暑假作业05 导数的概念及计算-【暑假作业】2025年高二数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

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作业05 导数的概念及计算
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一： 导数定义中的简单计算 】
1．（24-25高二下·吉林松原·期中）设函数，则（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值
【分析】利用导数的极限定义，将极限值化成，再对原函数求导代入即得.
【详解】由求导，可得：.
而，故.
故选：C.
2．（24-25高二下·广东珠海·期中）已知函数，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、特殊角的三角函数值
【分析】根据导数的极限定义，结合求导公式计算即得.
【详解】由可得，
则.
故选：B.
【题型二：瞬时变化率的概念及辨析 】
1．（山东省部分学校2024-2025学年高二下学期5月质量监测联合调考数学试题）已知半径为r的球的表面积为，当时，的瞬时变化率为（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】瞬时变化率的概念及辨析
【分析】求导代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，所以，
故当时，的瞬时变化率为．
故选：C
2．（24-25高二下·重庆·期中）已知火箭发射t秒后，其高度（单位：米）为，则火箭发射后第10秒时，火箭爬高的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数（导函数）概念辨析、基本初等函数的导数公式
【分析】求导即可求解.
【详解】由可得，
故，
故选：D
3．（24-25高二下·江苏苏州·期中）若函数，其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．在与处的瞬时增长率相同
B．在上不单调
C．可能为奇函数
D．
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】函数与导函数图象之间的关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、瞬时变化率的概念及辨析、函数奇偶性的应用
【分析】根据给定的导函数图象及性质，结合瞬时增长率、单调性判断AB；举例说明判断C；借助导数在上的单调性质确定在上的凹凸性判断D.
【详解】对于A，由函数的导函数为偶函数，得，
因此在与处的瞬时增长率相同，A正确；
对于B，当时，，因此在上单调递减，B错误；
对于C，函数的导函数符合给定图象，函数是奇函数，C正确；
对于D，当时，且函数在上单调递增，则函数在上为凹函数，
因此，即，D正确.
如图，在凹函数定义域内，观察图象得.
故选：ACD
【题型三：基本初等函数的导数公式 】
1．（24-25高二下·北京海淀·期中）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】基本初等函数的导数公式
【分析】利用基本初等函数的导数公式可逐项判断各选项中导数运算的正误.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
2．（24-25高二下·广西南宁·期中）下列求导正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数
【分析】根据基本函数的求导公式以及求导法则即可求解.
【详解】对于A, ,A错误，
对于B, ,B正确，
对于C, ,C错误，
对于D, ,D错误，
故选：B
3.（24-25高二下·广东东莞·期中）函数的导数等于（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】基本初等函数的导数公式
【分析】利用常见函数的导数可求.
【详解】，
故选：A.
4．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】基本初等函数的导数公式
【分析】利用基本初等函数的导数公式即可.
【详解】由基本初等函数的导数公式可得，.
故选：D
5．（24-25高二下·辽宁·期中）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】基本初等函数的导数公式
【分析】根据导数运算公式求导数，逐项判断即可.
【详解】因为，所以，A错误；
因为，，且，所以，B正确；
因为， 故C错误，
因为，D错误，
故选：B.
6．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式
【分析】根据导数的定义，结合基本初等函数的求导公式，即可求得答案.
【详解】由题意得，，
由于，则，故，
故，
故选：D
7．（24-25高二下·北京·期中）已知函数，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】基本初等函数的导数公式
【分析】由基本初等函数的导数公式计算可得.
【详解】由题意可得，
所以.
故选：C
8．（24-25高二下·上海浦东新·期中） .
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】导数（导函数）概念辨析、基本初等函数的导数公式
【分析】根据导数的定义求极限即可.
【详解】由.
故答案为：
9．（24-25高三下·上海·阶段练习）函数在处的切线斜率为 ．
【答案】/0.5
【难度】0.94
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】由，得，
则函数在处的切线斜率为.
故答案为：.
10．（24-25高二下·上海徐汇·期中）设函数，其中，则 ．
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】基本初等函数的导数公式
【分析】由基本初等函数的导数公式计算即可得答案.
