暑假作业07 导数的单调性及含参单调性-【暑假作业】2025年高二数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

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作业07 导数的单调性及含参单调性
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：利用导数求函数的单调区间（不含参） 】
1．（24-25高二下·全国·课后作业）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】简单复合函数的导数、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】求出定义域后再求导，根据导函数小于0求出单调递减区间即可得．
【详解】的定义域为，
，
由，可得，
故的单调递减区间为．
故选：C．
2.（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】对A，根据解析式判断单调性得解；对B，C，D，求导，利用判断导数正负得解.
【详解】对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误.
对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误.
对于C，，满足在上单调递增，故C正确.
对于D，在上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误.
故选：C.
3．（24-25高二下·黑龙江·期中）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．、
C．、D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】利用函数单调性与导数的关系可求出函数的增区间.
【详解】函数的定义域为，，
由可得，即，解得，
因此，函数的增区间为.
故选：A.
31．（24-25高二下·河南商丘·期中）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】根据，解不等式即可求解.
【详解】由题意可知函数的定义域为，，
令，得，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：B.
4．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，则在下列区间上，单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间，从而得解.
【详解】因为，所以，
令，即，解得，
所以函数的单调递减区间为，结合选项可知只有D符合题意.
故选：D
5．（24-25高二下·北京怀柔·期中）哪个区间是函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】根据题意，求出函数的导数，由函数导数与单调性的关系分析函数的递增区间，分析选项可得答案．
【详解】解：根据题意，，其定义域为，
其导数，
若，即，解可得或，
即的递增区间为、，
只有C符合．
故选： C
6．（24-25高二下·四川遂宁·期中）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解.
【详解】函数的定义域为，又，
令，解得，所以的单调递增区间为.
故选：D
7．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 .
【答案】（写成，，，同样给分）
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】根据导数和函数单调性的关系，即可求解.
【详解】因为，，
令，得，解得，
所以的单调递减区间是.
故答案为：
8．（24-25高二下·江西宜春·期中）函数的单调增区间为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】根据导数与函数单调性的关系，即可求解.
【详解】，，
，得，所以函数的单调递增区间是.
故答案为：
9．（云南省三校2025届高三高考备考实用性联考（八）数学试题）已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)当时，判断函数在区间上的单调性；
(2)令，若函数在区间上存在极值，设极值点为，证明：.
【答案】(1)在区间上单调递减
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数证明不等式
【分析】（1）当时，先求导数，根据其单调性得出在上，进而判断单调递减.
（2）已知在有极值点，由求出，代入表达式.要证小于一个式子，通过移项构造新函数，根据取值范围判断各项大于，从而证明不等式成立.
【详解】（1）时，.
显然，在区间上单调递增，
所以，即，
所以在区间上单调递减.
（2）.
因为在区间上存在极值点，
所以，可得，
此时，将代入得
.
要证明，即证明，
移项可得.
设，
因为，所以，所以成立.
所以得证.
10．（24-25高二下·全国·课堂例题）求下列函数的单调区间．
(1)；
(2)．
【答案】(1)函数的单调递减区间为，，单调递增区间为
(2)单调递增区间为（），单调递减区间（）
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】（1）首先求出定义域，然后对函数求导，分别求出导数大于0和小于0的的范围，从而得到函数的单调区间.
（2）首先求出定义域，然后对函数求导，分别求出导数大于0和小于0的的范围，从而得到函数的单调区间.
【详解】（1）由题得函数的定义域为.
，
令，即，解得；
令，即，解得或，
故所求函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．
（2）由题得函数的定义域为.
.
令，得，即（），
令，得，即（），
故的单调递增区间为（），单调递减区间（）.
11．（24-25高二下·北京·期中）已知函数
(1)求在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)在区间上有两个零点，求m的范围.
【答案】(1)
(2)单调递增区间，，单调递减区间.
(3)
【难度】0.85
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程.
（2）求导，分析导函数的符号，可得函数的单调区间.
（3）结合（2）的结论，转化为与在上有两个交点，数形结合，可求m的范围.
【详解】（1）因为，所以.
又，所以.
所以在处的切线方程为：即.
（2）因为.
由或；由.
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（3）由（2）可知，函数在上单调递减，在上单调递增.
且，，.
所以在区间上有两个零点，即在上有两个解，
可得.
即的取值范围为：
12．（2025·湖北·模拟预测）已知函数.
(1)若函数的图像在点处的切线与直线垂直，求实数的值；
(2)若，求函数的单调区间.
【答案】(1)
(2)函数的单调增区间为，单调减区间为.
【难度】0.85
【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）先对函数求导，利用导函数的正负确定函数单调区间即可.
【详解】（1）由题意知的定义域为，
由题设知函数的图象在点处的切线斜率为，即，
所以；
（2）由于的定义域为，
当时，单调增；当单调减，
故函数的单调增区间为，单调减区间为.
13．（2025·河北·模拟预测）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间.
【答案】(1)
(2)递增区间为和，递减区间为和
【难度】0.85
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】（1）求出导函数，计算出，，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；
（2）令即可求出函数的单调递增区间，令即可求出函数的单调递减区间.
【详解】（1）由题意知，
则，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）的定义域为，
由（1）知，
令得或；令得，且，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和.
14．（2025高三·全国·专题练习）函数．求函数的单调区间.
【答案】在上单调递减，在上单调递增
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】先对求导，判断导数的单调性，最后求解单调区间即可.
