暑假作业02 等比数列（18题型）-【暑假作业】2025年高二数学暑假培优练试题（含答案）（人教A版2019）

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作业02 等比数列
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
【题型一：等比数列的定义 】
1．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列满足，则的前5项的乘积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列的定义
【分析】根据条件可得数列是等比数列，利用等比数列的通项公式可得结果.
【详解】由得，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴，
∴的前5项的乘积为．
故选：C．
2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，则“为正项等比数列”是“为等差数列”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】充要条件的证明、判断等差数列、等比数列的定义
【分析】结合等差数列与等比数列的定义检验充分及必要性即可判断.
【详解】因为，则，
若为正项等比数列，则，
所以为常数，即为等差数列，充分性成立；
若为等差数列，则，
所以，即为正项等比数列，即必要性成立．
故选：A.
3．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）设数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．是等比数列
B．成等差数列，公差为
C．当且仅当时，取得最大值
D．时，的最大值为33
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断等差数列、求等差数列前n项和的最值、等比数列的定义、利用an与sn关系求通项或项
【分析】由题意可得数列是以为公差，32为首项的等差数列，求出，然后利用可求出，再逐个分析判断即可.
【详解】因为，
所以数列是以为公差，32为首项的等差数列，
所以，所以，
所以当时，，
所以，
因为，所以，
对于A，因为，
所以是以为公差的等差数列，所以A错误，
对于B，因为，所以，
所以，
因为，
所以成等差数列，公差为，所以B错误，
对于C，，对称轴为，
因为，所以当或时，取得最大值，所以C错误，
对于D，由，得，且，所以的最大值为33，所以D正确，
故选：D
【题型二：等比数列下标和性质及应用 】
1．（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】确定等比中项、等比数列下标和性质及应用
【分析】根据韦达定理可得，利用等比数列的等比中项性质即可求解.
【详解】由题得，根据韦达定理可得，，则，
由等比数列的等比中项性质可得：.
因为等比数列的偶数项符号相同，都是负数，设公比为q，则,
所以.
故选：B.
2．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）设等比数列的公比为q，若，则下列正确的是（ ）
A． B．和的等比中项为
C．当时，D．
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】确定等比中项、等比中项的应用、等比数列下标和性质及应用、基本不等式求和的最小值
【分析】由等比中项的性质可得A正确；由题意可得B错误；由等比数列的性质可得C正确；由等比中项结合基本不等式可得D正确.
【详解】对于A，由题意可得，故A正确；
对于B，和的等比中项为，根据题意无法得知其值，故B错误；
对于C，当时，由等比数列的性质可得，故C正确；
对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：ACD
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知等比数列前3项的积为27，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用
【分析】根据等比数列的性质可得，即可根据基本不等式求解.
【详解】设等比数列的公比为，已知前项的积为，即.
因为，所以，解得.
所以，.
所以 .
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故选：D
4．（24-25高二下·北京西城·期中）如果，a，b，c，成等比数列，那么（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】等比中项的应用、等比数列下标和性质及应用
【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求解.
【详解】依题意，，，得，
所以.
故选：B
5．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列是公比为的等比数列，且，若，则（ ）
A．4046B．4045
C．2024D．2023
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和
【分析】由题可得，利用等比数列性质可得，继而可计算.
【详解】由题可得，
又数列为等比数列，且，所以，
即，
所以，
故选：A
6．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】对数的运算、等比数列下标和性质及应用
【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合对数运算求得答案.
【详解】由和是方程的两个根，得，
又数列为各项均为正数的等比数列，则，
所以.
故选：B
【题型三：等比中项的应用 】
1．（山东省聊城市2025届高考模拟试题（三）数学试题）记为公差不为0的等差数列的前项和，若，，，成等比数列，则（ ）
A．0B．6C．12D．18
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用
【分析】由等差数列的性质可得，再由等比中项的性质可得，结合等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果.
【详解】设等差数列的公差为，
由可得，即，
又，，成等比数列，所以，即，
化简可得，解得或（舍），
则，所以，
则.
故选：C
2．（24-25高二下·山东潍坊·阶段练习）在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（ ）
A．B．C．4D．4
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】根据等比数列的通项公式求出与的值，再求出与的等比中项.
【详解】因为等比数列中，各项均为正数，且，，
所以，，所以与的等比中项为.
故选：B.
3．（2025·广东清远·二模）已知等差数列的前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（ ）
A．11B．13C．19D．17
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用
【分析】利用等差数列的性质由等差数列的求和公式和等差中项可得，再由等比中项可得，两式联立可得和，然后求出数列的通项可得.
