
A．0.1B．0.4C．0.6D．0.9
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】指定区间的概率、根据极值点求参数
【分析】根据极值点的定义可得，结合正态分布的对称性可解.
【详解】由题知，因为函数有极值点，
所以有两个不同的根，即，即，
又随机变量服从正态分布，，
所以，
故选：D.
15．（24-25高二下·福建福州·期中）若函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究方程的根、根据极值点求参数、函数新定义
【分析】，由题意在上有2个不同的实数根，设函数，利用导数求出函数的极值及单调区间，进而求得的取值范围.
【详解】，
因为函数具有“凹凸趋向性”，
所以关于的方程在上有2个不同的实数根，
令，则，
令，则，令，则，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值是，
当时，，当时，，当时，，
所以.
故选：B.
16．（2025·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据极值点求参数
【分析】求出函数的导数，利用给定极值点求出并验证即得.
【详解】函数的定义域为，求导得，
由是的极值点，得，解得，
此时，当时，；当时，，
因此是的极值点，所以.
故选：B
17．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据极值点求参数
【分析】由图象可得，则，则，据此可得解集.
【详解】观察图象知，是函数的极小值点，求导得，
则，解得，当时，；当时，，
则是函数的极小值点，满足图象.
则，，
不等式，解得或，
所以不等式的解集为.
故选D．
【题型四：函数图象和极值点的关系 】
1．（24-25高二下·北京·期中）已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ）
A．是的极值点
B．在区间上单调递增
C．是在区间上的最小值点
D．曲线在点处的切线斜率小于零
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数（导函数）图象与极值的关系、函数最值与极值的关系辨析、函数极值点的辨析
【分析】根据导函数的正负，可确定的单调性，即可结合极值和选项逐一求解.
【详解】由的图象可知：当时，，当时，，
故在单调递减，在单调递增，
故是函数的极小值点，也是上的最小值点，故A错误，B错误，C正确，
由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D错误，
故选：C
2．（24-25高二下·广东广州·期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．为函数的一个零点
B．函数在区间上单调递减
C．为函数的一个极大值点
D．是函数的最大值
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数最值与极值的关系辨析、函数极值点的辨析
【分析】利用导数图象，分析函数的单调性，逐项判断即可.
【详解】对于A选项，由图象可知，当时，，当时，，
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，A错；
对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B错；
对于C选项，当时，，当时，，
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，为函数的一个极大值点，C对；
对于D选项，因为函数在区间上单调递增，故不是函数的最大值，D错.
故选：C.
3．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ）

A．单调减区间是B．是极大值点
C．没有最大值D．最多能有四个零点
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数最值与极值的关系辨析、利用导数研究函数的零点、函数（导函数）图像与极值点的关系
【分析】利用给定的导函数图象，求出函数的单调区间，再逐一分析各个选项即可.
【详解】由图可知：当或时，，当或时，，
因此函数在和上单调递减，在和上单调递增，
∴函数在上不单调，A错误；不是极值点，B错误；
函数在处取得极大值，当不小于函数在，上的所有函数值时，函数有最大值，C错误；
当，，，且函数在，上的图象都与轴相交时，
函数在，，，上各有1个零点，共有4个零点，
因此最多能有四个零点，D正确.
故选：D.
【题型五：由导数求函数零点的个数 】
1．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数既存在极大值又存在极小值
B．函数存在个不同的零点
C．函数的最小值是
D．若时，，则的最大值为
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】函数极值的辨析、由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数、求函数零点或方程根的个数
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，可判断AC选项；解方程，可得，利用判别式可判断B选项；数形结合可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，该函数的定义域为，
则，
由可得或，列表如下：
所以，函数既有极大值又有极小值，A对；
对于B选项，令，可得，，
所以，方程有两个不等的实根，即函数存在个不同的零点，B对；
对于C选项，由A选项可知，函数的增区间为，减区间为、，
故当时，，
当时，，
综上所述，对任意的，，故函数的最小值为，C错；
对于D选项，由A选项可知，函数的极大值为，且函数的减区间为、，
作出函数的图象如下图所示：
由图可知，若时，，则的最大值为，D对.
故选：ABD.
2．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知函数（参考数据：），则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．在处的切线方程为
C．在内共有1个极值点
D．设，则在上共有3个零点
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值的辨析、利用导数研究函数的零点
【分析】求得，结合，得到，利用导数求得函数的单调性，以及极值点的定义，以及函数零点的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由函数，
可得，
令，令，则，则，
可得，令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，，
所以，即，即对恒成立，
因为时，，所以，
所以函数在上单调递减，所以A错误；
对于B中，由，，
则切线方程为，则，故B正确；
对于C中，由函数，可得，
由A知，，令，即，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，函数取得极大值，所以函数在内共有1个极值点，
所以C正确；
对于D中，由，
又由，
所以函数是周期为的周期函数，
不妨设，可得，
由A知，，令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，且，
所以函数在上有两个零点，所以函数在上有无数个零点，所以D错误.
故选：BC.
3．（2025·福建宁德·三模）设函数，则（ ）
A．当时，没有零点
B．当时，在区间上不存在极值
C．存在实数，使得曲线为轴对称图形
D．存在实数，使得曲线为中心对称图形
【答案】ABC
【难度】0.4
【知识点】判断或证明函数的对称性、函数极值的辨析、求函数零点或方程根的个数
【分析】对选项逐一判断，分别利用图象研究零点，用导数研究极值，用对称性的定义研究对称性即可.
【详解】解法一：对A，函数的定义域为且，由得且.
作出与的图像，二者有唯一交点，不合题意，故没有零点，故A正确.
对B，由题，
令，，
因为，所以，
又，所以，所以，
则在上无极值，故B正确.
对CD，令，
因为，所以或，由对称性可知，故若存在对称轴或对称中心，必在直线上.
考虑
，
当时，，所以关于对称，故C正确.
考虑，
所以不存在符合题意的常数，故D错误.
故选：ABC.
4．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数在上的导数存在，且的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．是的极小值D．是的极小值
【答案】AC
【难度】0.85
【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数极值的辨析、函数极值点的辨析
【分析】根据导函数图象可得函数单调区间，从而利用单调性与导数符号判断AB，根据极小值的概念判断CD.