【详解】因为，所以，
令，，令，，
故在上单调递减，在上单调递增．
【题型二：利用导数求函数单调性（含参） 】
1．（24-25高二下·河北·期中）已知函数，其导函数为．
(1)设．
①求的值；
②求在上的最大值．
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)①；②-7
(2)答案见解析
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、已知某点处的导数值求参数或自变量
【分析】（1）①由题意先求导，由即可求解；②利用导数研究函数单调性，即可求最大值；
（2）先求导得，对于的取值情况分类讨论即可求解.
【详解】（1）①由题意得，
则，解得．
②由①得，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也就是最大值，最大值为．
（2）由题意有的定义域为，．
当时，，由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得，由，得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，，在上单调递增；
当时，由，得，由，得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
2．（江西省三新协同教研共同体2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题）已知函数．
(1)求函数的单调区间．
(2)设函数有两个极值点．
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）；（ii）证明见解析
【难度】0.4
【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值点求参数、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）通过求函数的导数，根据导数的正负来确定函数的单调区间，对于导数对应的一元二次方程，利用判别式判断根的情况，进而分析函数单调性.
（2）（i）先对求导，令导数为后变形，转化为与图象交点问题.再对求导分析单调性和特殊值，根据图象交点情况确定范围.
（ii）先假设，得到，利用单调性得出，结合有.设函数和，通过求导数判断单调性，证明，从而证明假设成立.
【详解】（1）由题意知函数的定义域为，
且，令，有．
当，即时，，此时函数的单调递增区间为（0，），无单调递减区间．
当，即或时，有，解得.
若，有，则由得或，由得；
若，有，则恒成立，此时函数的单调递增区间为（0，），无单调递减区间．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为（0，），无单调递减区间．
（2）（i）因为，所以，
令，得，则与的图象有两个不同的交点，
令，则，而在上单调递增，在上单调递减，又，当时，，
所以要使与的图象有两个不同的交点，则需，解得．
（ii）假设，则，因为，所以，
由于在上单调递减，所以，
又因为，所以．
设，
令，则需证在上恒成立．
当时，，
所以在上单调递增，所以当时，，故假设成立．
3．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)当为整数时，若恒成立，求的最小值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)1
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）只需求出的值即可；
（2）求导得，分和两种情况讨论即可；
（2）问题转换成恒成立，故只需求出的最小值的取值范围为即可得解.
【详解】（1）当时，，
，
曲线在处的切线方程为：．
（2）的定义域为，
，
①当时，恒成立，在上单调递减；
②当时，令，得，令，得，
在上单调递减，在上单调递增．
（3），即．
设，则．
设，则．
设，则，
令，得；令，得．
时，为增函数，时，为减函数，
，即在上为减函数．
，
，使，
时，，从而为增函数；
时，，从而为减函数；
的最大值为．
由得，
，
，
，
整数的最小值为1．
4．（24-25高二下·云南·期中）已知函数．
(1)若在处的切线方程为，求a、b的值；
(2)讨论的单调性；
(3)若恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)答案见解析
(3)
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求，再利用切点在切线上以及即可求出；
（2）分和两种情况，分别研究的正负性；
（3）参变分离，令，通过导函数研究其单调性，求其最小值即可.
【详解】（1）由，
由题可知，，
将切点代入切线方程，得．
（2），
当时，恒成立，此时在在上单调递增；
当时，得；得；
则在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在单调递增．
（3）由得，
令，
则，
则得；得或；
所以在和上单调递减，在上单调递增，
又，时，
所以，故，
故a的取值范围为
5．（24-25高二下·陕西·阶段练习）已知函数，.
(1)若，求的图象在点处的切线方程；
(2)试讨论的单调性；
(3)证明：只有一个零点.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）把代入函数，求出，，计算，即可得出切线方程.
（2）确定定义域，计算.令为分子部分，根据判别式的值分情况讨论函数的单调性.
（3）分和两种情况讨论函数的零点即可证明结论.
【详解】（1）若，则，
所以，，，
故的图象在点处的切线方程为.
（2）因为，所以的定义域为，且.
令（），令，得.
当，即时，，，在上单调递增.
当，即时，方程的解为，，且.
当时，，；
当时，，.
故在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（3）当时，在上单调递增.
因为，所以只有一个零点.
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
因为，所以，
因为，所以，故.
因为，所以在上有一个零点.
由题意得，.
由（1）得，，所以，即，
所以.
令，则.
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以在上没有零点，即在上只有一个零点.
综上，只有一个零点.
6．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若，方程有三个不相等的实数根且，证明：．
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程；
（2）根据判别式符号并对的取值进行分类讨论，即可得出对应的函数单调区间；
（3）由时可求得函数单调区间，可求出的大致范围，再通过构造函数利用函数单调性即可得出证明.
【详解】（1）由题意得，定义域为，
，
可得曲线在点处的切线的斜率为0．
，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2），
易知，且．
令，则．
当，即时，在上恒成立，且等号不恒成立，
即在上恒成立，且等号不恒成立，因此在上单调递增．
当，即时，
由解得或，
，
当时，；当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，.
（3）由（2）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减．
．
令，
则在上恒成立，
在上单调递增，则当时，，
在上恒成立．
，且．
由于在上单调递减，．
令，
则在上恒成立，
在上单调递增，则当时，，
在上恒成立．
且．
在上单调递增，．
由和可得．
7．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知．
(1)试判断的单调性；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式
【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间；
（2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，验证能否恒成立，由此可得出实数的取值范围；
（3）由（2）得当时，故只需证明，构造函数，，利用导数分析函数的单调性，可得出其函数值的符号变化，由此可证得结论成立.