【详解】，即，
又因为，，成等比数列，则，
即，整理可得，
再与联立可得，，
所以，，
故选：C．
4．（2025·四川成都·三模）已知等差数列的前项和为，且，若，，成等比数列，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用
【分析】由题意首先求得数列的，再结合等比中项即可求解.
【详解】根据题意，设等差数列公差为d，
则，
又，
所以，
即，
若，，成等比数列，则，
则，
即
解得：
故选：C
5．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若，，，，构成等差数列，公差，，且其中三项构成等比数列，设，，则下列说法正确的是（ ）
A．k一定大于0B．，，可能构成等比数列
C．若，，则为5的倍数D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用
【分析】特殊值法判断A，根据等差数列通项公式计算求解结合已知判断B，应用等差数列求和公式计算判断C，D.
【详解】A. 取，则，，为等比数列，，故A错误.
B. ，与公差，矛盾，故B错误.
C. 为5的倍数，故C正确.
D. ，故D错误.
故选：C.
6．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）“ ” 是 “ 是等比数列”的（ ）条件
A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等比中项的应用、既不充分也不必要条件
【分析】举反例可得充分性不成立，由等比中项可得必要性不成立.
【详解】若，则，但 不是等比数列，充分性不成立；
若 是等比数列，则，则，必要性不成立，
所以“ ” 是 “ 是等比数列”的既非充分又非必要条件.
故选：D
7．（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（ ）
A．B．C．505D．1013
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、分组（并项）法求和
【分析】根据成等比数列，结合等差数列的通项公式可得，进而得到，，进而求和即可.
【详解】设首项为，因为成等比数列，
所以，则，
解得或，当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除，
当时，，此时令，
而其前2025项和为，
.
故选：D
【题型四：等比数列基本量的计算 】
1．（2025·四川宜宾·三模）设为等差数列的前项和.若，且成等比数列，则 .
【答案】3或
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、等比中项的应用
【分析】由等比中项及等差数列前项和性质，列出等式求解即可.
【详解】由，可得，
即，即，
又成等比数列，
可得：，联立，消去，
可得：，可得：或，
当时，，易得，
当时，，可得，
所以3或，
故答案为：3或
2．（24-25高二下·江西新余·阶段练习）已知数列为等比数列，若，是方程的两个不相等的实数根，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】等比中项的应用
【分析】根据韦达定理得到，再根据等比中项求得的值.
【详解】因为，是方程的两个不相等的实数根，
由韦达定理得，
因为是的等差中项，所以，所以.
故答案为：.
3．（24-25高二下·北京·期中）已知等差数列满足：，且成等比数列，数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式，前n项和；
(2)是否存在正整数n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)存在，n＝41
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用
【分析】（1）由已知列式求解公差，可得数列的通项公式及前n项和；
（2）把Sn分类代入，求解得答案．
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由，且成等比数列，
得，解得或，
当时，，；
当时，，．
（2）当时，，此时不存在正整数n，使得成立；
当时，由，得，解得或．
此时存在正整数，使得成立．
4．（24-25高二下·新疆喀什·期中）已知数列是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
【答案】(1)
(2)．
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、裂项相消法求和
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等比中项的性质得到方程，解得，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，
所以．
即，
即又，且，解得
所以．
（2）由（1）知：
则，
即．
5．（23-24高二下·贵州黔西·期中）在等比数列中，，又，则（ ）
A．3B．－3C．2D．－2
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】由等比数列的性质可得，进而可求得公比，可求.
【详解】设数列的公比为q，由，可得，故，
又，所以，故，所以．
故选：C.
6．（24-25高二下·四川成都·期中）设数列为等比数列，，，则（ ）
A．B．3C．6D．9
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】设数列公比为，根据题设列方程求出的值，再利用等比数列通项的基本量运算即得答案.
【详解】设等比数列的公比为，由，解得，
则.
故选：D.
7．（24-25高二下·辽宁·期中）已知等比数列，且，，，则（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】根据等比数列的性质，即可求解.
【详解】由条件可知，，且，，
所以，.
故选：A
8．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知是无穷等比数列，则“”，是“对，均有”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】充要条件的证明、等比数列通项公式的基本量计算、作差法比较代数式的大小
【分析】首先由，可推得.进而可得出，或者，，分别验证可得成立；反过来，由，可得出，或者，，分别验证可得，即可得出答案.