【详解】由图可知，故A正确，B错误；
当时，单调递增，；
当时，单调递减，；
当时，单调递增，.
所以是的极小值，不是的极小值，故C正确，D错误.
故选：AC.
5．（24-25高二下·广东·期中）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在上单调递减
C．函数在处取得最小值
D．函数在处取得极大值
【答案】AD
【难度】0.94
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数与导函数图象之间的关系、函数极值的辨析
【分析】根据图象，利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，直接求出单调区间和极值点，再对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】由函数的导函数的图象可知，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故选项A正确，选项B和C错误，
对于D，因为，且根据上面分析得到的函数单调性，
由极值的定义知，函数在处取得极大值，所以D正确．
故选：AD．
6．（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．当时，有唯一零点2
B．当时，在上单调递增
C．可以是的极大值点
D．当时，在上的值域为
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、用导数判断或证明已知函数的单调性、求函数零点或方程根的个数、函数极值点的辨析
【分析】利用导数正负判断原函数单调性，然后再判断极值点，结合定义域可求值域，各选项都可得到判断.
【详解】当时，，易得，又在上单调递增，
则有唯一零点2，故正确；
当时，，，
可判断在上恒大于0，即在上单调递增，故正确；
求导得，令，则，，
若时，当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，
当时，，不是的极值点，故错误；
当时，由可得，
所以在区间上单调递减，又，
故在上也单调递减，故此时，
，故此时值域为，故D正确.
【题型六：由导数求函数的最值（不含参） 】
1．（2025·福建·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意的实数，，函数恒有两个极值点
B．设，为的极值点，则
C．当时，若在上有最大值，则
D．若，则
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、函数极值点的辨析、由导数求函数的最值（含参）
【分析】对于A，利用导函数有两个变号零点即可判断；对于B，利用A项结论写出韦达定理，化简所求式求其值域即可判断；对于C，在时，讨论函数的单调性和变化趋势，由推得进行判断；对于D，化简计算得到，即可求出的值
【详解】因函数的定义域为，求导得.
对于A，由，知函数恒有两个变号零点，故函数恒有两个极值点，故A正确；
对于B，由A分析，，，
则，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C，当时，，
当或时，，当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
则，1分别是的极大值点和极小值点，因在上有最大值，
且，故有，故C错误；
对于D，
，则有，解得，故D正确.
故选：AD.
2．（2025·山西忻州·模拟预测）已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为（ ）．
A．0B．36C．72D．108
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、由一元二次不等式的解确定参数、函数（导函数）图像与极值点的关系
【分析】首先根据不等式的解集，确定函数的零点，根据函数的零点写出函数的解析式，再利用待定系数法求函数的解析式，由导数求函数的极大值.
【详解】因为不等式的解集为，
则，
故，
又，故，，
故，则，
令，解得或，
由可得或，由可得，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故是函数的极大值点，
的极大值为．
故选D．
3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】分析可知函数在取极小值，可得出，则，利用导数分析函数的单调性，结合可求出的取值范围，即可得出的取值范围.
【详解】函数的定义域为，且，
由于函数在有最小值，则函数在取极小值，则，
所以，
即，
当时，对任意的恒成立，，不合乎题意；
当时，由可得，由可得,
此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极小值，即最小值，合乎题意；
当时，由可得，由可得，
此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极大值，不合乎题意.
所以，由题意可得，则，解得，
因此，.
故选：C.
4．（24-25高二下·北京·期中）已知函数．
(1)若为的极小值点，求实数的值；
(2)当时，求在上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数
【分析】（1）分析可知，利用导数求出函数的极小值点，即可得出的值；
（2）当时，利用导数分析函数在区间上的单调性，即可求出的最大值和最小值.
【详解】（1）因为函数的定义域为，
则，由可得或，
因为为的极小值点，则有或，必有，则，列表如下：
所以，函数在取得极小值，故.
（2）当时，，
由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以，函数的极大值为，极小值为，
又因为，，
故当时，，.
5．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）设函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】由恒成立可得，即，代入并令，求导计算最值可得结果.
【详解】令，可得或，由题意可知，，得，
将代入，可得，
令，求导得，令，解得，.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
因此，时，取得极小值，即的最小值为.
故选：B.
6．（24-25高二下·安徽·阶段练习）小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“0点”的格子中，每次向右移动1格或移动2格，其中每次向右移动1格的概率为，向右移动2格的概率为，要求参与者一共移动5次，每次移动之间互不影响，奖品放在“7点”的格子中，5次移动结束后参与者正好停在“7点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能的拿到奖品，则p的值为（ ）
A．0.2B．0.4C．0.5D．0.6
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、独立事件的乘法公式
【分析】根据最终位置，必然是3次向右移动1格，2次向右移动2格，再结合概率公式求解，利用导数求出最值.
【详解】由题意得，若五次移动结束正好停在“7点”格子中，必然是3次向右移动1格，2次向右移动2格，
其概率，
故，
当单调递增，当单调递减，
所以当时，取到最大值．
故选：D.
7．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，，若存在实数，使得成立，则实数的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）
【分析】构造函数，求导判断其单调性，求得，利用基本不等式得到，当且仅当时，等号成立，故得，由题需使，计算即得参数的值.
【详解】由，设，
则，当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，故，
又，当且仅当，即时，等号成立，
故，当且仅当两个不等式等号同时成立，即时，等号成立，解得．
故选：B
8．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】利用端点附近的图象变化趋势先求出范围再进行证明，或者结合图象转化为曲线与直线相切问题求解.
【详解】方法一： 令，
则．
因为，所以必有，所以．
当时，，
所以在上单调递增，所以，
综上所述，实数的取值范围为．
故选：B．
方法二：，则，令，解得，
所以在上，，单调递减，在上，，单调递增．
把的图象向左平移1个单位长度后得到函数的图象，如图1，
因为函数的图象在处的切线方程为，
所以，所以实数的取值范围为．
故选：B
9．（2025·湖北黄冈·三模）已知函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）
【分析】由解析式可分析得到的一个周期为，则只需考虑在上的值域即可，利用导函数求得其最值即可.