【详解】（1）因为，该函数的定义域为，.
当时，，则在上是增函数；
当时，令，得，
由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为.
综上所述，当时，在上是增函数；
当时，函数的减区间为，增区间为.
（2）即恒成立，则，
且函数在上为增函数，故，
当时，，则在是增函数，成立，合乎题意；
当时，，由（1）可知，函数在上为减函数，在上为增函数，
所以不合题意．
所以．
（3）由（2）得当时，，
所以要证，只要，即证：，
设，，则，
因为函数、在上均为增函数，故函数在是增函数，
因为，，所以存在，使．
故时，，则在上为减函数，
当时，，则在上为增函数，
因为，，
所以时，，故命题成立．
8.（24-25高二下·重庆南岸·期中）已知函数，．
(1)若，判断的单调性；
(2)若，求a的值；
(3)已知，．若，证明：．
【答案】(1)在上单调递增，在上递减
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）先求导，利用导数研究单调性即可求解；
（2）由，得，根据的情况分类讨论，当时，由（1）有，即，令，利用导数研究最小值即可求解；
（3）令，利用导数研究函数的单调性求出最小值即可求解.
【详解】（1）由题意有：，因为，
令，解得：，所以当时，；
当时，，
所以在上单调递增，在上递减；
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减．
若，则，即，
代入可得：，
令，（），则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，且，
所以，即，
当时，恒成立，即在上单调递增，
又，所以当，，不恒成立，故不成立.
综上所述，；
（3）令，，
所以，令，，
所以在上单调递增，因为，，
所以在上存在唯一零点，令，则，
令，所以；令，所以；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为，所以，
所以，得证.
9．（2025·山东枣庄·二模）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，证明：.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）求导，通过讨论和时，导数的符号，即可求解；
（3）由（2）得，即，将问题转换成.再构造函数，求导确定最值即可求证.
【详解】（1）解：由题意得，
则.
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，即.
（2）由（1）得，
令，则.
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，
即.
①当时，在上单调递增.
②当时，由，得；由，得，
所以当时，单调递增；当时，单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（3）证明：当时，要证，
只需证，
即证.
由（2）得，即，
即，需先证.
令，
则.
令，
则，
所以在上单调递增.
又，
则当时，；
当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，
则成立.
综上，.
10．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对一切实数x，都有恒成立，求a的值；
(3)求证．对于任意的正整数n．都有．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求导，分别讨论，时，函数单调性即可；
（2）由（1）可知要使得，则，结合函数单调性得最值可得，设，求导，确定函数的单调性从而得最值，即可得a的值；
（3）由（2）知，当时结合指对转化可得成立，令，可得，经过递推及对数运算即可证得结论．
【详解】（1）函数的定义域为，，
当时，，则函数在上单调递增；
当时，令得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；
（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，
又，所以，不符合题意，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
设，则，
则当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，则，又，
故，即；
（3）由（2）可得，当时，，即，
所以，当时可得，
则令，可得，则，
所以
，
即.
11．（2025·河北·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)记．
（ⅰ）若恒成立，求的取值范围；
（ⅱ）若，且，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【难度】0.4
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求导可得，然后分与讨论，即可得到结果；
（2）（i）求导可得，令，当时可得在上恒成立，即可证明，然后再讨论以及即可；（ⅱ）将不等式转化为证，即，再结合（ⅰ）中的结论，即可证明.
【详解】（1）对求导，可得，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令，解得，
若，则，若，则，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（2）（i）由题意，，
令，则，
当时，由（1）可知，在上单调递增，，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，成立，
当时，由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，故，在上恒成立，故，成立，
当时，由（1）可知，在上单调递减，上单调递增，又，
所以当时，，即在上单调递减，
故，不成立，
综上所述，；
（ⅱ）由（2）可知，①，且，要证，只要证，
即，即②，
由①可得，代入②中即证，
即证恒成立，
令，则恒成立，
所以恒成立，故成立．
12．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数
(1)若，求的最小值
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个不同的零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求出导数，判断单调性，可求最小值；
（2）求导，分类讨论，结合导数符号可判断单调性；
（3）化简函数解析式，分离参数，研究函数性质，结合公共点的个数可得答案.
【详解】（1）时，，，
令得或（舍），
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以的最小值为.
（2），
当时，时，，单调递减；时，，单调递增；
当时，时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增；
当时，，且不恒为0，在定义域内单调递增；
当时，时，，单调递增；
时，，单调递减；时，，单调递增；
综上，时，时，单调递减，时，单调递增；
时，时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增；
时，在定义域内单调递增；
时，时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增.
（3），
令可得，，令，，
时，，为增函数，时，，为减函数，有最大值.
又，无限趋近时，趋近于0，简图如下，
所以，解得，即的取值范围为.
13．（2025·江苏南京·二模）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【难度】0.65
【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】（1）把代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出导数，按，，，分类讨论即得函数的单调性.
【详解】（1）当时，，求导得，则，而，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
求导得
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在和上单调递增；
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在和上单调递增，
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在和上单调递增；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.
14．（2025·重庆·三模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知函数 ．
①若 ，求证： 当 时， ；
②若 ，函数 在区间上存在唯一零点，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)①证明见解析；②.
【难度】0.65
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求导得，再对分类讨论即可；
（2）①，从而得到在下单调递增，则，则得到的单调性，即可证明；
②当时,分析得在上单调递增，再取点计算得，最后利用零点存在性定理即可得到答案.