【详解】因为，所以，则.
故答案为：.
11．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数，则 .
【答案】1
【难度】0.85
【知识点】基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值
【分析】由常见函数导数即可求解.
【详解】，
所以，
故答案为：1
12．（24-25高一下·上海·期中）函数的导数 ．
【答案】/
【难度】0.94
【知识点】基本初等函数的导数公式
【分析】根据基本初等函数的导数可求.
【详解】，
故答案为：
13．（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知，，则 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】导数（导函数）概念辨析、基本初等函数的导数公式、已知正（余）弦求余（正）弦
【分析】根据导数的定义，基本初等函数的导数公式可得，再根据同角三角函数的平方关系求值即可.
【详解】记，则，
由，可得，
所以.
故答案为：.
14．（24-25高二下·全国·课前预习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【难度】0.85
【知识点】基本初等函数的导数公式
【分析】利用求导公式逐个求解即可.
【详解】（1）因为，
所以．
（2）因为，
所以．
（3）因为，
所以．
（4）因为，
所以．
15．（23-24高二上·江苏·课前预习）求下列函数的导函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)．
(3)
(4)
【难度】0.85
【知识点】基本初等函数的导数公式
【分析】根据求导公式及导数的运算法则进行求导即可.
【详解】（1）.
（2）.
（3）因为，
所以.
（4）因为，
所以.
16．（23-24高二上·江苏·课前预习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【难度】0.94
【知识点】基本初等函数的导数公式
【分析】根据基本初等函数的求导公式求导即可.
【详解】（1）.
（2）.
（3），所以.
（4）.
（5）
所以.
17．（22-23高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8).
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【难度】0.94
【知识点】基本初等函数的导数公式
【分析】根据基本初等函数的导数公式求导即可.
【详解】（1），
.
（2）.
（3）.
（4），
.
（5），
.
（6）.
（7）.
（8）.
18．（22-23高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)
【难度】0.94
【知识点】基本初等函数的导数公式
【分析】根据基本初等函数的求导公式求导即可.
【详解】（1）
（2），
.
（3）.
（4）.
19．（24-25高二下·青海海南·期中）求下列函数的导数
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【难度】0.85
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的加减法、导数的乘除法
【分析】（1）利用基本初等函数求导公式和积的求导法则求解即可
（2）利用基本初等函数求导公式和求导法则求解即可
（3）利用基本初等函数求导公式和商的求导法则求解即可
（4）利用基本初等函数求导公式和求导法则求解即可
【详解】（1）（1）
（2）因为，
所以
（3）
（4）
20．（2025高二·全国·专题练习）分别求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.94
【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式
【分析】按求导公式和法则逐问求导即可.
【详解】（1）
（2）因为，所以．
（3）.
21．（24-25高二下·江西南昌·期中）求下列函数的导数.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】导数的加减法、导数的乘除法
【分析】（1）（2）根据题意结合导数的四则运算法则运算求解.
【详解】（1）由题意可得：.
（2）因为，
所以.
22．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）求下列函数的导数
(1)；
(2)
(3)
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【难度】0.65
【知识点】导数的乘除法、导数的加减法、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式
【分析】根据导数的四则运算法则结合基本初等函数的求导公式，求导即可.
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为，
所以；
（3）因为，
所以.
【题型四：导数的加减乘除法 】
1．（24-25高二下·北京朝阳·期中）函数的导数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的加减法、导数的乘除法
【分析】利用自然对数和常数求导即可求解.
【详解】求导得：，
故选：A.
2.（24-25高二下·福建·期中）已知函数，且，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】导数的加减法
【分析】通过函数求导代入即可求得参数值.
【详解】∵，∴，解得：.
故选：C.
3．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】导数的乘除法、求某点处的导数值
【分析】求出，代值计算可得出的值.
【详解】因为，则，故.
故选：B.
4．（2025高三·全国·专题练习）已知二次函数，设，若函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．，D．，
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数图象的应用、导数的乘除法
【分析】求出函数的导函数，利用导函数图象的特征，数形结合进行计算，即可得结果.
【详解】依题意，，则，
所以，
由题图知，得，即.