【详解】由题的一个周期为，故只需考虑在上的值域，
，
当或时，，当时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
因此的极小值为，极大值为，
又易知，所以函数在上的值域为，
结合函数的最小正周期为，所以函数的值域为
所以的最小值为，
故选：B
10．（24-25高二下·北京海淀·期中）已知函数，设实数m满足：存在，使直线是曲线的切线，且对恒成立，则m的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】利用导数求得的单调区间，结合的图象、切线以及不等式恒成立求得的最大值.
【详解】，，
当时，，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减.
又，
所以的图象在处的切线方程为，此时.
同时，，因此在时恒成立，
直线是曲线的切线，则，
结合图象可知，当时，不恒成立.
当时，，恒成立.
当时，，因此，所以的最大值为.
故选：A
11．（24-25高二下·河北保定·期中）函数的最小值为（ ）
A．1B．C．0D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）
【分析】根据题意，求导可得，即可得到函数的极小值，从而得到结果.
【详解】函数定义域为，
，令可得，
当时，，即函数单调递减，
当时，，即函数单调递增，
所以时，取得极小值，即最小值，且.
故选：A
12．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）若，不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】先将题设不等式转化为对恒成立，构造函数，则，利用导数研究得到的单调性，进而得到，再通过导数求得函数的最大值即可求解.
【详解】由题意可知：，，
即，
构造函数，其中，则，
所以函数在上为增函数，
又，所以，其中，
令，则，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以，即，故实数的最小值为．
故选：A
13．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，已知函数的图像与轴交于点，与轴交于点.过点的直线与函数图像相交于另两点和，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、数量积的坐标表示
【分析】首先根据函数与坐标轴交点的性质求出点、的坐标；然后根据三角函数图像的对称性得到与的关系；最后计算并求出其最大值.
【详解】求点的坐标：因为函数的图像与轴交于点，
令，即，则.
根据正弦函数的性质，时，，，所以，，解得.
又因为，当时，，所以.
求点的坐标：函数图像与轴交于点，
令，则，所以.
由此可得.
由正弦函数的图像性质可知，函数图像关于点中心对称，
因为过点的直线与函数图像相交于、两点，所以是的中点，即.
设，则，.
.
因为在函数上，所以.
则.
已知，对求最大值.
对求导，.
令，即，.
在范围内，，，解得或，.
在给定区间内，当时，.
则的最大值为.
故选：B.
14．（2025·河北·模拟预测）已知的最小值为0，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】通过换元法将原函数转化为关于新变量的函数，再利用导数研究新变量的取值范围以及新函数的单调性，进而求出的值.
【详解】，则令，
令，则；令，则，且时，，则的取值范围为.
则的最小值为0，即的最小值为0，即，
则时，，则．
故选：A．
15．（2025·安徽合肥·三模）若曲线与圆无交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数与方程的综合应用、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究方程的根
【分析】先将曲线与圆同时向左平移个单位，则问题转化为与圆无交点，进一步转化为在上无解，通过构造函数研究其单调性及值域即可得出结果.
【详解】圆的标准方程为，将曲线和圆同时向左平移个单位后，
题设条件转化为曲线与圆无交点，
即方程无解，则，
若，则显然方程无解；
若，即时，有，
则在上无解，
令，
则，
令得；令得，
则在上单调递增，在上单调递减，
故，且当时，，当时，，
则，即，则实数的取值范围为.
故选：D.
16．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数，直线.
(1)若点是函数图象上的一点，求点到直线距离的最小值；
(2)若，讨论函数的零点的个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）求出点到直线的距离，根据导数即可求解；
（2）若，证明函数的零点的个数与的零点个数相同，求出，令，证明在单调递增，在上单调递减，据此即可求解.
【详解】（1）点到直线的距离为，
令，令，
令得，
当时为极大值，
当时，，
当时，，
，所以，
所以对应最小距离为；
（2）若，
定义域为，令可得，
则函数的零点的个数与的零点个数相同，
， 再令，
则，所以在单调递减，
又因为，在单调递增，在上单调递减，
则，，
当，所以当时恒成立，无零点，
当时，有1个零点，
当时，在和分别有1个零点，
即有2个零点，当时，
在有1个零点，在上，
恒成立，即只有1个零点；
综上所述，当时， 无零点，当或时，有1个零点，当时， 有2个零点.
17．（2025·江苏苏州·三模）已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)若对总成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)0
(2)
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性进而得出最小值；
（2）先参数分类把转化为，再构造函数结合函数最值计算求参.
【详解】（1）时，因为，所以，
所以当时，，当时，，所以在上单调递减，
在上单调递增，所以．
（2）因为，所以等价于，
令，则，
由（1）得时，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以．
18．（2025·湖南·模拟预测）已知为奇函数.
(1)求a的值；
(2)解不等式：；
(3)证明：函数有3个零点.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、由奇偶性求参数
【分析】（1）利用奇函数恒等式可求得参数；
（2）利用复合函数单调性可求解不等式；
（3）利用奇函数的对称性来研究零点个数，转化为在仅有唯一零点，然后通过方程变形重构造函数来求导证明即可.
【详解】（1）由可得定义域为，
因为是奇函数，所以，
即有；
（2）由（1）得：，有，
再由复合函数单调可知：在上单调递增函数，
所以原不等式变形为，
根据单调性可得：；
即原不等式的解集为：
（3）因为是奇函数，所以也是奇函数，由，
要证函数有3个零点，只需要证明在上仅有一个零点，
则由得：，
构造，求导得，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
则在上，，
设,
当单调递增，当单调递减，所以，故
由于恒成立，则，
所以有，
由于
根据在上单调递减，且，所以在上不存在零点，
又根据在上单调递增，且，所以在区间必存在唯一零点，
故可证明在上仅有一个零点，
即函数有3个零点得证.
19．（2025·山西·三模）如图，圆锥的母线长为3，侧面积为，为底面半圆弧上一点，是线段上一点，点满足.
(1)试判断是否存在点，使得平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在圆锥的内部（含表面上的点）作一个圆柱，且圆柱的其中一个底面在圆锥的底面上，记圆锥的体积为，圆柱的体积为，当圆柱的体积最大时，求的值.
【答案】(1)存在；
(2)；
(3).
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、锥体体积的有关计算、证明线面平行、面面角的向量求法
【分析】（1）取的中点和为的中点依次得和，再由面面平行的判定定理得到平面平面即可求证平面；
（2） 建立适当的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再由即可求解；
（3）根据圆柱的体积最大时情况设此时内接圆柱底面圆的半径为，得到圆柱的高为，接着由圆柱的体积公式得到，再由导数工具即可求出最值，进而得解.
