专题07 随机变量及其分布【知识梳理】-高二数学下学期期末专项复习（新人教A版2019）

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1.条件概率及其性质
2.事件的独立性
(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B).这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.
(2)概率公式
3.全概率公式
(1)完备事件组：
设Ω是试验E的样本空间，事件A1，A2，…，An是样本空间的一个划分，满足：
①A1∪A2∪…∪An＝Ω.
②A1，A2，…，An两两互不相容，则称事件A1，A2，…，An组成样本空间Ω的一个完备事件组.
(2)全概率公式
设S为随机试验的样本空间，A1，A2，…，An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，eq \(∪,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))Ai＝S，则对任一事件B，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)称满足上述条件的A1，A2，…，An为完备事件组.
【例题1】济南素有“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”的美名．现有甲乙两位游客慕名来到济南旅游，分别准备从大明湖、千佛山、趵突泉和五龙潭4个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩．记事件：甲和乙至少一人选择千佛山，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
根据题意，甲和乙至少一人选择千佛山的情况有种，
因为甲和乙选择的景点不同对应情况有个，
所以，
故选：．
【例题2】一个口袋中装有2个白球和3个黑球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
设A＝“第一次摸出的是白球”，B＝“第二次摸出的是白球”，则P(AB)＝×＝．
故选：D
【变式训练1】对标有不同编号的件正品和件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出件，在第一次摸出次品的条件下，第二次也摸到次品的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
设第一次摸出的是次品为事件A，第二次摸到次品为事件B，
根据题意得：,
而，
所以，
故选：C.
【变式训练2】从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，事件为“取到的两张中至少有一张为假钞”，事件为“取到的两张均为假钞”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由，且，
∴，而，
∴.
故选：D
【变式训练3】近来，受冷空气影响，我市气温变化异常，时有降雨及大风天气，经预报台统计，我市每年四月份降雨的概率为，出现四级以上大风天气的概率为，在出现四级以上大风天气条件下，降雨的概率为，则在已知降雨的条件下，出现四级以上大风天气的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
若表示降雨，表示四级以上大风，则，，而，
根据条件概率公式知：，，
∴.
故选：B.
二、离散型随机变量及其分布列
1.离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表
称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列.
(2)离散型随机变量分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1；
③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj.
3.离散型随机变量的数学期望与方差
设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn.
(1)数学期望：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.
(2)方差：称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，D(X)的算术平方根eq \r(D（X）)叫做离散型随机变量X的标准差.
4.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
5.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
【例题1】甲、乙两人下象棋，赢了得分，平局得分，输了得分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【详解】
甲、乙两人下象棋，赢了得分，平局得分，输了得分，
故有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次，
故选：D.
【例题2】某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数的期望是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由题意可得，每次实验成功的概率为，则失败的概率为，

，
，
则实验次数的分布列如下：
所以此人实验次数的期望是.
故选：B
【变式训练1】已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）
A．B．C．[－3，3]D．[0，1]
【答案】B
【详解】
设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，
根据各个变量概率和为1得：(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，解得，
由，解得.
故选：B
【变式训练2】随机变量X的分布列如下：
若E(X)＝，则D(X)等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由分布列性质和期望公式可知，，得得.
所以D(X)＝＋.
故选：D.
【变式训练3】已知ξ～B，η～B，且E(ξ)＝15，则E(3η＋6)等于（ ）
A．30B．16
C．36D．10
【答案】C
【详解】
因为ξ～B，
所以E(ξ)＝.又E(ξ)＝15，
所以n＝30，
所以η～B.
故E(η)＝30×＝10.∴
E(3η＋6)＝3E(η)＋6＝36.
三、常见离散型随机变量的分布列
1、二点分布：如果随机变量X的分布列为
其中0(2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝eq \f(Ceq \\al(m,M)Ceq \\al(n－m,N－M),Ceq \\al(n,N))(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.
2、独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
①定义：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.
②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，则n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n).
(2)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pkqn－k，其中k＝0，1，2，…，n.于是X的分布列：
此时称离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p).
3.正态分布
(1)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)＝eq \f(1,\r(2π)·σ)e－eq \f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R(其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞).
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ【例题1】已知随机变量服从二项分布，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由随机变量服从二项分布， 则.
故选：C.
【例题2】已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（ ）
A．10%B．20%
C．30%D．40%
【答案】B
【详解】
设10件产品中有x件次品，
则＝＝，
所以x＝2或8.
因为次品率不超过40%，所以x＝2，
所以次品率为＝20%.
故选：B．
【变式训练1】若随机变量X的密度函数为，在区间和内取值的概率分别为，则的关系为（ ）
A．B．
C．D．不确定
【答案】C
【详解】
根据随机变量X的密度函数可得，然后结合正态分布曲线的对称性可知，曲线关于对称，所以.
故选：C.
【变式训练2】“石头､剪刀､布"，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本､朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界游戏规则是：“石头"胜"剪刀”､“剪刀”胜“布”､“布”胜“石头”，若所出的拳相同，则为和局.小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头､剪刀､布”游戏比赛，则小华经过三局获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由题设知：小华经过三局获胜的基本事件为前两局一胜一不胜，第三局获胜，
∴小华经过三局获胜的概率为.
故选：C.
【变式训练3】经统计，某市高三学生期末数学成绩，且，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于80分的概率是（ ）
A．0.35B．0.65C．0.7D．0.85
【答案】B
【详解】
由已知，
所以．
故选：B．
条件概率的定义
条件概率公式
对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“P(B|A)”表示
P(B|A)＝eq \f(P（A∩B）,P（A）)，其中P(A)>0，A∩B称为事件A与B的交(或积)
条件
公式
A，B相互独立
P(A∩B)＝P(A)×P(B)
A1，A2，…，An相互独立
P(A1∩A2∩…∩An) ＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn








X
1
2
3
P
0.5
x
y
X
1
0
P
p
q
X
0
1
…
k
…
n
P
Ceq \\al(0,n)p0qn
Ceq \\al(1,n)pqn－1
…
Ceq \\al(k,n)pkqn－k
…
Ceq \\al(n,n)pnq0