暑假作业03 既非等差又非等比数列的通项公式-【暑假作业】2025年高二数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

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作业03 既非等比又非等差数列的通项公式
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一： 由递推关系求数列通项 】
1．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为
2．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为 ．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，若，则 ．
【题型二：已知Sn和an关系求通项 】
1.（24-25高二下·上海·阶段练习）已知数列 满足 ，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025高三·全国·专题练习）设为数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·甘肃金昌·模拟预测）记数列的前n项和为，已知，且，数列满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)记的前n项和为，证明：．
4．（23-24高二上·广东潮州·期末）数列的前项和为，且，在等差数列中，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
5．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，则 .
6．（24-25高二下·四川资阳·期中）知数列的前项和为，，，当时，总有，则数列的通项公式 ．
7．（24-25高二下·海南海口·期中）已知等差数列满足，.数列的首项，前项和为且满足.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
8.（24-25高二下·河南·阶段练习）已知在正项数列中，为其前项和，且，是与的等差中项．
(1)求，的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，为数列的前项和，证明：．
9．（2025·宁夏银川·三模）记数列的前n项和为，已知，.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前n项和.
10．（2025·甘肃白银·模拟预测）记数列的前n项和为，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和；
(3)记，求数列的前n项和．
11．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，，，，…，，…成等比数列，求的前项和.
12．（2025·海南·模拟预测）记数列的前项和为，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
13．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，证明：数列为等比数列．
14．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列的前项和为，且.
(1)证明: 为等比数列
(2)求数列的通项公式
(3)求数列的前 项和
15．（2025·江苏南京·一模）已知数列的前项和满足为常数，且.
(1)求的值；
(2)证明：为等差数列；
(3)若，求的取值范围.
16．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知数列的前n项和为，，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
17．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）记数列的前n项和为，已知，.
(1)求的通项公式.
(2)若数列满足，其前n项和为.
（ⅰ）求；
（ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【题型三：向前递减一项递推求数列通项 】
1．（2025·河北秦皇岛·三模）已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若，则 .
2．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的通项公式；
(3)在（2）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
3．（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）（1）在数列中，若，求；
（2）已知数列满足，求数列的通项公式.
4．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列和满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和.
5．（24-25高二下·湖北·期中）等差数列的前n项和为，数列满足
(1)求数列和的通项公式；
(2)若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和．
6.（2024高三下·四川内江·专题练习）数列为正项数列，为数列的前项和，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高二下·江西九江·阶段练习）已知数列满足，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知数列满足
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求.
9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
10．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列对于任意都有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列前项和为，求．
【题型四： 累加法 】
1．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）若数列满足（，且），，则 .
2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式及数列的前项和．
(2)是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由．
3．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足，，且．
(1)求，；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，其前n项和为，求数列的通项公式．
4．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知数列满足，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（ ）
A．403B．404C．405D．406
5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数列满足，且，则等于（ ）
A．19B．20C．21D．22
6．（24-25高二下·湖北·期中）已知数列的前项和为，且
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【题型五：通过加减等比数列构造等比数列求通项 】
1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【题型六：方程组法求通项 】
1．（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列满足．
(1)记，证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，数列的前项和，求证：．
2．（2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有.
(1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，求的前n项和.
3．（2025·江苏苏州·三模）已知数列的前项和为，．
(1)求；
(2)求．
4．（2025·河南·模拟预测）已知数列满足．
(1)若，求的值．
(2)若，证明：．
(3)若，设，证明：
【题型七： 同除构造等差数列 】
1．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，证明：数列为等比数列．
2．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，试求的通项公式．
3.（24-25高三下·河南信阳·阶段练习）已知数列的前n项和为，，.
(1)求证：数列是等差数列.
(2)设，数列的前n项和为，求.
4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列的前项和为，，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理由．
5．（24-25高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，且
(1)求，并证明数列是等差数列；
(2)求数列的前项和为
(3)若，求正整数的所有取值．
6．（2025·福建龙岩·二模）已知数列的前项和为，且满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
7.（24-25高二下·广东深圳·期中）已知数列满足，．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)是否存在正整数m、n （m