【详解】（1）取的中点，则由题可得，
因为平面，在平面外，所以平面外，

当为的中点时，，
因为平面，在平面外，所以平面外，
又，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
所以存在点为的中点，使得平面；
（2）设圆的半径为，因为圆锥的母线长为3，侧面积为，
所以，解得，
在中，，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则
令，则，，所以，
设平面的法向量为，则
令，则，，所以，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）由题知，当圆柱的体积最大时，圆柱的上底面圆周在圆锥的侧面上，
设此时内接圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，
所以圆柱的体积为，
所以，
所以时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当圆柱的半径为时，取得最大值，此时，
又圆锥的体积为，所以.
20．（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）已知函数，.
(1)当时，求的最大值与最小值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)的最大值与最小值依次为
(2)
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）求导得到函数的单调性，即可求解端点以及极值点处的函数值求解，
（2）构造，求导，结合分类讨论，根据函数的单调性求解最值即可求解.
【详解】（1）当时，，
则，
令，由于，解得；
令，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，故的最大值与最小值依次为.
（2）若对任意，不等式恒成立，
则，故，
当时，，显然不满足题意，舍去，
当时，记，
则，
由于，令，则；
令，则或；
故在上单调递增，在上单调递减，
由于，
当时，即，此时在上单调递增，
故满足题意，
当时，即，此时在上单调递增，在上单调递减，
要使恒成立，则且，
解得，
综上可得.
21．（24-25高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的最大值；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可求得函数的最大值；
（2）由参变分离法可得对任意的恒成立，利用导数求出的最大值，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，该函数的定义域为，
则，
由，得；由，得，
则在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值为.
（2）对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立.
设，其中，则，
由，得，由，得，
则在上单调递增，上单调递减，
从而，故，
即的取值范围是.
【题型七：由导数求函数最值（含参） 】
1．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在区间上的最小值小于，则正数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（含参）、由函数在区间上的单调性求参数
【分析】由题可得，然后分类讨论利用导函数与函数单调性的关系结合条件即得.
【详解】由得，
当时，在上单调递增，的最小值为，不符题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，解得.
故选：A.
2．（2025·北京通州·一模）已知平面向量，，若满足，设与夹角为，则（ ）
A．有最大值为B．有最大值为
C．有最小值为D．有最小值为
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】向量夹角的计算、由导数求函数的最值（含参）
【分析】根据,可得，即可根据坐标运算以及夹角公式得，分离常数后构造函数，根据导数求解函数的最值即可求解.
【详解】设，
由得，故,因此，
故，
由于
，则，
则，
令，
故在上单调递增，由于，
故当在上恒成立，在上恒成立，
故在单调递减，在单调递增，
故当时，取到极小值也是最小值，因此
因此，
故由于恒成立，故，
故选：C
3．（24-25高二下·北京·期中）已知函数．
(1)若时，取得极值，求a；
(2)求在[0，1]上的最小值；
(3)若直线l是与曲线有且只有一个公共点的切线，直接写出直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（含参）、根据极值求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】（1）求导得到，根据得到并验证，可得答案；
（2）对进行分类，利用导数分析在上的单调性，进而求得在上的最小值；
（3）设直线与曲线相切于点，利用导数的几何意义得，由题意知只有一组解，求得即可得直线的方程.
【详解】（1），则.
由题意得，得，
所以，
当时，；当时，.
所以在时取得极大值；在时取得极小值.
所以
（2）由，，得，
当时，，是单调递增函数，
当时，，
若即时，，在上是单调递减函数，；
若即时，
时，，单调递减，时，，单调递增，
故
（3）设直线与曲线相切于点，则，
直线的斜率，
直线的方程为
即，
联立，得，即，
解得或
因为直线l是与曲线有且只有一个公共点的切线，所以，得.
将代入的方程为得
直线的方程为：.
4．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线的方程；
(2)探究的最小值；
(3)当时，求的最小值的极值．
【答案】(1)
(2)
(3)极大值为，无极小值．
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（含参）
【分析】（1）求导得，，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）对求定义域，求导，根据a取不同的值得到函数单调性，即可求出最小值；
（3）令，对函数求导，即可求解.
【详解】（1）当时，，，
则，，
所以切线的方程为
（2）定义域为．
当时，，则在上单调递增，故没有最小值；
当时，在单调递减，在单调递增，
所以
综上所述：当时，没有最小值；当时，最小值为；
（3）由（2）可得
设，则，
令，得，所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的极大值为，无极小值．
5．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)若，，证明.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（含参）
【分析】（1）求出，分、讨论可得答案；
（2）根据转化为证明，构造函数、，利用导数判断可得的答案.
【详解】（1）函数的解析式为，则，
①当时恒成立，函数单调递增，无最值；
②当时，令，则，
当，函数单调递减，
当，函数单调递增，
在处取最小值，即，
函数的最小值为；
（2）若时，，
即证明，
因为，所以，则，
则只需证明，
令，则，
当即，，单调递增，
当即，，单调递减，
所以，可得，
令，则，
当， ，单调递减，
当，，单调递增，
所以，可得，
因为与取等号的条件不同，所以，
所以.
6．（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)求在上的最大值为0，求a的值．
【答案】(1)增区间为，减区间为
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（含参）
【分析】（1）对函数求导，令可得的增区间，令可得的减区间；
（2）对分类讨论，求出，，时函数的最大值，令最大值为0，即可求解.
【详解】（1）函数的定义域为，则．因为，所以，
由，可得，由，可得．
此时，函数的增区间为，减区间为．
（2），
当时，在上，所以函数在上单调递减，
此时，，令，则，不合题意.
当时，由得，由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，，令，则.
当时，在上，所以函数在上单调递增，此时，，令，则，不合题意.
综上所述：.
7．（24-25高二下·北京丰台·期中）已知函数，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最小值；
(3)当时，判断函数的零点个数.（只需写出结论，不要求证明）
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（含参）
【分析】（1）当时，对求导，求出，再由导数的几何意义即可得出答案；
（2）对求导，分，和求出的单调性，结合最值的定义即可得出答案；
（3）分，，和，讨论的单调性和值域，即可得出答案.