【详解】（1），
①当，即时，恒成立，在上单调递增．
②当，即或时，令，解得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）(i)，
，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
则在上单调递增，则，得证．
（ii）当时，，同理有在上单调递增，
而，
故由零点存在定理可知，存在唯一的，使得．
当时，单调递减；
当时单调递增．
，
故由零点存在定理可知，在无零点，在上存在唯一零点．符合题意．
当时，由（i）可知不合题意，故舍去．
综上所述，的取值范围为．
15．（2025·甘肃白银·三模）已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)讨论的单调性；
(3)若在上有个零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3).
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）由在上单调递增，可得对恒成立，转化为对恒成立，即可直接求出的取值范围；
（2）利用导数直接分类讨论，分析导函数的正负，即可得到含参函数的单调性；
（3）由（2）中单调性，首先排除，故，要使得在上有个零点，需满足且，构造函数，结合导数求出恒成立，所以只需满足，求出结果即可.
【详解】（1）依题意得对恒成立，
即对恒成立，
所以，即的取值范围是.
（2）由题知，的定义域为，
又，
当时，在上单调递增.
当时，令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）知，当时，在上单调递增，
则在上至多有个零点，则不符合题意.
当时，要使得在上有个零点，
则，即，
且，
设函数，
则，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以.
由，得.
即的取值范围为.
16．（24-25高二下·四川凉山·期中）已知函数，，为函数的导函数．
(1)求函数的单调性；
(2)若任意，恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用
【分析】（1）分类讨论时和时，的正负即可求解单调区间；
（2）由题得在恒成立，进而得出恒成立，构造函数利用导数即可求解．
【详解】（1）因为，且定义域为，
所以，令，则，
当时，，函数在上单调递减；
当时，令，得到，
令，得到，
故函数在上单调递减，在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）得，
因为对于任意，恒成立，
所以恒成立，
化简得恒成立，故恒成立，
令，则恒成立，，
令，则，
得到在单调递增，即，
故，在单调递增，而，
即，故．
17．（24-25高二下·广东湛江·期中）设函数．
(1)时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个极值点且，证明：．
【答案】(1)
(2)答案见解析.
(3)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究双变量问题、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】（1）当时，求出切线斜率，然后得到切线方程；
（2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性；
（3）利用函数的极值点以及函数的单调性，转化证明即可．
【详解】（1）的定义域为．
所以，，
因此曲线在点处的切线方程为，
取得．
（2）．
（i）时，在单调递增．
（ii）时，令，则，
，．
则单调递增．单调递减．
综上所得，
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）知，因为是方程的两根，所以．可得.
等价于．
其中．
因此待证式等价于，两侧同时加，得，
即证，等价于，
由且得，
记，则，
记，则，所以单调递减，
所以，则，所以单调递减，所以，证毕．
18．（24-25高二下·山东聊城·期中）设函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【难度】0.65
【知识点】已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求出函数的导数。利用导数的几何意义，结合给定切线求出参数值.
（2）利用（1）中导函数，分类讨论求出函数的单调区间.
【详解】（1）函数，求导得，则，
又曲线在点处的切线方程为，则，
所以.
（2）由（1）知，
当，即时，由，得；
由，得，在上单调递增，在上单调递减；
当，即时，恒成立，在R上单调递增；
当，即时，由，得；
由，得，在上单调递增，在上单调递减；
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增；在上单调递减.
19．（2025·北京门头沟·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数的单调性；
(3)若在定义域上单调递减，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析；
(3)
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由函数在区间上的单调性求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求出切线方程；
（2）对函数求导再对的取值范围进行分类讨论，即可求得函数的单调性；
（3）将问题转化为在上恒成立，再利用（2）中的结论可得即可，构造函数即可求得当时满足题意.
【详解】（1）当时可得，则，
此时，
因此切线方程为，即；
（2）由可得其定义域为；
且，即，
显然，
当时，，此时在上单调递增；
当时，令可得，
若，，此时在上单调递增；
若，，此时在上单调递减；
综上可得，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）若在定义域上单调递减，可得在上恒成立；
由（2）可得当时，即在上单调递增，
当，可得，显然不合题意；
当时，可得在上单调递增，在上单调递减；
即在处取得极大值，也是最大值；
即恒成立；
令，；
则，
显然当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增；
因此，即，
又恒成立，可得，即.
所以的取值范围为.
20．（2025·河北保定·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调区间及单调性.
【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
求导得，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增；
当时，由，得或；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
21．（24-25高二下·天津西青·阶段练习）已知函数．
(1)若曲线在处的切线与直线平行，求的值及函数的单调性；
(2)求函数的单调区间；
(3)若当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)，在上单调递增，无减区间
(2)答案见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）利用导数的几何意义求参数取值并利用导数判断函数的单调性即可；
（2）对求导，讨论和时，即可得出函数的单调区间；
（3）由不等式恒成立入手，分离参数转化为求最值可求得参数范围.
【详解】（1）直线的斜率为，因为，
所以由导数的几何意义知，，所以，解得.
此时，则，所以在上单调递增，无减区间
（2）的定义域为，
，
当时，，则在上单调递增，
当时，令，解得：，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，则单调递增区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）时，恒成立，转化为即可.
设，因为，
由得，由得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
从而.所以，即的取值范围为.
