专题07 随机变量及其分布【专项训练】-高二数学下学期期末专项复习（新人教A版2019）

专题07 随机变量及其分布【专项训练】

一、单选题

1．若随机变量，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：因为随机变量，且，，

所以，解得，

故选：A

2．学校从高一､高二､高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为5､6､7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

设事件A为“30人中抽出一名女同学”，事件为“30人中抽出一名高三同学”，

则，，

所以，

故选：A.

3．已知离散型随机变量X的分布列为

则X的数学期望E(X)＝（    ）

A．1 B．1.5

C．2.5 D．1.7

【答案】D

【详解】

.

故选：D.

4．某次市教学质量检测，甲､乙､丙三科考试成绩服从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是（    ）

A．三科总体的标准差相同

B．甲､乙､丙三科的总体的平均数不相同

C．丙科总体的平均数最小

D．甲科总体的标准差最小

【答案】D

【详解】

解：由图象知甲､乙､丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙.

故选：D．

5．已知P(B|A)=，P(A)=，则P(AB)等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意，知

故选：C

6．随机变量X所有可能取值是－2，0，3，5，且P(X＝－2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝5)＝，则P(X＝0)的值为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【详解】

由各个变量概率和为1可得：P(X＝－2)＋P(X＝0)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝1，

所以，解得

故选：C

7．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为（    ）

A．1，2，3，…，6 B．1，2，3，…，7 C．0，1，2，…，5 D．1，2，…，5

【答案】B

【详解】

由于取到白球时停止，

所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；

最多次数是7次，即把所有的黑球取完之后再取到白球.

所以取球次数可以是1，2，3，…，7.

故选：B

8．若离散型随机变量，则和分别为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】B

【详解】

因为离散型随机变量，

所以，

.

9．设随机变量，若，则（    ）

A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7

【答案】C

【详解】

随机变量，对称轴为：

因为，所以，

根据对称性可得，

则.

故选：C.

10．设，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ）

A．

B．

C．函数在上单调递增

D．

【答案】D

【详解】

由正态分布密度曲线的性质得：X，Y的正态分布密度曲线分别关于直线对称，

对于A：由图象得，所以，故A不正确；

对于B：由图象得X的正态分布密度曲线较Y的正态分布密度曲线“廋高”，所以，所以，故B不正确；

对于C：由图象得：当时，函数在上单调递减，故C不正确；

对于D：根据原则：，，，无论 取何值时，有，故D正确，

故选：D.

二、多选题

11．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项正确的是（    ）

附：若随机变量X服从正态分布，则．

A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250

B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中

C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中

D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为0.3413

【答案】ABD

【详解】

对于A，因为红玫瑰日销售量范围在的概率是0.6826，

故即，故A正确.

对于B，因为，故红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故B对，C错.

白玫瑰日销售量范围在的概率约为，故D正确.

故选：ABD.

12．已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【详解】

正态密度曲线关于直线对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越瘦长.

因此，，.

13．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（    ）

A．目标恰好被命中一次的概率为

B．目标恰好被命中两次的概率为

C．目标被命中的概率为

D．目标被命中的概率为

【答案】BD

【详解】

甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，

在A中，目标恰好被命中一次的概率为，故A错误；

在B中，由相互独立事件概率乘法公式得：目标恰好被命中两次的概率为，故B正确；

在CD中，目标被命中的概率为，故C错误，D正确．

故选：BD．

14．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（    ）

A． B． C．X的期望 D．X的方差

【答案】ACD

【详解】

从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，

并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，

取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，

所以随机变量服从二项分布，故A正确；

，记其概率为，故B错误；

因为，所以的期望，故C正确；

因为，所以的方差，故D正确．

故选：ACD．

15．已知，，，则（    ）

A．曲线与轴围成的几何图形的面积小于1

B．函数图象关于直线对称

C．

D．函数在上单调递增

【答案】BC

【详解】

选项A.  曲线与轴围成的几何图形的面积等于1，  所以A不正确.

选项B. ,

所以，所以函数图象关于直线对称，所以选项B正确.

选项C. 因为

所以

所以选项C正确.

选项D. 由正态分布曲线可知，当越大时，其概率越小.

 即函数随的增大而减小，是减函数，所以选项D不正确.

故选：BC

三、解答题

16．设离散型随机变量的分布列为

求：（1）的分布列；

（2）求的值.

【详解】

由分布列的性质知：，解得

（1）由题意可知

，，

，

所以的分布列为：

（2）

17．为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立．

（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；

（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量表示这3台产品的获利，求的分布列及数学期望．

【详解】

（1）设事件表示“每台新型防雾霾产品不能销售”

事件表示“每台新型防雾霾产品能销售”

所以

所以

（2）根据（1）可知，

“每台新型防雾霾产品能销售”的概率为

“每台新型防雾霾产品不能销售”的概率为

所有的可能取值为：，，，

则

所以的分布列为

所以

则

18．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是.

（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；

（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.

【详解】

解：（1）比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为，

恰好打了6局，乙获胜的概率为，

所以比赛结束时恰好打了6局的概率为.

（2）X的可能取值为2，3，4，5，

，

，

，

.

所以X的分布列如下：

故.