【详解】（1）当时，，，所以切点，
，，
所以函数在点处的切线方程为.
（2），，
当时，在区间上恒成立，函数单调递增，
函数的最小值为，
当时，在区间上恒成立，函数单调递减，
函数的最小值为，
当时，列表如下：
函数的最小值为.
综上可得：当时，函数的最小值为，
当时，函数的最小值为，
当时，函数的最小值为.
（3）由（2）知，当时，，
①当时，令可得或，令可得，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增，
又因为，而趋近正无穷时，趋近正无穷，
故在上只有一个零点；
②当时，，
在上单调递增，且连续不间断，
且，故在上只有一个零点.
③当时，令解得，
即在上只有一个零点，
④当时，令可得，令可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当趋近正无穷时，趋近正无穷，当趋近时，趋近正无穷，
若，即时，在上无零点.
若，即时，在上只有一个零点，
若，即时，在上有两个零点，
综上:当时，函数无零点，
当或时，函数的零点个数为1，
当时，函数的零点个数为2.
8．（24-25高二下·云南玉溪·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)求在上的最大值．
【答案】(1)极大值，无极小值
(2)
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（含参）
【分析】（1）先利用导数求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解；
（2）分，和三种情况讨论得出函数在上的单调性，再根据函数的单调性即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，，则，
令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值；
（2），
当时，，所以函数在上单调递减，
此时，；
当时，令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，；
当时，，
所以函数在上单调递增，此时，，
综上所述，.
9．（2025·河北·三模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值.
【答案】(1)；
(2).
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出函数的导数，按分类求出单调区间，再结合区间及最小值讨论求解.
【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递减，
，解得，不符题意舍去；
当时，由得，；由得，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，满足，则；
②当，即时，在上单调递减，
则，解得，不满足，不符题意舍去.
所以.
10．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数．
(1)若函数的图象在点处的切线的斜率为2，求此切线方程：
(2)若在上的最小值为，求实数a的值；
(3)当时，求证．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）利用导数的几何意义可求出的值，可求出的值，再利用导数的几何意义可求出所求切线的方程；
（2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合可求得实数的值.
（3）令，要证，即证，令，对求导，可得在上恒成立，即可得证.
【详解】（1）因为，则，
由导数的几何意义可得，解得，则，
所以，，故所求切线的方程，即.
（2）函数的定义域为，且，
当时，对任意的，恒成立，
函数在区间上单调递增，则，
解得，不合乎题意；
当时，即当时，函数在上单调递增，
则，解得，合乎题意；
当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，，解得或，舍去；
当时，即当时，函数在区间上单调递减，
此时，，解得，舍去.
综上所述，.
（3）当时，，，
令，要证，即证，
令，即证：在上恒成立，
，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以在上恒成立，
所以.
11．（2025·江苏南通·二模）已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为．
(1)求的值；
(2)证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且.
【答案】(1)0；
(2)证明见解析.
【难度】0.65
【知识点】零点存在性定理的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）利用导数求出函数的最大值，进而求出的值.
（2）由（1）的信息求出切线的方程，再构造函数，利用导数结合零点存在性定理证得还有小于的零点即可.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
而函数的最大值为，则，解得，
所以的值为0.
（2）由（1）知，，，则，
于是切线的方程为，即，
令，，求导得，
令，求导得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
由，得，而，函数在上的图象不间断，
则存在，使得，且当或时，，当时，，
函数在和上单调递增，在上单调递减，又，
当时，，于是函数在上无零点，
，而，函数在上的图象不间断，
因此存在，使得，
所以当时，切线与函数的图象有另一交点，且.
【题型八： 已知函数最值求参数 】
1．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】已知函数最值求参数
【分析】由解析式可得，求函数的导函数，分，，，结合导数分析函数在上的单调性，再结合条件确定的范围.
【详解】由可得，
函数，的导函数，，
若，当时，，函数在上单调递增，的最大值为，不符合题意；
若，当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
由函数在上的最大值为，可得，
所以，又，
所以；
若，当时，，函数在上单调递减，
函数在上的最大值为，满足条件，
所以时，函数在上的最大值为.
综上所述，的范围是.
故选：D.
2．（24-25高二下·北京大兴·期中）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则当取得最小值时，t的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】已知函数最值求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】求导，利用导数几何意义求出切线方程，从而求出与两坐标轴围成的三角形面积，求导，得到单调性和最值，得到答案.
【详解】，，，故，
故在点处的切线方程为，
令得，令得，
故，
，
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值.
故选：A
3．（2025·重庆·模拟预测）若，的最小值为，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】已知函数最值求参数
【分析】令，构造，应用导数及分类讨论研究函数的最值，结合已知最小值求参数即可.
【详解】令，则，
令，则，
当时，，则在上单调递减，显然无最小值，不符；
当时，令，则，
若，时，，则在上单调递增，故，不符；
若，时，
在上，即在上单调递减，
在上，即在上单调递增，
所以，则，
可得，又，可得；
综上，.
故选：A
4．（2025·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】已知函数最值求参数
【分析】对函数求导，分，，三种情况讨论求解即可.
【详解】由，
则，
令，得或，
当，即时，，
函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意；
当，即时，
令，得或，
令，得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，则在没有最大值，不符合题意；
当，即时，
令，得或，
令，得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，
，
要使在有最大值，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
5．（24-25高二下·河南洛阳·期中）若函数在上存在最小值，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、已知函数最值求参数
【分析】利用导数确定函数的单调区间和极值，再根据函数在上存在最小值求参数范围.
【详解】由题意，函数的定义域为，，
因此，当或时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
所以的极大值为，极小值为，
令，得，化简得，解得或，
因为函数在上存在最小值，所以，解得，
故选：C.
6．（24-25高二下·山西·期中）已知函数有最大值，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、已知函数最值求参数
【分析】对函数求导并根据参数的取值进行分类讨论得出其单调性，再由最大值解方程可得.
【详解】易知，且；
令，解得或（舍）；
显然当时不合题意，
当时，若，易知，此时函数在上单调递增，
若，易知，此时函数在上单调递减；
所以在处取得极大值，也是最大值，即，
解得，符合题意；
当时，若，易知，此时函数在上单调递减，
若，易知，此时函数在上单调递增；
此时无最大值，不符合题意；
综上可知，.