22．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求导并分类讨论，根据导数的正负确定函数的单调区间；
（2）由条件可得恒成立，设，求导并分类讨论，确定的单调性及最大值，可得，令，，利用的单调性确定的范围，从而可得范围.
【详解】（1）的定义域为，
，，
当时，，则在上单调递增；
当时，当时，，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减，
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为；的单调递减区间为.
（2）若恒成立，即恒成立，
则恒成立，
设，
，
∵，∴，
当时，，则在上单调递增，
当时，，
所以不合题意；
当时，当时，，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减，
则的最大值为，
则，
令，，
，则在上单调递增，
又，
∴由，得，
∴且，
∴.
【题型三： 利用导数单调性解函数不等式 】
1．（24-25高二下·天津西青·期中）设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、奇偶函数对称性的应用
【分析】构造，根据已知及奇偶性定义判断奇偶性，再对其求导判断上的单调性，结合对称性确定单调区间，进而判断区间符号，即可得.
【详解】令，又分别是定义在上的奇函数和偶函数，
所以，即为奇函数，
当，有，所以在上单调递减，
由奇函数的性质，在上单调递减，且，
由，则，即，
综上，上，上，
所以不等式的解集是.
故选：A
2．（云南省高考全真模拟联考2024-2025学年高三下学期5月期中数学试题）设函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】根据偶函数定义证明为偶函数，利用导数判断函数的单调性，结合函数性质化简不等式求其解集即可.
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
且，
所以为偶函数．
由于，
当时，，则，所以在上单调递增；
当时，，则，所以在上单调递减；
由于，即，
所以，即，解不等式得，
所以不等式的解集为.
故选：．
3．（24-25高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】抽象函数的奇偶性、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】构造函数，通过求导，结合条件判断函数单调性，利用为偶函数及，推出，即得，将所求不等式等价转化为，利用单调性即得.
【详解】设，则，故函数在上为增函数，
因，且为偶函数，故，故，则，
于是等价于，即，由函数的单调性可得，
即不等式的解集为.
故选：B.
4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若存在使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、反函数的性质应用、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】设的反函数为，将题干转化为与的图象在区间上有交点，再利用与的图象的对称性，转化为的图象与直线在区间上有交点，进而通过分离常数，转化为求，上的值域即可.
【详解】设的反函数为，由可得，
所以题干等价为与的图象在区间有交点，
因为与的图象关于直线对称，
所以两函数图象交点必在上，
故图象与直线在区间有交点，
则在区间有解，则，
令，则，
则在区间单调递增，又，
则的取值范围为．
故选：D
5．（24-25高二下·四川广元·期中）设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】先构造函数，再利用函数单调性解不等式.
【详解】令，
∵函数在上是可导的偶函数，
∴在上也是偶函数
又当时，，∴，
∴，
∴在上是增函数
∵，
由得
即不等式转化为，
∴x不为0时有，
而x为0时，不等式显然成立，
∴不等式的解集为.
故选：C.
6．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】利用构造法求导可知是在上单调递增．然后再利用单调性即可解不等式.
【详解】令，因为，所以，
所以在上单调递增．
又，所以，
因此不等式可化为，
所以，解得，
即不等式的解集为．
故选：B.
7．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】根据求解不等式可构造函数，求导得单调性，把求解不等式变形为，即，利用单调性解不等式即可．
【详解】令，则，
所以在上单调递减，因为，所以，
不等式可变形为，即，可得，
故不等式的解集为．
故答案为：
8．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知定义在R上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为
【答案】
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】根据给定条件，构造函数，再确定单调性并解不等式即得.
【详解】令函数，由，得，
因此函数在R上单调递减，而，
不等式，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
9 ．（24-25高二下·河北保定·期中）定义在上的函数满足且，则满足的的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】构造函数，求导，判断函数的单调性，在结合函数的定义域，可求所给不等式的解集.
【详解】设函数，，则.
所以在上单调递增.
又当时，，
所以当时，即.
故答案为：
10．（24-25高二下·广东·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】设，得到，根据题意，求得的单调性，且，分类讨论，即可求解不等式的解集.
【详解】设，可得，
因为，所以在上单调递减，
因为，可得，
当时，；当时，，
故不等式的解集为．
故答案为：．
11．（2025·四川成都·模拟预测）若函数存在唯一极值点，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数
【分析】求导后构造，再求导分析单调性数形结合可得.
【详解】，因为存在唯一极值点，所以存在唯一变号根.
即存在唯一变号根，设，，
函数在上单减；在上单增，在上单减；
当时，；当时，；则实数a的取值范围为.
故答案为：.
【题型四：利用导数单调性比较大小 】
1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较余弦值的大小、比较函数值的大小关系
【分析】利用余弦函数的单调性可得，构造函数，由函数单调性可得，即可得出大小关系.
【详解】因为余弦函数在上单调递减，且，
所以；
因为，，
设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以.
故选：D．
2．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小
【分析】构造函数，求导得函数单调性，进一步即可比较大小.
【详解】因为，，，
构造函数，求导得，
令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以.
故选：A.
3．（24-25高二下·山东·阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系
【分析】构造函数，利用导数研究单调性，利用单调性即可比较大小.
【详解】设函数，则，
当时，单调递增区间为．
因为，
又，在为增函数，所以．
故选：A.
4．（24-25高二下·广东·期中）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系
【分析】由三角函数性质判断，由指数性质判断，构造函数，利用导数求出函数单调性，利用单调性判断.
【详解】为锐角时，，
所以，，
令，则，令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以，即，所以.
综上，.
