（人教A版）高二数学下学期期中复习考点题型讲练 专题05离散型随机变量及其分布列（2份，原卷版+解析版）

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倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.离散型随机变量
知识点2.离散型随机变量的分布列
拓展1.离散型随机变量分布列性质的应用
拓展2.求离散型随机变量的分布列
突破1.离散型随机变量的函数的分布列的求法
【方法二】 实例探索法
题型1.随机变量的概念
题型2.离散型随机变量的判定
题型3.离散型随机变量的取值
题型4.离散型随机变量分布列的性质
题型5.离散型随机变量的分布列
题型6.两个相关随机变量的分布列
题型7.两点分布
【方法三】差异对比法
易错点1.对离散型随机变量的概念理解不清致误
易错点2.对题意理解不清
【方法四】 成果评定法
【知识导图】
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.离散型随机变量
一、 随机变量的概念、表示及特征
1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z.
3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：
(1)取值依赖于样本点．
(2)所有可能取值是明确的．
二、离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．
例1．单选题（2024·全国·高三专题练习）袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（ ）
A．取到的球的个数B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球D．至少取到一个红球的概率
知识点2.离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列及其性质
1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
2．分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
两点分布
如果P(A)＝p，则P(eq \x\t(A))＝1－p，那么X的分布列为
我们称X服从两点分布或0－1分布．
例2．（2024·全国·高三专题练习）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．
(1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；
(2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列．
拓展1.离散型随机变量分布列性质的应用
1．单选题（2024上·辽宁·高二校联考期末）设，随机变量的分布列为：
则（ ）
A．B．C．D．
拓展2.求离散型随机变量的分布列
2．（2024·湖南株洲·统考一模）品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为，并令，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分.
(1)当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列；
(2)当时，
①若等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算的概率；
②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由.
突破1.离散型随机变量的函数的分布列的求法
1．单选题（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则 （ ）
A．B．
C．D．
【方法二】实例探索法
题型1.随机变量的概念
1．（2023上·高二课时练习）连续不断地射击某一目标，首先击中目标需要的射击次数是一个随机变量，则表示的试验结果是 ．
题型2.离散型随机变量的判定
2．多选题（2023上·高二课时练习）（多选）给出下列四个命题正确的是（ ）
A．某次数学期中考试前，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量
B．黄河每年的最大流量是随机变量
C．某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量
D．方程根的个数是随机变量
题型3.离散型随机变量的取值
3．单选题（2023上·高二课时练习）随机变量ξ的分布列如下：
其中，则等于（ ）
A．B．
C．D．
题型4.离散型随机变量分布列的性质
4．（2024上·吉林·高二校联考期末）随机变量的分布列如下表所示：
则 .
题型5.离散型随机变量的分布列
5．（2023上·高二课时练习）已知随机变量ξ的分布列为：
若，则实数的值可以是（ ）
A．5B．7
C．9D．10
题型6.两个相关随机变量的分布列
6．（2023上·高二课时练习）设离散型随机变量X的分布列为：
求随机变量的分布列．
题型7.两点分布
7．（2024上·辽宁·高二校联考期末）已知服从参数为0.6的两点分布，则 .
【方法三】差异对比法
易错点1.对离散型随机变量的概念理解不清致误
1．单选题（2023上·高二课时练习）下列表中能称为随机变量X的分布列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．判断题
（2023上·高二课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）
（1）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )
（2）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．( )
（3）随机变量是用来表示不同试验结果的量．( )
（4）甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3.( )
易错点2.对题意理解不清
3．（2023上·辽宁·高三校联考开学考试）踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、1丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为；当乙接到毽子时，乙传给甲、丙、丁的概率分别为，，；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为，，；当丁接到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为，，.假设毽子一直没有掉地上，经过次传毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为，，，，已知.
(1)记丁在前2次传毽子中，接到毽子的次数为，求的分布列；
(2)证明为等比数列，并判断经过150次传毽子后甲接到毽子的概率与的大小.