令，则，即，解得或，
由图可知，的另一个零点，即.
所以有，.
故选：D．
5．（24-25高二下·天津河北·阶段练习）已知函数，是函数的导函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数、导数的乘除法
【分析】根据求导公式和法则求出导函数，代入即可.
【详解】，所以，
故选：A.
6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的乘除法
【分析】利用导数的几何意义求出在P,Q两点处的切线斜率，即可得出是的两根，利用韦达定理即可得出的取值范围.
【详解】根据题意可知的定义域为，所以，
又，
由导数的几何意义可得切点为时，切线斜率为,
同理可得，点处切线斜率为；
又因为两条切线与直线平行，可得，即，
所以是关于方程的两根，
所以，即，又，可得；
所以，由，所以，
所以，
所以的取值范围是.
故选：D
7．（24-25高三上·北京·期末）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法
【分析】求出抛物线与直线相切时的斜率，由数形结合得解.
【详解】设直线与相切于点，
由，则，
所以切线方程为，又切线过，
所以，解得，
所以，作出及切线的图象，如图，

由图象可知，当时，成立.
故选：D
8．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且对于恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】导数的乘除法
【分析】够造函数，则求导后为常数1，所以，根据题意求出C,进而得到的解析式，进而求解.
【详解】令，
，
（C为常数），
，
，则，
，
，
，故A错；
，故B错；
，故C正确；
，故D错.
故选：C.
【题型五：导数的运算法则 】
1．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值
【分析】求导，令即可求解.
【详解】由，
求导得：，令，
得，
所以，
故选：D
2．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知函数，则（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值
【分析】利用求导，赋值，即可求出.
【详解】求导得，令，得，解得．
故选：B.
3．（24-25高二下·北京东城·期中）已知，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值
【分析】求导得，计算即可.
【详解】由，可得，
所以.
故选：D.
4．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求函数值、导数的运算法则
【分析】求导可得，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则，解得.
故选：D
5．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若是奇函数，且，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】导数的运算法则、由奇偶性求参数
【分析】先判断为偶函数，再根据函数方程组求得，根据导数关系可求参数的值.
【详解】因为为奇函数，故，故，
所以即为偶函数，故，
故，故，，
而，故，
故选：A.
6．（24-25高二下·山东德州·期中）已知是函数的导函数，且，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值
【分析】先求出导函数，再代入求出导函数值.
【详解】，所以，
所以
则.
故选：B.
7．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则
【分析】先对函数求导，再将代入导函数，进而求出的值.
【详解】因为，
所以，
所以，
因为，所以，
.
故选：D.
8．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知有两个极值点，且的导函数为，则关于的方程的不同实根个数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】导数的运算法则、求已知函数的极值、求函数零点或方程根的个数
【分析】依题意可得有两个不同的实数根，则问题转化为或的根，再分类讨论即可判断；
【详解】由题意可得，
由有两个极值点，则存在两个变号零点，
则，，
则由得或，
①若，结合，有存在个根；存在个根，
故关于的方程的不同实根个数为.
②若，结合，有存在个根；存在个根，
故关于的方程的不同实根个数为.
综上，关于的方程的不同实根个数为.
故选：D

9．（24-25高二下·河北·阶段练习）若函数，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求某点处的导数值、导数的运算法则
【分析】根据求导公式求出函数的导函数，然后将代入导函数中进行计算.
【详解】对于函数，求导.
将代入中.
所以.
故选：A.
10．（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数，则等于（ ）
A．0B．3C．4D．6
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值
【分析】对函数求导，再将代入导函数求出的值，最后将代入原函数求出的值.
【详解】对求导，可得.
将代入中，可得.解得.
将代入原函数中，得到.
再将代入中，可得.
故选：D.
【题型六：函数与导数图象之间的关系 】
1．（24-25高二下·北京东城·期中）已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则对于任意，，下列结论正确的是（ ）
A．B．是增函数
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】导数（导函数）概念辨析、函数与导函数图象之间的关系
【分析】根据导函数图象的特征判断原函数的单调性和凹凸性，可得的大致图象，即可逐一判断各选项.