故选：A.
7．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】已知函数最值求参数
【分析】先研究在上的单调性，再结合图象分析讨论的取值范围.
【详解】，则，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
因，
则当在内存在最小值时，有得，
则实数的取值范围是.
故选：C.
8．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）若函数在上的最大值为1，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】已知函数最值求参数
【分析】求导后分析单调性和极值可得.
【详解】，
令，
所以当时，，函数为单调递增函数；
当时，，函数为单调递减函数，
极大值为，极小值为，
又，
所以实数的取值范围是.
故选：C
9．（16-17高二下·天津·期中）若函数有最大值，则实数的值是（ ）
A．1B．C．4D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】已知函数最值求参数
【分析】通过导数确定为临界点，由的符号分类讨论求解即可.
【详解】，
令，得临界点（因，舍去），
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
此时无最大值，
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又因为，
所以，满足题意，
故选：.
10．（2025·江苏宿迁·二模）若函数有最大值，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】已知函数最值求参数
【分析】利用导数求出函数在上的极大值，根据函数有最大值可得出关于实数的不等式组，即可得出实数的最大值.
【详解】当时，，则，
当时，，此时，函数单调递增，
当时，，此时，函数单调递减，
则函数在处取得极大值，且极大值为，
因为函数函数有最大值，则，解得，
因此，实数的最大值为.
故选：.
【题型九： 函数极值和最值的关系 】
1．（24-25高二下·陕西·阶段练习）已知是函数的极值点，．
(1)求；
(2)判断函数的零点个数，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【难度】0.85
【知识点】函数最值与极值的关系辨析、求函数零点或方程根的个数、根据极值点求参数
【分析】（1）由函数解析式求导，根据极值点的定义，建立方程，可得答案；
（2）利用导数可得函数的单调区间，根据零点存在性定理，可得答案.
【详解】（1）由，即，则，
由为函数的极值点，则，即，解得.
（2）函数存在两个零点.
证明如下：
由（1）可得，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
由，，
则函数在与上分别存在一个零点，
所以函数存在两个零点.
2．（24-25高二下·全国·课前预习）已知函数的定义域为，且图像如下，指出这个函数的极值点和最值点．
【答案】答案见解析
【难度】0.85
【知识点】函数最值与极值的关系辨析、函数极值点的辨析
【分析】根据图像，结合极值和最值的定义求解即可.
【详解】由图像可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
所以和是极大值点，，和是极小值点，
和是最大值点，和是最小值点.
3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，
(1)讨论的单调性;
(2)若恒成立，求a的值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【难度】0.4
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数最值与极值的关系辨析、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求导后按，分类讨论得到单调区间；
（2）恒成立问题转化为在恒成立，再构造函数，通过导数和隐零点确定函数单调性，得到最值后再构造函数，借助导数研究最值即可.
【详解】（1）因为，，所以，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，，在上单调递增，，，在上单调递减，
（2）因为恒成立，即在恒成立，
记，，，
当时，，在上单调递增，由，则，，不符合题意.
当时，令，，
，则，在上单遇递增，
，，
，使得①，
所以在上单调递减在单调递增，则恒成立，
由①得
所以，
即，当且仅当时，，所以，
记，，，
即在上单调递增，在单调递减，，即
【点睛】方法点睛：主要考向有以下几点：
1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式；
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.
4．（23-24高二·全国·课堂例题）若连续函数在区间上有唯一的极值点且为极小值点，则是否是最小值？
【答案】是
【难度】0.94
【知识点】函数最值与极值的关系辨析
【详解】是．函数在上单调递减，在上单调递增，故在点取得最小值，是最小值．
5．（2025·江西萍乡·三模）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求在区间上的值域.
【答案】(1)；
(2).
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；
（2）应用导数研究函数的区间单调性，进而求其值域.
【详解】（1）依题意，，故，，
故所求切线方程为，即.
（2）由（1）知，
而，令，解得，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
而，，，则，
故在区间上的值域为.
6．（2025·重庆·三模）已知函数.
(1)求函数的最值；
(2)对任意的且不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)最小值，无最大值
(2)
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）由函数解析式求导，根据导数与函数单调性的关系可得函数的单调区间，从而可得答案；
（2）整理不等式，将问题等价转化为易知函数单调性求参数，构造函数，利用导数以及二次函数性质，可得答案.
【详解】（1）由，则求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数取得最小值，函数无最大值.
（2）不妨设，由，整理可得，
令，问题等价于函数在上单调递减恒成立，求的取值范围，
由，求导可得，
令，
易知当时，恒成立，当且仅当且时，等号成立，
所以函数在上单调递减恒成立时，.

【题型十： 极值和最值的综合应用 】
1.（24-25高二下·河南·期中）已知函数的导函数为，则（ ）
A．一定是偶函数
B．一定有极值
C．一定存在递增区间
D．对任意确定的，恒存在，使得
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数极值的辨析、函数单调性、极值与最值的综合应用、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】求出导函数，利用偶函数的定义判断A，当时，，没有极值判断B，分和求的单调区间判断C，结合正弦函数的值域将的值域即在上的值域，根据据绝对值函数的值域即可判断D.
【详解】对于A，由得，定义域为关于原点对称，
且，所以一定是偶函数，故A正确；
对于B，当时，，在上单调递增，没有极值，故B错误；
对于C，当时，，在上单调递增，
当时，得或，
则在和上单调递增，综上，一定存在递增区间，故C正确；
对于D，因为，所以的值域即在上的值域，
而在上必有大于0的最大值，记该最大值为，则，
即对任意确定的，恒存在，使得，故D正确.
故选：ACD
2．（2025·甘肃·模拟预测）已知为坐标原点，直线与函数的图象分别交于两点，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）
【分析】作出函数图象，求出点的坐标，再列出面积函数关系，利用导数求出最大值.
【详解】作出的图象，在上单调递增，在上单调递减，
且，则当时，，设，
则，令，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
所以面积的最大值为.