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2021·高二课时练习）设是离散型随机变量，则下列不一定能成为的概率分布列的一组概率的是（ ）
A．0.1，0.2，0.2，0.3，0.3
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．，（为实数）
D．，，，，（，）
2．（2023下·上海金山·高二华东师范大学第三附属中学校考期末）设随机变量X的分布列，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
3．（2021·高二课时练习）一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为（ ）
A．6B．5C．4D．2
4．（2023下·高二课时练习）设随机变量X的概率分布列如下：则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023下·安徽宿州·高二安徽省泗县第二中学校考阶段练习）若随机变量的分布列如表，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023下·高二课时练习）若随机变量的概率分布如下：
则当时，实数x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2021·高二课时练习）设离散型随机变量X的分布列为
若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（ ）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
8．（2023上·高二课时练习）如果X是一个离散型随机变量，则假命题是（ ）
A．X取每一个可能值的概率都是非负数
B．X取所有可能值的概率之和为1
C．X取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
二、多选题
9．（2022上·高二课时练习）(多选题)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示的可能结果为（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局平两局
10．（2023下·山东潍坊·高二统考期中）围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则（ ）
A．乙连胜三场的概率是
B．
C．
D．的最大值是
11．（2023下·江苏常州·高二统考期中）“信息熵”是信息论中的一个重要概念，设随机变量X的所有可能取值为，且，，定义X的信息熵，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，
B．当且时，
C．若，则随着n的减小而减小
D．当时，随着的增大而减小
12．（2021·高二课时练习）下列变量中，不是离散型随机变量的是（ ）
A．到年月日止，我国被确诊的患新型冠状病毒肺炎的人数
B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高
C．某人在车站等出租车的时间
D．某人投篮次，可能投中的次数
三、填空题
13．（2023下·安徽滁州·高二安徽省定远中学校考阶段练习）已知病毒在某溶液中的存活个数的概率满足，已知只要该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡，则该溶液能够导致生物死亡的概率为 ．
14．（2023下·高二课时练习）若随机变量服从二点分布，，则 .
15．（2022下·山东烟台·高二统考期中）设随机变量的分布列为，（，2，3），则a的值为 .
16．（2022·高二课时练习）设随机变量的分布列如下：
其中，，…，构成等差数列，则的最大值为 .
四、解答题
17．一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，其中红球有个，编号为、、；黑球有个，编号为、；白球有个，编号为.现从袋中一次随机抽取个球.
（1）求取出的个球的颜色都不相同的概率；
（2）记取得号球的个数为随机变量，求随机变量的分布列.
18．（2024上·河南·高二校联考期末）学校羽毛球社团中的甲､乙､丙三名社员进行羽毛球比赛，约定如下：先从甲､乙､丙三人中随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，率先获胜两局者为优胜者，比赛结束，且每局比赛均无平局.已知甲贏乙的概率为0.3，乙贏丙的概率为0.5，丙赢甲的概率为0.7.
(1)若甲､乙二人率先开局比赛，求比赛局数的概率分布列；
(2)求甲成为优胜者的概率.
19．（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）某地要从2名男运动员､4名女运动员中随机选派3人外出比赛.
(1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？
(2)设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为，求的分布列.
20．（2024·全国·高三专题练习）北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表：
(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
(2)用分层抽样的方法，在考核成绩为的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在的学生数为X，求X的分布列．
21．（2023上·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响．
(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
(2)设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列．
22．（2023上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是.
(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；
(2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列X
0
1
P
1－p
p
5
8
9
1
2
3
4
0.1
0.3
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
X
－1
0
1
P
0.3
0.4
0.4
X
1
2
3
P
0.4
0.7
X
0
1
P
0.3
0.4
0.3
X
1
2
3
P
0.3
0.4
0.4
X
－1
0
1
2
P
1
2
3
4
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
1
2
3
4
5
6
P
成绩
人数
5
5
15
25
10