【详解】设公比为，显然，且.
（1）由可得，，
显然有与符号相同，则.
①若，则有，解得，
此时.
因为，所以，又，所以，所以；
②若，则有，解得.
又，所以，
此时.
因为，所以，又，所以，所以.
（2）因为，所以.
因为是常数，所以符号恒定，所以.
①若，则，所以，，显然此时有成立；
②若，则，此时有，所以，，此时有成立.
综上所述，“存在，使得，”是“对任意，均有”的充分必要条件.
故选：C.
9．（2025·湖北·模拟预测）已知公差不为0的等差数列，其前n项和为．若满足，且成等比数列，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】利用等差数列公式来求解通项，并求出前项和，即可判断选项.
【详解】设等差数列的公差为d，由成等比数列知，
即，解得或（舍去），
故．
由得，
故选:B．
10．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ）
A．B．C．16D．9
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】设正项等比数列的公比为，根据等差中项的性质得到方程，求出，再根据等比数列通项公式计算可得.
【详解】设正项等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，
所以，则，
即，解得（舍去）或，
所以.
故选：C.
11．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知等比数列的前3项和是7，前3项积是8，则的公比为（ ）
A．2B．C．2或D．2或
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用
【分析】根据等比数列的性质求出，根据等比数列通项列方程求解即可.
【详解】由题意得，，
又
设公比为，则，解得或.
故选：C.
12．（24-25高二下·辽宁·期中）在等比数列中，若，，则（ ）
A．16B．32C．64D．256
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】设等比数列的公比为，由求得，根据等比数列基本量运算进而求得答案.
【详解】设等比数列的公比为，
所以，又，
.
故选：D.
13．（24-25高二下·福建·期中）在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】设等比数列的公比为，则，由，，成等差数列得出，结合得出，即可求解．
【详解】设等比数列的公比为，则，
因为，，成等差数列，所以，
又，所以，
所以，故，
故选：B．
14．（2025·福建泉州·模拟预测）已知为等比数列，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】根据等比数列的性质求出的值.
【详解】设的公比为，则，
显然，则，即，
因为，则，则.
故选：A．
15．（2025·湖北武汉·三模）已知等比数列为递增数列，若，，则（ ）
A．B．C．4D．8
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】根据等比数列的性质求解的值，从而可得公比的值，再根据等比数列的通项求解即可.
【详解】已知等比数列，则，
因为，所以，则，
又，所以或，
因为等比数列为递增数列，则，且公比，
所以，则，
故.
故选：A.
16．（2025·河南·二模）记等差数列的前n项和为，公差，，数列为等比数列，且，，，则（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】由题意得，即，解得，进而得和，即可求解.
【详解】由题意得，即得，
解得（舍去）或，,
所以，，
则，
因为，
所以.
故选：C.
17．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）记为正项等比数列的公比，若，则 .
【答案】5
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】根据等比数列通项公式的基本量计算，得到关于公比的一元二次方程，解方程求解即可.
【详解】由题意，，则，因为，所以 ，
由可知，则有，即，解得或.
因为数列是正项等比数列，则，所以.
故答案为：5.
18．（2025·甘肃·二模）在递增等比数列中，已知，，则 ．
【答案】9
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、根据数列的单调性求参数
【分析】利用等比数列性质通项公式求出，再根据数列递增确定和，进而求出等比数列公式.
【详解】在等比数列中，由等比数列性质可知.
又已知，则、可看作方程的两个根.
解这个方程，可得或，即或.
因为是递增的等比数列，所以，.
设公比为，可得，即，化简得，
解得或舍，又因为数列递增，所以，.
【题型五：写出等比数列的通项公式 】
1．（24-25高二下·辽宁大连·期中）数列与的通项公式分别是，，将它们的公共项从小到大排列成新数列，那么 ．
【答案】2048
【难度】0.65
【知识点】判断或写出数列中的项、写出等比数列的通项公式
【分析】先将所给数列与的前若干项一一列出，找出它们的公共项中的前几项，由这几项进行分析，猜想的项可能是中除去前两项的所有奇数项，构成以8为首项，以4为公比的等比数列．再证明猜想，可得出答案．
【详解】由题意可知的前几项是：2，4，8，16，32，64，128，256，…，
的前几项是：5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，…（即被3除余2的数）．
由此可知，数列的前三项是8，32，128，
回到数列中，不难发现的项可能是中除去前两项的所有奇数项，
构成以8为首项，以4为公比的等比数列．
对此猜想证明如下：
设数列中的第n项在中是第m项，在中是第k项，
由数列的定义可知，，故有，
则中的第项为．
显然，不是数列中的项，从而不是中的项．
而中的第项为：，
显然它是数列中的项，从而是中的第项，且，
故是以8为首项，4为公比的等比数列，
所以.