故选：A
3．（2025·河北秦皇岛·三模）某省高速公路实行智能化管理，其主线收费站的车流量由智能控制系统操控.经统计分析知，某收费站一天中通过的车辆数与时间拟合的函数关系为若不计其他因素，车流速度与的自动控制系统方程为（为常速），则下列说法错误的是（ ）
A．当时，该时刻通过的车辆数最少
B．和是一天中车辆通过的两个极大峰值时刻
C．当时，自动控制系统方程为
D．当时，自动控制系统方程为
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）
【分析】对于A选项，分别求出函数在每一段区间上的值域，进而可知最小值及对应的时间；对于B选项，求出函数的极值即可判断；对于C，D，求出函数在区间及上的单调性即可知道对应的自动控制系统方程.
【详解】对于选项A，当时，为递减函数，故 ；
当 时，，求导得 ，
令得或，令得，
所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，
所以为极小值点，为极大值点，计算得 时 时 ，
又 时 时 ，此时
当－10 为开口向下的抛物线，顶点 时 ，端点 和 时 ，此时
综上可知，，此时 ，故选项A正确；
对于选项B，由A可知，j 为函数的极大值点，故选项B正确；
对于选项C，由A可知在上单调递减，故当 时，自动控制系统方程应为 ，故选项C正确；
对于选项D，由A可知在上单调递减，故当时，自动控制系统方程应为 ，而非 ，选项D错误.
故选：D
4．（24-25高二下·天津·阶段练习）若函数有两个极值点，且，则的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数
【分析】求导，根据函数有两个极值点， 由在上有两个不等实根，求得a的范围，进而再根据，得到的范围，再由，得到，利用导数法求解.
【详解】因为，
所以，
令，
因为函数有两个极值点，
所以函数在上有两个不等实根，
则，解得，
因为，且，，
所以，且，
所以，．
令函数，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
则，即的取值范围为．
故答案为：.
5．（24-25高二下·山东泰安·阶段练习）已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数单调性、极值与最值的综合应用
【分析】将函数有三个极值点转化为其导函数有三个零点，构造函数并求出其单调性画出图象，利用数形结合即可求得实数的取值范围.
【详解】易知的定义域为，则；
由函数有三个极值点可得有三个零点；
令，可得，
令，可得，
由可得或；
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减；
因此在处取得极小值，在处取得极大值，
且时，，当，；
画出函数的图象如下图所示：
由题意可知函数与有三个交点，
结合图象可知.
故答案为：
6．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，（，是自然对数的底）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题
【分析】由题意有在上有解，构造函数,利用导数研究单调性求值域，即可得参数范围.
【详解】由题意，对于，上存在点关于轴对称的点在上，
所以，存在点在上，故，
即在上有解，
令且，则，
所以时，即在上递减，值域为，
时，即在上递增，值域为，
所以，即.
故答案为：
7．（24-25高二下·天津东丽·阶段练习）已知函数若 使得 则实数a的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】利用导数，分别求出函数的最小值，结合不等式恒成立列不等式求解，即得答案.
【详解】由，可得，
当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
故；
由，，可得，
当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
故，
由于若 使得故，
即，即实数a的取值范围是，
故答案为：
【题型十一： 利用导数研究函数的零点 】
1．（2025·江苏苏州·三模）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．时，有唯一的零点B．时，存在极小值
C．时，存在极大值D．若，则的范围为
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点
【分析】求导后结合零点存在定理判断A；由单调性可判断BC；有单调性举反例当可判断D.
【详解】对于A，，
当时，，有唯一零点；
当时，恒成立，函数单调递增，
当时，，当时，，由零点存在定理可得有唯一的零点，
综上时，有唯一的零点，故A正确；
对于B、C，令，可得，
易得函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数存在极大值，故B错误，C正确；
对于D，因为，所以，
由B选项可得当，函数取得极大值，此时，
所以，故D错误.
故选：AC.
2．（24-25高二下·河南三门峡·期末）已知函数，.下列结论正确的是（ ）
A．有且只有个零点B．有且只有个极值点
C．无最大值，也无最小值D．的极小值就是最小值
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点
【分析】求导，根据导数判断函数的单调性与极值最值情况，进而可导零点.
【详解】由已知，
则，
令，解得或，
则
即函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为，极小值为，B选项错误；
又当时，恒成立，所以当且仅当时，，即函数的极小值也是最小值，A、D选项正确，C选项错误；
故选：AD.
3．（24-25高二下·四川广元·期中）已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．是的极大值点
B．的图象关于点对称
C．若关于的方程有一解，则
D．当时，
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点
【分析】求导得到函数的极值点可判断A，求出可判断B，画出函数图象，数形结合可判断C，由单调性可判断D.
【详解】对于A，，则，
所以当或时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以的极大值点为，极小值点为，故A正确；
对于B，，因为
，
所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，由A可知的图象如下所示：
由图可知，当或时，和有一个交点，即方程有一解，故C错误；
对于D，当时，，由在上单调递减，则
，即，故D正确.
故选：ABD.
4．（2025·河南·三模）已知定义域为R的函数为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．有三个零点
B．在处切线的斜率为
C．当时，有极大值
D．若的极小值为m，则
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、求函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值
【分析】对于A，利用函数零点的定义结合奇函数的性质求解判断即可；对于B，先求出时，，进而求导，利用导数的几何意义求解判断即可；对于C，求导，分析可得在区间内存在唯一，在上单调递增，在上单调递减，进而判断即可；对于D，结合C可得的极大值，结合奇函数的性质可得的极小值，进而判断即可.
【详解】对于A，当时，令，得，因为是定义域为R的奇函数，
所以，，故有三个零点，故A正确；
对于B，当时，，所以，得，
此时，所以，故B错误；
对于C，当时，，
因为函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
又，，
故在区间内存在唯一，使，即，
则时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，故C正确；
对于D，由C得在处取得极大值，因为，
所以，因为，所以极大值，
又因为为奇函数，所以极小值，故D错误．
故选：AC.
5．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知函数，则（ ）
A．有一个零点
B．的单调递增区间为
C．在上的最大值为7
D．有两个极值点
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点
【分析】对函数求导，研究区间单调性、判断零点个数及极值点情况，即可判断各项的正误.
【详解】由题设，则或有，有，
所以在和上单调递增，在上单调递减，B错；
且，，时趋向于，时趋向于，
所以在存在唯一零点，在定义域上有两个极值点，A、D对；
又，，显然在上的最大值为7，C对；
故选：ACD
6．（2025·河北·模拟预测）已知函数，当时，恒成立，则（ ）
A．在上单调递增
B．有极大值
C．的极小值点为
D．只有一个零点
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点
【分析】对函数求导，确定函数的单调性、极值、最值以及零点个数判断ABCD.