故选：A
5．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系
【分析】根据题意，构造函数，求导可得其单调性，即可判断大小关系.
【详解】设，则，
令，即，解得，
当时，，即函数单调递增，
当时，，即函数单调递减，
且，
，，
其中，则，
所以.
故选：C
6．（2025·天津·一模）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】根据常见不等式，结合对数与指数的运算，可得答案.
【详解】由在上恒成立，当且仅当时等号成立，则，
即，综上可得，
故选：B.
7．（2025·广东·模拟预测）实数满足：，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】运用换底公式化简计算、用导数判断或证明已知函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式
【分析】由换底公式可得，令，则，，求导研究函数的单调性及，可得，即可求解.
【详解】，
令，则，，.
令得；令得，
∴函数在上单调递减，在上单调递增.
又，∴，即，解得.
故选：D.
8．（24-25高二下·天津·期中），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小
【分析】构造函数，并利用导数研究其单调性，再通过函数单调性比较大小．
【详解】解：设，，则，，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，，，中最大，
又，，而，
，，
故，
故选：B．
10．（江西省三新协同教研共同体2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题）已知，有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】对数的运算、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式
【分析】利用同构转化不等式，再利用导数讨论的单调性后可得正确的选项.
【详解】由，得，，
设函数，得，则在上单调递增，
而原不等式即为，故即，
故的充要条件为，故AC正确．
取，则成立，但，，
故BD错误，
故选：AC.
【题型五： 由函数在区间上的单调性求参数 】
1．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）若函数在为单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】先对函数求导，再根据函数单调性与导数的关系得到在[0,2]上恒成立，然后分情况讨论求解的取值范围.
【详解】对求导可得.
因为在上单调递增，所以在上恒成立.
当时，，此时可以取任意实数.
当时，可化为恒成立.
令，，可得，当且仅当，即时等号成立.
所以，则，解得.
综合以上两种情况，实数的取值范围是.
故选：B.
2．（江西省三新协同教研共同体2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求csx（型）函数的最值
【分析】由题意可知在上恒成立，则，结合余弦函数的最值可求得实数的取值范围.
【详解】因为函数在区间上单调递增，
由题意得在上恒成立，则，
当时，，故，故，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
3．（24-25高二下·安徽合肥·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】根据条件，将问题转化成对恒成立，构造函数，利用导数求得的最小值，即可得解.
【详解】因为在上单调递增，
所以在恒成立，即对恒成立，
令，则，令，得，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即的取值范围是.
故选：B.
4．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】根据题意，将问题转化为在上有解，然后分离参数即可求解.
【详解】因为函数在上存在单调递增区间，
所以在上有解，且，
所以，，
令，则，
当时，，则函数单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围是.
故选：A
5．（2025·四川眉山·模拟预测）函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件、由函数在区间上的单调性求参数
【分析】利用导数求出函数在区间上单调递减的等价条件为，再根据包含关系判断即可.
【详解】函数，
求导得，
函数在区间上单调递减，
等价于在区间上恒成立，
则，等价于，
与，与，与不具有包含关系，
所以，，不是函数在区间上单调递减的必要不充分条件，
因为是的真子集，所以是函数在区间上单调递减的必要不充分条件，
故选：A.
6．（24-25高二下·北京东城·期中）已知函数，则“”是“在其定义域内的子区间上不单调”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】判断命题的充分不必要条件、由函数在区间上的单调性求参数
【分析】由已知假设函数在区间上不单调，对函数求导，则令，得或（舍去），则，解得实数的取值范围即可得结论.
【详解】假设在其定义域内的子区间上不单调，
由，得或（舍去），
所以，解得，所以的取值范围为.
所以“”是“在其定义域内的子区间上不单调”的充分不必要条件.
故选：A.
7．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知函数，对任意，且都有成立，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】确定函数的单调性并化简不等式，构造函数，结合已知可得新函数单调性，再利用导数求出的范围.
【详解】当时，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，
不妨设，则，由，
得，即，
令函数，则函数在区间上单调递减，
因此对，恒成立，
而函数在上单调递增，则当时，取得最小值3，于是，
又，所以实数的取值范围是.
故选：A
8．（24-25高二下·福建福州·期中）若函数在区间上单调递增，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】根据函数单调递减得出导函数恒非负，再分离参数结合三角函数值域计算求参.
【详解】由题意在上恒成立，
所以，又时，是减函数，（时取得），
所以．
故选：C.
9．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】先对函数求导，根据函数单调性与导数的关系得到在给定区间上恒成立，进而转化为求2k小于等于一个函数的最小值问题.通过构造新函数，利用导数判断其单调性，从而求出最小值，最终确定的取值范围并得到的最大值.
【详解】因为函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
令，，令，
，∴在上单调递减，则，∴，
∴在上单调递减，，，
经检验知：当时，满足题意，所以，则实数的最大值为.
故选：B.
10．（24-25高二下·吉林长春·期中）若函数在上单调递增，则实数的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】对函数求导并利用不等式恒成立以及对勾函数性质求得实数的取值范围可得结论.
【详解】根据题意可得函数的定义域为，
又，
若函数在上单调递增，可得在上恒成立；
即在上恒成立，所以，
根据对勾函数性质可得在上单调递增，
当时，，则，
结合选择可知A、B、C、D符合题意，D不可能.
故选：D
11．（24-25高二下·四川遂宁·期中）若函数在上为增函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，即在上恒成立，求出，即可得解.