故答案为：2048
2．（24-25高二下·四川资阳·期中）知数列的前项和为，，，当时，总有，则数列的通项公式 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项
【分析】根据与的关系代入计算，再由等比数列的通项公式，即可得到结果.
【详解】当时，有，
则当时，有，
两式相减可得，
即，
又，，所以，
所以时，数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，所以.
故答案为：
3．（23-24高二下·吉林通化·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项
【分析】由的关系可得数列是以3为首项、-1为公比的等比数列，由此即可得解.
【详解】∵，∴时，，∴两式相减得：，即，
又∵，即，，即，符合上式，
∴数列是以3为首项、为公比的等比数列，∴．
故答案为：.
4．（24-25高二下·广东深圳·期中）记数列的前项和为，若，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项、利用等比数列的通项公式求数列中的项
【分析】根据给定的递推公式，利用前项和与项的关系求出通项公式即可.
【详解】数列中，，当时，，
整理得，而，即，
因此数列是首项为2，公比为的等比数列，，
所以.
故答案为：
5．（2025高三·全国·专题练习）已知非零数列的前项和为，且，，，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式
【分析】由，得到，进而得到，得到数列为等比数列，结合等比数列的通项公式，进而求得的通项公式.
【详解】因为，
所以当时，，
又因为，可得，解得，
由，
可得，即，
则，即，所以，
又由，所以，可得，
所以数列为从第二项起，第二项为，公比为的等比数列，
则，可得，
经检验，满足上式，所以，即数列的通项公式为.
故答案为：.
6．（24-25高二下·江西抚州·期中）记为数列的前项和，已知，且为公差为2的等差数列，则 ．
【答案】//
【难度】0.65
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项
【分析】根据等差数列的定义及与的关系可得，利用构造法可得，即是公比为、首项为的等比数列，根据等比数列的通项公式计算即可求解.
【详解】由题意可得，
故，而，
则是公比为、首项为的等比数列，
故，即．
故答案为：.
7．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 ，数列 满足 .
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的最大项.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】确定数列中的最大（小）项、写出等比数列的通项公式、求等比数列中的最大（小）项
【分析】
（1） 根据题意判定数列为等比数列，利用等比数列的通项公式写出答案；
（2） 利用作商法研究数列的单调性，进而得解.
【详解】（1）由已知可得，数列是首项为,公比的等比数列，
所以；
（2）,
,解得；
解得.
当时，，,
当时，比值小于1，数列开始递减,
因此，数列的最大项为，出现在第1项和第2项.
数列的最大项为：.
8．（2024·广东肇庆·一模）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列．
(1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求；
(2)若，求的二阶和数列的前项和；
(3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差．
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值是，公差为
【难度】0.4
【知识点】求等差数列前n项和、数列新定义、利用等比数列的通项公式求数列中的项
【分析】（1）根据一阶和数列的定义可计算出，，的值，根据二阶和数列的定义计算出，的值，由的二阶和数列是等比数列可得公比，从而得到，，的值，再由定义可求出的值.
（2）根据定义可得的通项公式，进而求得的前项和公式.
（3）由可得，从而可得公差，结合条件可得正整数的最大值.
【详解】（1）由题意得，，，，
∴，，
设数列的二阶和数列的公比为，则，
∴，，，
∴，，，
∴，，．
（2）设的二阶和数列的前项和为，
由题意得，，，
由得数列是以为首项，为公差的等差数列，
∴.
（3）∵，
∴，故．
设数列的公差为，则，
∴，得，
∵反比例函数在上为增函数，
∴由得，，故，
∵，
∴，故，
∴的最大值是，由得公差.
9．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）等比数列的各项均为正数，满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和
【分析】（1）由等比数列通项公式的基本量计算，即可得到结果；
（2）由分组求和法以及等比数列的求和公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
由可得，即，即，
解得，又，即，解得，
则其通项公式为.
（2）因为，
则
.
10．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，.
(1)若是正项等比数列，且，求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)465
【难度】0.65
【知识点】求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、等比数列前n项和的基本量计算
【分析】（1）利用等比数列前项和公式即可计算出，进而得；
（2）由得是以为首项，公差为2的等差数列，是以为首项，公差为2的等差数列，利用等差数列前项和公式即可求解.
