专题02 利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论） (解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版） 学案

这是一份专题02 利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论） (解析版）-【高考数学之解题思路培养】（全国通用版） 学案，共15页。学案主要包含了必备秘籍，例题讲解，实战练习等内容，欢迎下载使用。
导数及其应用专题二：利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论）一、必备秘籍往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。二、例题讲解1．（2021·山东莱州一中高三开学考试）已知函数（其中为参数）.（1）求函数的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）求导可得，分和进行讨论即可；【详解】（1），，当时，，在上递增，当时，令，得，时，单调递减，时，单调递增；综上：时，在上递增，无减区间，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 感悟升华（核心秘籍） 本题导函数，讨论时，属于简单题  2．（2021·宁夏银川一中高三月考（文））已知函数（）（1）求函数的单调区间；【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，分和两种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间，【详解】（1）函数的定义域是，当时，对任意恒成立，所以，函数在区间单调递增；当时，由得，由，得，所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；综上：时，的单调增区间为，无单调减区间.时，的单调增区间为，单调减区间为.     感悟升华（核心秘籍） 本题导函数通分后，分子可因式分解；讨论时参考如下原则：①最高项系数含参数，讨论时从参数开始讨论；②因式分解后，两根大小不确定，从两根相等开始讨论；③因式分解后，判断根是否在定义域内；本题最高项系数为2，不考虑原则①，由于的两个根由于不在定义域内，所以本题只考虑是否在定义域，故讨论时可分类：，  3．（2021·广西高三开学考试（理））函数，（1）讨论的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调性.【详解】（1），①若，则，；单调递增；②若则，当，或时，，单调递增；当，，单调递减；【点睛】若函数的导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.     感悟升华（核心秘籍） 本题求导，由于不可因式分解，与上题有本质的区别；对于导函数为二次函数且不容易因式分解型的，推荐判别法：①求；②令，此种情况简单，直接写结论；③令，求出此时的两个根④判断是否在定义域内。本文由于定义域为，故不用判断是否在定义域内；一般情况考题都需要判定是否在定义域内。   三、实战练习1．（2021·全国高三月考）设函数，．(1)求的单调区间【答案】(1)答案见解析；【分析】(1)先对函数进行求导，构造函数再分，两种情况进行讨论，利用导数研究函数的单调性即可求解；【详解】(1)由题意可得的定义域为，．令，则．当时，当时，，函数单调递增；当时，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．2．（2021·浙江舟山中学高三月考）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；【答案】（1）当时，函数在递增；当时，函数在递增，递减，递增其中；【分析】（1）求，令可得，分别讨论和时，求不等式，的解集，即可求解；【详解】（1）定义域为，，令可得，当即时，对于恒成立，所以在上单调递增，当即时，由可得：，由可得：或，由可得：，所以在和上单调递增，在上单调递减，综上所述：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为和单调递减区间为.3．（2021·山东济宁一中）已知函数，．（1）求函数的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）对函数求导，进而讨论a的范围，最后得到函数的单调区间；【详解】（1）函数的定义域为，时，恒成立，函数在上单调递增；时，令，得．当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数．综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．4．（2021·仪征市精诚高级中学高三月考）已知函数．（1）讨论函数的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）求出函数导数，讨论的范围结合导数即可得出单调性；【详解】（1）当时，，所以在上单调递增；当时，令，得到，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．5．（2021·嘉峪关市第一中学高三模拟预测（理））已知函数，，.（1）求的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】(1)求出函数的导函数，按a分类解不等式、即得；【详解】(1)对函数求导得，，当时，，在上为增函数，当时，由，解得：，而在上单调递增，于是得当时，，在上为减函数，当时，，在上为增函数，所以，当时，的单调递增区间为，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；6．（2021·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数，．（1）试讨论函数的单调性；【答案】（1）当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．【分析】（1）求出导函数，设，对a分类讨论：当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．【详解】函数的定义域为.（1），设当时，因为函数图象的对称轴为，．所以当时，，，函数在上单调递减；当时，令．得，当时，，，当时，，．所以函数在上单调递减，在上单调递增．7．（2021·嘉峪关市第一中学高三三模（理））设函数，其中． （1）讨论的单调性； 【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）求导，当时，可得，为单调递减函数；当时，令，可得极值点，分别讨论在和上，的正负，可得的单调区间，即可得答案.【详解】（1） 当时，，在内单调递减.当时，由，有.此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增.综上：当时，在内单调递减，当时，在内单调递减，在单调递增.8．（2021·贵州省思南中学高三月考（文））设函数.（1）讨论函数的单调性；【答案】(1)函数的单调性见解析；【分析】(1)求出函数的定义域及导数，再分类讨论导数值为正、为负的x取值区间即得；【详解】(1)依题意，函数定义域为，，当时，，在上单调递增，当时，由得，当时，，当时，，于是得在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；9．（2021·河南（理））已知函数（，且）．（1）讨论函数的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；【分析】（1）求导得到，转化为二次函数的正负进行讨论，分，两种情况讨论，即得解；【详解】（1）函数的定义域为，，令，为二次函数，，①当时，，，所以，故在单调递增；②当时，，令，得，，显然，所以当，，所以，故单调递增；当时，，所以，单调递减．综上，当时，在单调递增，在上单调递减；当时，在单调递增．10．（2021·河南高三月考（文））已知函数（，且）.（1）讨论函数的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求导，令，然后由，讨论求解；【详解】（1）函数的定义域为，，令，为二次函数，，①当时，，，所以，故在单调递增；②当时，，令，得，，显然，所以当，，所以，单调递增；当时，，所以，单调递减.综上，当时， 在单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减.11．（2021·湖南高三模拟预测）设函数．（1）求函数的单调递增区间；【答案】（1）答案见解析；（2）存在符合题意的整数，其最小值为0．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；【详解】解：（1）函数的定义域为，函数的导数， 当时，在上单调递增，在上单调递减当时，在上单调递增．当时，在上单调递减，在上单调递增．综上可知，当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是．12．（2021·安徽高三月考（文））已知函数．（1）讨论的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．【分析】（1）求导函数，分类讨论确定的正负，得单调区间；【详解】解：（1）由题意，可得且①若，恒成立，则在上是增函数②，则所以当时，，当时，则在上是减函数，在上是增函数综上所述，若，在上是增函数若，在上是减函数，在上是增函数13．（2021·湖北武汉·高三月考）已知函数（1）讨论函数的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）求得，分，，和四种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；【详解】（1）由题意，函数的定义域为，且，①当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减；②当时，令，解得或，令，解得，所以在，上单调递增，在上单调递减；③当时，则，所以在上单调递增，④当时，令，解得或，令，解得，所以在，上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；14．（2021·双峰县第一中学高三开学考试）已知函数． （1）讨论的单调性；【答案】（1）当时，在R上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，讨论，和情况下，导数的正负，即可得到的单调性；【详解】（1）函数，求导    由，得，①当时，，在R上单调递增；②当时， 在有，故单调递增；在有，故单调递减；在有，故单调递增；③当时， 在有，故单调递增；在有，故单调递减；在有，故单调递增；综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；