【详解】因为，则，
因为函数在上为增函数，
所以在上恒成立，所以在上恒成立，
即在上恒成立，又，
所以，解得，即的取值范围为.
故选：A
12．（23-24高二下·四川绵阳·期中）已知函数在内单调递增，则实数a的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】求得，转化为在上恒成立，设，求得，得到函数的单调性与最小值，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为在内单调递增，
即在上恒成立，即在上恒成立，
设，可得，
令，即，解得，在单调递增，
令，即，解得，在单调递减，
所以，当时，，所以，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
13．（24-25高二下·福建莆田·期中）函数在R上是单调递增的充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、充分条件的判定及性质
【分析】利用导数判断的单调性，转化为不等式恒成立问题，结合即可求解.
【详解】由，得，
因为在R上单调递增，所以不等式在R上恒成立，
即在R上恒成立，
所以，解得.
所以在R上单调递增的充分条件为的子集.
故选：B
14．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】将问题转化为在区间上有零点，求导确定的根，验证的单调性，即可得实数a的取值范围为.
【详解】函数在区间上不单调，
则在区间上有零点，
所以，得（舍），
故，使得函数在上递减，在上递增，
所以实数a的取值范围为.
故选：B.
15．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数，若对于任意两个不相等的实数、，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】依题意可得在上单调递增，则恒成立，参变分离可得恒成立，求出，即可得解.
【详解】因为对于任意两个不相等的实数、，都有恒成立，
所以在上单调递增，
因为，则恒成立，
所以恒成立，
又，所以，即实数的取值范围是.
故选：A
16．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】由已知可得在上恒成立，可转化为.求出的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】由已知，函数的定义域为，所以，
由在定义域内单调递减，所以在上恒成立，
即，可转化为在上恒成立，所以．
因为，所以，所以．
因此实数的取值范围是．
故选：D．
17．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由函数在区间上的单调性求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】时，，根据单调性得到恒成立，故，求导，得到在上单调递增，再满足分段处，左端点函数值小于等于右端点函数值，从而得到答案.
【详解】时，，，
因为在R上单调递增，故恒成立，即恒成立，
其中，
故，
，，
故在上单调递增，
要想在R上单调递增，需满足，
解得，
故a的取值范围是.
故选：C
18．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知函数在单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】由在恒成立，参变分离求最值即可.
【详解】因为在单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
由可得
所以函数在单调递增，
故，
，即．
故选：D
19．（24-25高二下·安徽安庆·期中）已知，对任意，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】构造函数，求导确定单调区间，即可求解.
【详解】解：由，
整理得：
因为，所以
即对任意，且，
不等式恒成立
设，则，即函数在区间上单调递减
所以在区间上恒成立
所以，即实数的取值范围为，
故选：D
20．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【分析】由在恒成立，参变分离求最值，即可求解.
【详解】由题意可得在恒成立，
即在恒成立，
易知在的最小值为1，
所以，
所以的最大值为1，
故选：B
21．（24-25高二下·广东深圳·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】求得，根据题意，转化为在区间上恒成立，令，求得，得到在上递增，得出，进而求得的取值范围,
【详解】由函数，可得，
因为函数在区间上单调递增，即在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，可得，
所以在上单调递增，所以，所以，
即实数的取值范围为.
故选：B．
【题型六： 导数和函数图象的关系 】
1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】根据函数的奇偶性排除BD，利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得解.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故排除BD；
当时，，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以函数在上单调递增，故排除C
故选：A.
2．（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）
A．当时，取得最小值B．在上单调递增
C．当时，取得极大值D．在上不具备单调性
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系
【分析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点和最值，进而确定正确选项.
【详解】由图可知，在区间上,单调递减；
在区间上,单调递增.
所以当时，取不到最小值，当时，取得极大值.
所以ABD选项错误，C选项正确.
故选：C.
3．（24-25高二下·重庆·期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．是函数的极大值点
D．是函数的极小值点
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值点的辨析
【分析】利用导数图象分析函数的单调性，结合极值点的定义判断即可.
【详解】对于A选项，当时，，故函数在区间上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，故函数在区间上单调递增，B对；
对于C选项，当时，，当时，，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，是函数的极小值点，C错；
对于D选项，函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，
故不是函数的极值点，D错.
故选：B.
4．（24-25高二下·天津滨海新·期中）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．当时，取极小值D．当时，取极大值
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系
【分析】利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，结合图象，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A，由图知，当时，的符号有正有负，
不是单调的函数，所以选项A错误，
对于选项B，由图知，当时，是增函数，所以选项B错误，
对于选项C，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，，
所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项C正确，
对于选项D，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，，
所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项D错误，
故选：C.
5．（24-25高二下·广东·阶段练习）设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）

A．和B．
C．和D．和
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数与导函数图象之间的关系
【分析】根据导数正负与单调性关系，结合图像逐个判断.
【详解】根据的图象可知，当时，，
当时，，
所以在内单调递减，在内单调递增，
故BCD错误，A正确.
故选：A.

【题型七：利用导数单调性求参数取值范围 】
1．（2025·云南·模拟预测）已知，，若不等式的解集中只含有两个正整数，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】利用导数研究函数的单调性以及最值，再利用分离参数化简不等式，构造函数作图，可得答案.
【详解】定义域为，，
令，再上，
在上单调递增，。
则存在，使得，即，
则在上，在上，
在上，在上，
在上单调递减，在上单调递增，
，
则等价于，，定义域为，
则，即，等价于，
令，则，
，解得，解得，
则当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
即的最大值在处取得，
令，解得，即函数与轴交于点，
作图象如下：
要使解集中只含有两个正整数，只能是2,3，
，解得，即.