【详解】（1）因为是等比数列，设首项为，公比为，
由，知，，
所以①；②
得，又所以，
代入①得，所以
（2）因为，所以为常数
所以是以为首项，公差为2的等差数列，
是以为首项，公差为2的等差数列，
故
【题型六：求等比数列中基本量的最值 】
1．（2025·湖南·三模）已知，，是公差为的等差数列，，，，是公比为的等比数列，如果，且，那么的最小值是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、利用不等式求值或取值范围
【分析】根据给定条件，利用等差数列、等比数列的通项，结合不等式性质求出的最小值.
【详解】依题意，，
则，即，而，因此，
当时，取，不等式成立，
所以的最小值是.
故答案为：
2．（24-25高二下·四川广元·阶段练习）已知是数列的前n项和，，则 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项
【分析】通过作差得到，，进而可求解.
【详解】由数列的前项和为，且，
当时，，
两式相减，可得，即，，
令，可得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
，
故答案为：
3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）等比数列中，，，满足：（P点在直线上），则的最大值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知向量共线（平行）求参数、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、基本不等式求积的最大值
【分析】由题意得，根据等比数列的性质有，结合重要不等式即可求解.
【详解】等比数列中，，有，
，满足：（P点在直线上），则有，
所以，当且仅当时等号成立，
又，有，所以的最大值为.
故答案为：.
【题型七：数列不等式能成立问题 】
1．（24-25高二下·山西·期中）已知数列的前n项和为，且．
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)记，记数列的前n项和为．
①求；
②若存在，使得，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，；
(2)①；②.
【难度】0.65
【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、数列不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）根据给定的递推公式，利用及构造法推理得证，进而求出通项公式.
（2）①由（1）求出，再利用裂项相消法求和；②由①求出，借助单调性求出的最小值即可.
【详解】（1）数列中，，当时，，
两式相减得，整理得，于是，
而，即，则，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，；
（2）①由（1）知，，，
.
②由①知，，，
，
而数列单调递增，则，
因此，由存在，使得，得，
所以的取值范围是.
【题型八：等比数列子数列性质及应用 】
1．（24-25高二上·黑龙江绥化·期末）已知是公比为2的等比数列，若，则 .
【答案】200
【难度】0.85
【知识点】等比数列子数列性质及应用
【分析】将两个等式左右分别相除，借助于公比，找到两式间的数量关系即得.
【详解】记等比数列的公比为q，则.
因，
故．
故答案为：200.
2．（2025·云南曲靖·二模）已知是公比不为1的等比数列，将调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组的值依次为 （用数字作答）.
【答案】（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】等差中项的应用、等比数列子数列性质及应用
【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式表示各项，调整顺序后借助等差中项的概念建立等量关系求得的值，令可得结果.
【详解】设等比数列的公比为，则等比数列为，
不妨设调整顺序后的等差数列为，则，
∵，∴，解得或（舍），
令，则，，
∴满足条件的一组的值依次为.
故答案为：（答案不唯一）.
3．（2024高二下·贵州贵阳·竞赛）已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】等比数列子数列性质及应用、基本不等式求和的最小值
【分析】设，利用等比数列的性质得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解.
【详解】因为数列为正项等比数列，，
设，则，则，
由于是等比数列，所以也成等比数列，
因此
，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
【题型九：由递推关系证明等比数列 】
1．（24-25高二上·甘肃·期末）已知数列中，，当时，，则的通项公式为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、构造法求数列通项
【分析】变形得到，故为首项为2，公比为2的等比数列，从而利用等比数列通项公式求出答案.
【详解】当时，，故，
其中，故为首项为2，公比为2的等比数列，
故，所以.
故答案为：
2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，若，则数列的通项公式为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列
【分析】变形为，再利用等比数列的定义可得答案.
【详解】因为，，所以，，
所以，而，且，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
.
故答案为：.
3．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知是数列的前项和，是和的等差中项，则 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项
【分析】根据等差中项列方程，然后利用求得，进而求得.
【详解】由于是和的等差中项，
所以，
当时，.
当时，，，
两式相减并化简得，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，也符合，所以,
所以.
故答案为：
4．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知，且则通项公式 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列
【分析】先证明数列是等比数列，进而根据等比数列的通项公式求解即可.
【详解】由，得，
所以数列为等比数列，公比为2，
又，所以，
即.
故答案为：.