【详解】，恒成立，
与有相同的根，即的两个实数根为，
，，即.，
由得或，，，A正确；
当时，，函数单调递增，当时，，
函数单调递减，当时，，函数单调递增，
在处取得极大值，在处取得极小值
，又当时，，B正确，C不正确，D正确，
故选：ABD.
7．（24-25高二下·福建福州·期中）函数存在3个零点，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值
【分析】根据给定条件，利用导数求出函数的极值，再结合三次函数的图象特征求出的范围.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当时，函数在上单调递增，函数最多一个零点，不符合题意；
当时，由，得或；由，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
由函数存在3个零点，得，解得，
所以实数的取值可以是，ACD是，B不是.
故选：ACD
【题型十二：利用零点个数求参数的取值范围 】
1．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值
【分析】讨论函数的单调性进而得出极值点，再结合零点存在定理和放缩法即可证明.
【详解】，，，
令，令，
于是在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以时，函数有极大值为，时，函数有极小值为.
由题意函数在R上由3个不同的零点，则根据三次函数的性质知.
故答案为：.
2．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数，如果且，则的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数图象及性质
【分析】利用导数可得函数单调性，从而可得的范围，再构造函数，结合三次函数交点式即可得、，再结合的范围即可得解.
【详解】，
则当时，，
当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
则有极大值，
有极小值，
由，则可设，
令，则，
即有，
则，
故，，
则，
故答案为：.
3．（24-25高二下·安徽池州·期中）已知.
(1)当时，求函数的极值；
(2)，若存在3个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）求出导函数，进而求出单调区间，根据极值的概念求解即可；
（2）易知有一个零点为，进而转化为方程有2个实根，参变分离，令，则函数与的图象有两个交点，利用导数研究函数的单调性，画出图象，数形结合求解即可.
【详解】（1）当时，，
由得得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时取得极小值为，无极大值.
（2）由函数，
可得有一个零点为，要使得存在3个零点，
则需方程有2个实根，
而方程可化为，
令，则函数与的图象有两个交点.
，令得，
当变化时，、的变化情况列表如下：
所以函数在处取得极小值为2e.
当时，又，所以的大致图象如图：
由函数与的图象有两个交点，根据图象可得.
所以要使得存在3个零点，则实数的取值范围是.
4．（24-25高二下·山西太原·期中）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若函数恰有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2)或.
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）利用导数研究单调性，进而求极值；
（2）根据（1）及的区间值域，结合零点个数确定参数范围.
【详解】（1）由题设，
当或，，在、上单调递增，
当，，在上单调递减，
所以极大值为，极小值为.
（2）由时，趋向于，时，趋向于，且，
结合（2）知，在上，且，

要使函数恰有两个零点，则或.
5．（24-25高二下·湖南·期中）设函数，.
(1)试判断函数在区间上是否存在极值点，并说明理由；
(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)存在极大值点，无极小值点，理由见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性、零点存在性定理的应用
【分析】（1）先求出导函数，得出函数单调性结合零点存在定理判断导数零点即可得出极值点；
（2）先求出导函数，构造函数分和及分类讨论得出单调性即可求参.
【详解】（1），
令，则，则，恒小于0，单调递减，
且，，∴，，
，，单调递增，，，单调递减，故函数存在极大值点，无极小值点.
（2），则.
又令，，
①当，即时，恒成立，∴在区间上单调递增，
∴，∴，∴在区间上单调递增，
∴（不合题意）；
②当，即时，，∴在区间上单调递减，
∴，∴，∴在区间上单调递减，
∴（符合题意）；
③当，即时，由，，
∴，使，且时，，，
，
∴在上单调递增，∴（不符合题意）；
综上，的取值范围是.
6．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数，若有两个零点，则实数k的取值范围 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（含参）
【分析】利用导数求出函数的最小值，由零点情况求出最小值点的范围，进而求出的范围.
【详解】函数的定义域为，求导得，
函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，
又当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，
当趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，则存在正数，使得，
即，，当时，；当时，，
函数在上递减，在上递增，
当从大于0的方向趋近于0时，趋近于正无穷大，当趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，
则当且仅当时，函数有两个零点，
令函数，求导得，
函数在上单调递减，而，由，得，
又函数在上单调递增，因此，
所以实数k的取值范围是.
故答案为：
【题型十三：导数新定义 】
1．（2025·江西南昌·一模）我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值点、导数新定义、函数极值点的辨析
【分析】先利用导数求出函数的极值点，再逐一判断各个选项即可.
【详解】，则，
令，则，
如图，作出函数的图象，
由图可知函数的图象有两个交点，
即函数有两个零点，且，
令，则或，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点为，极小值点为.
对于A，函数在上单调递减，在单调递增，
所以函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符；
对于B，函数在上单调递增，在单调递减，
所以函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符；
对于C，，
当或时，，当时，，
所以函数的极大值点为，极小值点为，故C选项符合题意；
对于D，，
则函数的极小值点为，极大值点为，故D选项不符.
故选：C.
2．（24-25高二下·安徽·期中）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值为
B．有且仅有2个零点
C．点是曲线的对称中心
D．
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、倒序相加法求和
【分析】对于A，求出导函数，由极大值的定义即可判断；对于B，求出极大值和极小值，分析函数在无穷远处的性态，由此可判断零点个数；对于C，由题设条件求出二阶导数的零点即可判断正误；对于D，由C可知是函数的对称中心，故，利用倒序相加法即可算出答案判断正误.
【详解】由题意得，，
令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极大值，极大值为，故A正确；
当时，取得极小值，极小值为，
且当时，当时，，
极大值，极小值，所以函数有3个零点，故B错误；
由，得，令，得，
又，
所以点是曲线的对称中心，故C错误；
因为是函数的对称中心，所以，
令，
得
所以，
所以，即，故D正确.
故选：AD.
单调递增
单调递减
单调递增
1
+
0
-
0
+
增
极大值
减
极小值
增
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
0（小明）
1
2
3
4
5
6
7（奖品）
8
9
10
单调递减
单调递增
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
1
-
-
0
+
+
单调递减
单调递减
极小值
单调递增
单调递增