【详解】由导函数的图象可知，导函数的图象在轴下方，即恒有，且其绝对值越来越小，
因此过函数图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，
即其图象下凸，且函数是减函数，故B错误；但无法判断的函数值符号，故A错误；
对于C，D，如图，设直线分别与的图象交于点，连接，
设直线交线段于点，交函数的图象于点，则，
由图可知，即，故D正确， C错误.
故选：D.
【题型七：导数中极限的简单计算 】
1．（2025·江苏盐城·三模）若，则（ ）
A．0B．2C．－2D．－4
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数
【分析】根据复合函数导数及极限求解导数的定义即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
则.
故选：C.
2．（2025·上海·模拟预测）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球．若第一局中甲先摸球，记第n局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（ ）
①；
②．
A．①②都是真命题B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题D．①②都是假命题
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】判断命题的真假、导数定义中极限的简单计算、求等比数列前n项和、独立事件的乘法公式
【分析】分别计算在第一局中：摸1次、摸3次、…，摸次甲获胜概率，利用等比数列前项和公式求和，再求极限即可求；根据第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球即可求得.
【详解】第一局：摸一次甲获胜概率为，摸3次甲获胜概率为，
摸5次甲获胜概率为，…,
摸甲获胜概率为，
所以，
所以，①正确；
第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球，
则，②正确；
故选：A.
3．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求某点处的导数值、基本初等函数的导数公式、导数定义中极限的简单计算
【分析】求出的导函数，，
代入求解即可.
【详解】由题，
，
故选：A.
4．（24-25高二下·北京·阶段练习）下列命题正确的有（ ）
A．已知函数在上可导，若，则
B．已知函数，若，则
C．
D．设函数的导函数为，且，则
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】导数定义中极限的简单计算、导数的运算法则、简单复合函数的导数、导数的乘除法
【分析】对于A，根据导数的定义结合分析判断即可，对于B，先求出导函数，再由解方程求解判断，对于C，利用导数的运算法则求解判断，对于D，先求出，然后令，可求出进行判断.
【详解】对于A，因为函数在上可导，且，
所以，所以A错误，
对于B，由，得，则由，得，解得，所以B错误，
对于C，，所以C错误，
对于D，由，得，
所以，解得，所以D正确.
故选：D
【题型八：求某点处的导数值 】
1．（24-25高二下·山东·阶段练习）已知函数，则 .
【答案】11
【难度】0.85
【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值
【分析】先求出导函数，再代入计算求值.
【详解】因为，所以，所以.
故答案为：11.
2．（24-25高二下·广东佛山·期中）设函数是函数的导函数，且满足，则 ．
【答案】1
【难度】0.85
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值
【分析】先求导，令即可求解.
【详解】由，得，令，得．
故答案为：1.
3.（24-25高二下·吉林长春·期中）已知函数，则 ．
【答案】6
【难度】0.85
【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值
【分析】先求导，令，得，进而可求解.
【详解】由，
可得：，
令，可得，
所以，
所以，
故答案为：6
4．（24-25高二下·河北石家庄·期中）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为 m/s．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数的加减法、求某点处的导数值
【分析】利用导数的定义来求瞬时速度即可求解.
【详解】因为，所以，
令，得，
即该运动员在时的瞬时速度为．
故答案为：.
5．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知（是的导函数），则（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求函数值、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值
【分析】对求导，再令，可得出关于的等式，即可求出，然后将代到，即可解得.
【详解】因为，则，
所以，，解得
所以.
故选：C.
6．（23-24高二下·江西抚州·期中）函数在上的平均变化率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】平均变化率、简单复合函数的导数、求某点处的导数值
【分析】首先求平均变化率，再根据导数公式，即可求解.
【详解】在[1，2]上的平均变化率为，
.
故选：D
7．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，若，则的值为（ ）
A．3B．22C．43D．45
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】简单复合函数的导数、导数的乘除法、由项的系数确定参数、两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】先由二项展开式的通项求出的系数构成，然后等式两边对求导数后再令可得.
【详解】已知，
而.
.
等式两边对求导数可得，，
再令，可得，即.