5．（24-25高二下·辽宁·期中）已知是数列的前项和，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、由递推关系证明等比数列
【分析】（1）由，当时，可得，两式相减得到，再求得，结合等比数列的定义，即可得证；
（2）由（1）得到，求得则，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）解：由数列满足，当时，可得，
两式相减，可得，即，即，
当时，，即，解得，
所以数列是首项为，公比的等比数列.
（2）解：由（1）可得数列的通项公式为，
则，
令，可得数列的前项和为，
当时，可得；
当时，可得
，
所以数列的前项和.
6．（24-25高二下·北京·期中）已知数列的前n项和为，且.
(1)求出，并求出与的递推关系；
(2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(3)在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，若对任意，有恒成立，求实数的最小值.
【答案】(1)，
(2)证明见解析，
(3)
【难度】0.65
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）令代入已知可求得9，由与的关系可得；
（2）由可得，结合等比数列的定义证明即可，求出的通项，即可得到的通项公式；
（3）根据（2）的通项公式得，则恒成立，再根据作差法分析的单调性求得最大值即可.
【详解】（1）当时，，而，
所以，解得9，
当时，，，
得：，整理得：，
经检验，，满足上式，
所以；
（2）由得，
又，
所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以.
（3）由题意，
由（2）可知：，
所以，所以，令，
则，而，
所以，即数列单调递减，
故，所以，所以的最小值为.
【题型十：验证是否为 等比数列中的项 】
1．（2022·上海闵行·模拟预测）已知公比不为等于1的无穷等比数列各项均为整数,且有连续四项在集合中,请写出数列的一个通项公式: （写出一个正确的即可）．
【答案】（答案不唯一）
【难度】0.85
【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、验证是否为等比数列中的项
【分析】求出五个数的因数,分析得出连续的四项,进而得到公比,写出的通项公式,根据各项均为整数,判断首项的可能取值即可.
【详解】解:由题知,
因为
,
要使有连续四项在集合中,
所以中连续四项为,
因为各项均为整数,所以公比为-2,即,
因为,
所以可为:3,-6,12,-24,
故,为3,-6,12,-24,其中一个即可.
故答案为: （答案不唯一）.
2．（21-22高二·全国·课后作业）设是由实数构成的等比数列，若，，则的值为 ．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】等比中项的应用、验证是否为等比数列中的项
【分析】由等比中项的定义并结合等比数列通项公式即可求得答案.
【详解】因为，所以或，记该等比数列公比为q，又因为，所以，所以．
故答案为：4.
3．（2025高三·全国·专题练习）若等比数列中的，是方程的两个根，则 ．
【答案】/
【难度】0.94
【知识点】对数的运算、等比数列下标和性质及应用
【分析】应用等比数列项的性质得出，再结合对数运算计算求解.
【详解】由题意得．
因为，，…，，，
所以．
因为，所以，
则．
故答案为：.
【题型十一：等比数列的通项公式的指数函数特征 】
1．（22-23高一下·上海杨浦·期末）我们在享受经济增长带来的喜悦时，也无法忽视垃圾增长引发的烦恼．某区至2022年底生活垃圾堆积量达100万吨，估计今后平均每年增加8万吨．在实施《生活垃圾管理例》之后，清运公司处理垃圾的效能得到明显改观，预估2023年能处理垃圾5万吨，今后每年还需提高10%的处理能力，则该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是（ ）
A．2026年B．2027年C．2028年D．2029年
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】等比数列的通项公式的指数函数特征
【分析】从2023年起第年处理生活垃圾的量为，而生活垃圾堆积量平均每年增加8万吨，通过数据比较可得结果.
【详解】从2023年起第年处理生活垃圾的量为，显然单调递增，
而，生活垃圾堆积量平均每年增加8万吨，
则从第6年起处理生活垃圾的量超过每年增加的量，
故该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是.
故选：C.
2．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）已知数列为等比数列，，公比，则数列的前项积最大时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列的通项公式的指数函数特征
【分析】根据条件得到，从而有时， ，时， ，即可求解.
【详解】因为，公比 ，则，
所以当时，；当时，，
又是数列的前项积，则当时， 取得最大值，
故选：B.
3．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断命题的充分不必要条件、等比数列的通项公式的指数函数特征
【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.
【详解】由等比数列的通项公式可得，，
当且时，则，且单调递减，则是递减数列，故充分性满足；
当是递减数列，可得或，故必要性不满足；
所以“且”是“是递减数列”的充分不必要条件.