故选：C.
2．（24-25高二下·河北·期中），，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】可先对不等式进行变形，然后构造函数，利用函数的单调性来求解的取值范围.
【详解】因为，不等式，可化为，
又，所以可化为.
当时，不等式恒成立，，
当时，
设，对求导，可得，
这表明在上单调递增.
由，即，
因为在上单调递增，
所以，由已知对恒成立.
设，对求导，可得.
令，即，则，解得.
当时，，，所以，单调递增；
当时，，，所以，单调递减.
所以在处取得最大值，.
因为对恒成立，所以，解得.
故选：A.
3．（2025高三·全国·专题练习）若当时，关于x的不等式恒成立，则满足条件的a的最小整数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】先由将原不等式同构变形为在上恒成立，接着借助在上恒成立得到，再借助得到在上恒成立即可求解.
【详解】当时，，
所以在上恒成立，
等价于在上恒成立，
等价于即在上恒成立，
令，则，
所以当时，当时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
因为，所以，所以即，
令，则，
则在上恒成立，
所以函数即在上单调递增，所以，
函数在上单调递增，所以，所以，
所以原不等式等价于即在上恒成立，
所以，所以满足条件的a的最小整数为1.
故选：A
4．（24-25高二下·重庆·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参）
【分析】根据题意可知导函数在上有正有负，通过讨论的取值范围结合二阶求导分析计算可得结果.
【详解】∵，∴.
∵，∴.
设，则.
当时，，在上单调递增，
∴，此时在上单调递增，不合题意.
当时，由得，由得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
当时，，当时，，
∵函数在上不单调，
∴，即，
∴，解得，即实数的取值范围为.
故选：D.
【题型八： 导数单调性的综合应用 】
1．（2025·广西·三模）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)对任意的，当时，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减．
(2)
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求出函数的定义域与导数，当时，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（2）设，分析可知函数在上为增函数，则在上恒成立，结合参变量分离法可得出，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：函数定义域为，.
当时，由得，由得.
此时函数的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为.
（2）由，化简为，
即.
令，
因为，则，所以函数在上单调递增，
故在上恒成立，即在上恒成立，
设，，在单调递增，
所以.
综上所述，实数的取值范围为.
2．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）已知函数（且）.
(1)当时，求的极小值点与极小值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个零点，（），且，证明：.
【答案】(1)是的极小值点，极小值为
(2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
(3)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）通过求导找到函数的极值点和极值；
（2）分类讨论，根据导数的正负来判断函数的单调性；
（3）依据（2）中的结论，可知证明即可，构造函数即可得出结论.
【详解】（1）当时，，其定义域为，
对求导，可得，
令，即，因为，所以，解得，
当时，，，，则，单调递减；
当时，，，，则，单调递增，
所以是的极小值点，极小值为.
（2）的定义域为．
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，；
当时，，所以单调递减；
在上，，所以单调递增；
综上所得，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明：当时，；
由（2）知，在上单调递减，在上单调递增；
由题意可得，
由及，得；
欲证，只要，
注意到在上单调递减，且，只要证明即可；
由，得；
所以
，
令，
则，
则在上是单调递增的，
因此，即；
综上，．
3．（2025·安徽滁州·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意和任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参）
【分析】（1）求出函数的导数，就、、分类讨论其符号后可得单调性；
（2）由（1）可得的最小值，令，求出的最大值后可得参数的取值范围.
【详解】（1）的定义域为，，
若，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
若，当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
若，当或时，，当时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增．
综上可知，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增．
（2）令，易知，由题意知，，
由（1）知，
又，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
故实数的取值范围为．
4．（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求在上的最大值．
【答案】(1)增区间为，减区间为
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参）
【分析】（1）由函数解析式明确定义域，求导，利用导数与函数单调性的关系，可得答案；
（2）由（1）所得函数单调性，利用分情况，可得答案.
【详解】（1）函数的定义域为，则．
因为时，由，可得，由，可得．
此时，函数的增区间为，减区间为．
综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为．
（2）当时，函数在上单调递减，
此时，；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，；
当时，函数在上单调递增，此时，．
综上所述：.
5．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求实数a的值；
(3)设不同正数m，n满足，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)1
(3)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究双变量问题、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）先对求导，得到.令为分子部分，求出零点.再根据正负，分析正负，进而确定正负，得出单调性.
（2）把值代入，将不等式变形.令为变形后式子，由且，可知是最大值点，所以，求出.再验证值满足条件.
（3）对已知等式取对数变形，令为变形后式子.根据单调性设.要证不等式，转化为证，令为对应式子，求导判断单调性证明.
【详解】（1）先确定定义域为，
对求导，则.
令，即，解得.
当时，在上，，即，所以在上单调递增；
在上，，即，所以在上单调递减.
当时，在上，，即，所以在上单调递减；
在上，，即，所以在上单调递增.
综上所得，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，.
因为恒成立，即恒成立，等价于恒成立.
令，.
对求导得.
因为恒成立且，所以是的最大值点，则.
，解得.
当时，，再令，对求导得，所以在上单调递减.
当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减.所以，满足条件，故.
（3）由得，两边取对数整理得，
令.则.
，在递增，递减，则
又，当，
不妨设，则.
记，，则，
在递增，则，即.
又
因为在递减，所以，则.
原命题得证.