故选：C
8．（2025·云南昆明·一模）已知函数，曲线在，两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为，两切线分别交轴于，两点，设△面积为，若恒成立，则的最小值为 ．
【答案】1
【难度】0.65
【知识点】分段函数的性质及应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本不等式求和的最小值、求某点处的导数值
【分析】先根据已知条件求出，进而得到，再求出，根据的范围得出的范围，最后根据恒成立求出的最小值.
【详解】由函数，设，，.
对求导得，所以在点处切线.
对求导得，所以在点处切线.
因为切线垂直，则，所以.
此时，因为，即，所以，，于是.
由，因为，，则，
解得. 因为，
又，根据基本不等式，所以.
由恒成立，则.则的最小值为1.
故答案为：1.
9．（2024·全国·模拟预测）已知三次函数有三个零点，则的值是 .（是的导函数）
【答案】0
【难度】0.65
【知识点】导数的乘除法、求某点处的导数值
【分析】根据题意设出的解析式，再利用导数求得，代入所求通分即可得解.
【详解】依题意，设，其中互不相等，
则，
故，，
，
所以
.
故答案为：0.
10．（23-24高二下·吉林·期中）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、求某点处的导数值
【分析】求出函数的导数，并求出的值，再利用导数的几何意义求出切线方程.
【详解】由，求导得，则，
解得，于是，，
所以所求切线方程为，即.
故答案为：
11．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，则的值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值
【分析】先求出的值，进而求出即可.
【详解】由题意知：，所以，
所以，所以，
所以.
故答案为:.
12．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值
【分析】左右两侧同时求导得到，求出原函数后再求即可.
【详解】由题意知，令，
得，解得，
所以，
所以.
故答案为：
【题型九：简单复合函数的导数 】
1．（24-25高二下·河南·阶段练习）设为坐标原点，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．e
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】简单复合函数的导数、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】设点，则,利用导数判断函数的单调性，求出的最小值即可得解.
【详解】设点，则，
记为，
令
因为，
且函数在R上单调递增，
因此是方程的唯一解，
所以，当时，在上递增；
当时，在上递减；
当时， ，
，
故选：B.
2．（24-25高二下·江苏无锡·期中）函数在处的导数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求某点处的导数值、简单复合函数的导数
【分析】先求导，然后将代入导函数即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
所以函数在处的导数为.
故选：.
3．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.85
【知识点】导数的运算法则、导数的乘除法
【分析】（1）（2）（3）利用求导公式及导数的运算法则求出导数.
【详解】（1）.
（2）
.
（3），则.
4．（24-25高二下·青海海南·期中）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【难度】0.85
【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式、导数的乘除法
【分析】利用导数的运算规则和复合函数求导方法可得答案.
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
（3）因为，所以.
（4）因为，所以.
5．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【难度】0.85
【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数
【分析】由基本初等函数的导数公式结合导数的依次运算可得.
【详解】（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）．
（5）．

【题型十：导数计算在数列中的应用 】
1．（2025高三·全国·专题练习）在等比数列中，，若函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】导数的运算法则、等比数列下标和性质及应用、求某点处的导数值
【分析】设,则，可得，而，利用等比数列的项的性质即可求得.
【详解】设，
则，，
所以，.
因为是等比数列，且，，
于是，
故，
所以，.
故选：A.
【题型十一：导数计算在二项展开式中的应用 】
1.（2024·陕西汉中·二模）已知，则（ ）
A．32B．48C．16D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】简单复合函数的导数、导数的乘除法、二项展开式各项的系数和
【分析】对题中等式两边同时求导，令，即可得结果.
【详解】因为，
两边同时求导可得：，
令，可得.
故选：D.
2．（24-25高二下·河北·期中）若，则 ， ．
【答案】 1
【难度】0.65
【知识点】简单复合函数的导数、二项展开式各项的系数和
【分析】求导，结合赋值法即可求解.
【详解】令，得．
设，
则，
则．
故答案为：1；.