故选：A
4．（23-24高三上·湖北·阶段练习）设命题p：若数列是公差不为0的等差数列，则点必在一次函数图象上；命题q：若正项数列是公比不为1的等比数列，则点必在指数函数图象上.下列说法正确的是（ ）
A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题
C．p真q假D．p假q真
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】判断命题的真假、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列的通项公式的指数函数特征
【分析】根据等差数列和等比数列的性质判断命题的真假即可
【详解】若数列是公差不为0的等差数列，则，
故点必在一次函数图象上，故p真；
若，则数列是公比为2，首项为3的等比数列，
，，不恒在指数函数图象上，故q假.
故选：C
5．（2023·四川内江·一模）已知数列满足：，点在函数的图象上．则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】等比数列的通项公式的指数函数特征、利用等比数列的通项公式求数列中的项
【分析】先通过求出，则可得数列的通项公式，代入可求得.
【详解】由已知，
则，解得，
故选：A.
6．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列公差，数列为正项等比数列，已知，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】等差数列的单调性、等差数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的通项公式的指数函数特征
【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意可知，由得，设，则，利用一次函数和指数函数的性质，结合图形，可得时；时；时，依次判断选项即可.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为()，
若，则，得，解得，不符合题意；
所以，得，又，
令，得，即①，
设，则且，
所以①式变为，
由题意，知和是方程的两个解，
令，且，
则一次函数与指数函数的图象至少有2个交点，
作出两个函数图象，如图，

当函数与单调递增或递减时，才会有2个解，
且无论哪种情况，都有时，；
时，；时，；
所以，，，，
即，，，.
故选：C.
【题型十二：等比数列的单调性 】
1．（24-25高二上·浙江温州·期末）若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】充要条件的证明、等比数列的单调性
【分析】由等比数列性质，结合充分必要条件的判断，即可求解.
【详解】因为正项数列是等比数列，所以，
当时，，解得，
所以数列为递增数列，满足充分性；
当数列为递增数列时，，满足必要性，
所以“”是“数列为递增数列”的充要条件.
故选：C
2．（24-25高二上·上海·期末）在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．的值是中最大的D．使成立的最大自然数n等于4046
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、等比数列的单调性
【分析】分析条件可得数列为递减数列，选项A正确；根据等比数列的性质可得选项B正确；根据可得选项C错误；根据，可得选项D正确.
【详解】∵，∴，∴．
∵，∴，即一个大于1，一个小于1，
∵，∴数列为递减数列，故，即，选项A正确.
，选项B正确.
，选项C错误.
，
，选项D正确.
故选：C．
3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列是公比为的等比数列.设甲：；乙：数列单调递增，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断数列的增减性、等比数列的单调性、既不充分也不必要条件
【分析】利用等比数列通项公式以及函数性质，分别对首项和公比分类讨论举反例可得结论.
【详解】当首项时，若，此时数列单调递减，
如，因此充分性不成立；
若数列单调递增，当首项，时，满足题意，
如，可知必要性不成立；
综上可知，甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选：D
4．（22-23高二下·北京房山·期末）设各项均为正数的等比数列的公比为，且，则“为递减数列”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】充要条件的证明、对数的运算性质的应用、等比数列的单调性
【分析】由等比数列通项公式及对数运算性质可得，根据充分性、必要性定义判断题设条件间的推出关系，即可得答案.
【详解】由题意得，且，
∴.
若为递减数列，则，故，充分性成立.
若，则，故，为递减数列，必要性成立.
所以“为递减数列”是“”的充分必要条件.
故选：C.
5．（2024高三·全国·专题练习）若数列是公比为的递增等比数列，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】等比数列的单调性
【分析】举反例判断ACD错误，根据数列递增的性质判断B.
【详解】依题意，不妨设，数列是递增的等比数列，由此判断选项错误.
设，数列是递增的等比数列，由此判断A选项不正确.
因为数列是公比为的递增等比数列，所以或，
即故选项B正确.
故选：B.
6．（24-25高三上·上海·期中）已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】充要条件的证明、等比数列的单调性
【分析】根据题意，分别从两个方向判断“对任意正整数，都有”与“数列是严格减数列”之间的推导关系，根据推导关系判断结论.
【详解】若是严格递减数列，显然能推出，
所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”必要条件；
若对任意的正整数都成立，
则中不可能同时含正项和负项，故，
所以，，即，，
或，，即，.
当，时，有，即，是严格递减数列；
当，时，有，即，是严格递减数列，
所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”充分条件，
综上所述，“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的充要条件.