3．（24-25高二上·四川眉山·期中）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如图所示：
如上图，杨辉三角第行的个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如下图：
在这个新的三角数阵中，第行的第个数为 ；第行的所有数的和为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】导数的加减法、导数的乘除法、杨辉三角、二项展开式的应用
【分析】由杨辉三角及二项式系数得出新的三角数阵中第行的第个数为；从而得到新的三角数阵中第行的和为：，令，，两边求导得，再通过赋值，即可求解.
【详解】由题可得杨辉三角中第行的第个数为，
则新的三角数阵中第行的第个数为，故第10行的第3个数为，
新的三角数阵中第行的和为：，
设，，
两边求导得，，
令得，，
所以新的三角数阵中第行的和为.
故答案为：90，．
【题型十二：导数在抽象函数中的应用 】
1．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数与的定义域均为，且与均为奇函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C．D．
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、求某点处的导数值
【分析】由题意有，得，令得，即可求解，对求导有即可判断B，由为偶函数，即可得的周期为2即可判断CD.
【详解】因为与均为奇函数，所以，
，即，
令有：，
由，
所以，故A正确；
对求导有，
即的图象关于直线对称，故B正确；
由，
对求导有，即为偶函数，
即得，
所以的周期为2，所以，故C正确；
因为的周期为2，所以，
所以，故D错误.
故选：ABC
2．（24-25高三上·河南·期中）已知定义在上的函数满足：不恒为0，为的导函数，则（ ）
A．B．为偶函数
C．D．
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、简单复合函数的导数、求某点处的导数值
【分析】根据即可求解A，利用即可求解B，根据即可求导即可求解CD.
【详解】因为，
令，得，因为不恒为0，所以，故A正确；
令，得，所以，故为偶函数，故B正确；
由，得，令，得，故C正确；
令，得，所以，故D错误.
故选：ABC.
3．（24-25高三上·湖北武汉·期中）设函数，，的导数为，则（ ）
A．
B．当时，
C．曲线在点处的切线方程为
D．当时，
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、求某点处的导数值
【分析】求出的导数即可判断A、B，表示出，利用导数的几何意义求出切线方程，即可判断C，利用作差法判断D.
【详解】对于A：因为，所以，则，故A正确；
对于B：因为，即，解得，故B错误；
因为，
则，所以，
则在点处的切线方程为，即，故C正确；
当时，，
令，因为与均在上单调递增，
则在上单调递增，且，，
所以存在使得，所以当时，当时，
所以，
所以当时，
所以，
当时，
所以，
综上可得当时，，故D正确.
故选：ACD
4．（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（ ）
A．
B．是偶函数
C．
D．若，则
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求幂函数的解析式、由函数奇偶性解不等式、求某点处的导数值
【分析】利用待定系数法可得，可判断A，B；求导可得代入计算得C；利用幂函数单调性以及偶函数性质解不等式得D.
【详解】设幂函数，代入点可得，解得；
所以，因此函数的定义域为，不存在，A错误；
易知，因此是偶函数，即B正确；
由可得，所以，即C正确；
由幂函数性质可得在上单调递减，又是偶函数,
所以不等式转化为，且；
整理可得，解得且；
即不等式的解集为，即D正确.
故选：BCD
5．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和、求某点处的导数值
【分析】对于AB，利用赋值法求得，,再根据中心对称的定义判断即可；
对CD，利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得．
【详解】对于A，令，则有，即，
令，则有，所以，
所以函数不关于中心对称，故A错误B正确；
对于C，令，则有,即，
则,
，故C正确；
对于D，令，则有,即，则，即，又，
令,，则有，
所以数列是等差数列，首项为，公差为1，
所以，
即，
则，故D错误．
故选：BC．
6．（23-24高二下·河北张家口·期末）已知函数（均为常数且）的导函数满足，且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．是的极值点D．不等式的解集为
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】导数的运算法则、函数单调性、极值与最值的综合应用、求某点处的导数值、求已知函数的极值点
【分析】结合题意计算即可得、、，从而可得，即可得A、B；结合可得函数单调性，即可得C；解出不等式即可得D.
【详解】由，则，又，
故，又，即，
即有，解得，
即，，则，故A、B正确；
对C：由恒成立，故单调递增，故无极值点，故C错误；
对D：即为，即，解得，故D正确.
故选：ABD.
7．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知函数的导函数为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的单调递增区间为D．有两个零点
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、求某点处的导数值
【分析】直接对原函数求导，代入即可求得则A、B可验证；结合A的解析可得，，结合导数在上的正负性可判断C；由导数可得原函数的图象先增后减，且最大值小于0，由此可验证D.
【详解】由题意，得，
令，则，解得，A错误；
把代入，
得，
所以，B正确；
．
由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最大值.
又，
所以无零点，C正确，D错误．
故选：BC．
8．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数，其导函数记为，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、简单复合函数的导数、导数的运算法则
【分析】化简，令，判断该函数的奇偶性，结合奇偶性以及，求得，根据复合函数求导法则得，进而得，即，即可得解.
【详解】因为，
令，则，
又因为，所以函数为奇函数，
所以，所以；
因为，所以，即，
又，所以，所以，
所以．
故选：D
9.（2025·重庆·三模）设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（ ）
A．关于对称B．关于对称
C．关于对称D．关于对称
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断或证明函数的对称性、简单复合函数的导数、函数奇偶性的应用
【分析】由题意得，求导得，即可求解.
【详解】因为是奇函数，所以，即，
对其求导，则有，所以关于直线对称.
故选：B
【点睛】结论点睛：本题考查对称性，一般根据以下结论进行判断：
（1）对于，若，则函数周期为；
（2）对于，若，则函数关于直线对称；
（3）对于，若，则函数关于点对称.
10．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义域为R，是的导函数，，对任意的x都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、简单复合函数的导数
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，进而求出不等式的解集.
【详解】令函数，则，，
函数在R上单调递增，不等式，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A
11．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，，是其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、简单复合函数的导数
【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解.
【详解】令，则，所以在上单调递增．
又不等式，等价于，
即，所以，所以不等式的解集为．
故选：A
12．（24-25高二下·天津滨海新·期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、由函数在区间上的单调性求参数
【分析】求出导函数，检验时的情况；当时，令，只需或.代入求解不等式，即可得出答案.
【详解】由已知可得定义域为，
当时，解可得，不满足定义域；
当时，令，
要使函数在区间内存在单调递减区间，
只需满足或.
由可得，，此时有；
由可得，，此时有.
所以，.
综上所述，.
故选：A.
13．（2025高三·全国·专题练习）若是函数的导函数，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则
【分析】等式两侧同时求导，令，结合原等式得到关于与的方程组，解方程组求出与的值.把的值代回原等式，可确定的表达式，进而得到结果.
【详解】对求导，得，
令，得，所以．
在中，令，得，
联立，解得，
所以，得，故，
所以．
故选：C．
【题型十三：导数新定义 】
1．（23-24高二下·北京通州·期中）函数，其中，是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数，对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：.利用这一方法，的近似代替值（ ）
A．一定大于B．一定小于
C．等于D．与的大小关系不确定
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求某点处的导数值、导数新定义
【分析】根据题意可构造函数，利用求近似代替值的方法即可得近似代替值一定大于.
【详解】令函数，则；
根据题意可得；
又因为，
因此近似代替值，近似代替值一定大于.
故选：A
2．（22-23高二下·河南郑州·期末）计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的. “泰勒展开式”的内容为：如果函数在含有的某个开区间内可以进行多次求导数运算，则当时，有，其中是的导数，是的导数，是的导数，…. 取，则精确到的近似值为（ ）
A．0.82B．0.84C．0.86D．0.88
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值、导数新定义
【分析】根据泰勒展开式，化简得到，求得的“泰勒展开式”，令，代入上式，进而求得的近似值．
【详解】根据题意，，
取时，可得，
则
，
令，代入上式可得，
所以．
故选：B
3．（2025·江苏·三模）已知函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”.则函数在区间上的“中值点”的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】导数的加减法、导数新定义
【分析】求导，解方程，即可得出结论.
【详解】因为，则，且，，
由题意可得，可得，解得，
因此，函数在区间上的“中值点”的个数为.
故选：C.