故选：C.
7．（2024高二·全国·专题练习）等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（ ）
A．为递增数列B．为递增数列
C．中最小项的值为1D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列的单调性、求等比数列中的最大（小）项
【分析】A选项，计算出且，故A正确；B选项，计算出且公比大于1，B正确；C选项，在B选项基础上得到最小值；D选项，计算出，从而得到当时，，当时，，故.
【详解】A选项，由题意可知，，
且公比，故为递增数列，A正确；
B选项，，，
则为递增数列，故B正确；
C选项，当时，取得最小值，故C错误；
D选项，，
当时，，
当时，，
故，故D正确．
故选：C．
8．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（ ）
A．1012B．1013C．2022D．2023
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列的单调性
【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得以及，即可判断数列的增减性以及项与1的大小关系，由此即可求得答案.
【详解】由题意知，故，
则，即，
结合等比数列满足，公比，可知，
由，得，
即得，故，即，
由此可得，
故当最小时，，
故选：A
9．（16-17高一下·湖北孝感·期末）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列选项中成立的是（ ）
A．B．
C．D．与均为的最大值
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、等比数列的单调性、求等比数列中的最大（小）项
【分析】AB选项，根据数列各项均为正，得到，；C选项，由等比数列的性质及，得，，C错误；D选项，在ABC基础上得到，得到D正确.
【详解】AB选项，由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，
又，，，，B正确；
又，故，即，A正确；
C选项，由得，所以，
而，，因此，C错误；
D选项，由上知，
先增后减，与均为的最大值，D正确．
故选：ABD
10．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，公比为，，，记的前项积为，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】等比数列的单调性、求等比数列中的最大（小）项
【分析】等比数列的各项均为正数，，，可得，因此，，．进而判断出结论．
【详解】等比数列的各项均为正数，，，
，
，若，则一定有，不符合，
由题意得，，，故AB正确，
，，
，，故C正确，D错误，
故选：ABC．
【题型十三： 求等比数列前n项和 】
1．（24-25高二下·黑龙江绥化·期中）已知数列满足，，，则数列的前2025项的和（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、求等比数列前n项和
【分析】由题意得，然后利用累加法求得及，然后结合等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可.
【详解】因为，，
所以，即，
所以当时，
，
又符合上式，故，
所以.
所以
.
故选：D
【题型十四：等比数列前n 项和的基本量计算 】
1．（2025·广东·模拟预测）正项等比数列及其前项和满足：，，则的值为（ ）
A．416B．468C．520D．607
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算
【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式和前项和求基本量即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，由，可得，
所以即，即，
由，所以，由得，
即.
故选：C.
2．（2025·上海青浦·三模）已知数列的前项和为，若，则不可能是（ ）
A．公差大于0的等差数列B．公差小于0的等差数列
C．公比大于0的等比数列D．公比小于0的等比数列
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断等差数列、等差数列前n项和的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项
【分析】首先由题意可得，再利用等差数列及等比数列的前项和公式进行验证即可.
【详解】，，，
若数列是等差数列，设其公差为，
，，即，
，可正可负，可正可负；
若数列是等比数列，设其公比为，
若，则是公比为的等比数列，满足，
当时，若，则，，不成立，
若且，则，，不成立.
不可能是公比大于的等比数列.
故选：C.
3．（2025·全国·模拟预测）已知数列为首项为1的正项等比数列，其前n项和为，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算、既不充分也不必要条件
【分析】结合等差数列通项公式和求和公式基本量的运算，根据充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】当等比数列的公比时，，若，则，此时，
充分性不成立，
当等比数列的公比时，，则，此时，必要性也不成立，
综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4．（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）设等比数列的前项和为，前项积为，，且和的等差中项为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】等差中项的应用、等比数列前n项和的基本量计算
【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出和的值，可得出数列的通项公式，分析可知：当时，，当时，，当时，，即可得出的最大值.
【详解】设等比数列的公比为．
若，则，不符合题意，
所以，解得．
又因为和的等差中项为，所以，则，解得．
所以，，
当时，，当时，，当时，，
所以的最大值为．
故选：B.
5．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知是无穷等比数列，其前n项和为．若对任意正整数，都有，则实数A的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、数列不等式恒成立问题
【分析】根据等比数列的性质可得公比，即可由求和公式得的表达，对分奇偶，即可求解.
【详解】由，故，所以公比为，
故，
由可得，
当为奇数时，则，故，
由于为单调递增，故，
当为偶数时，则，故，
由于为单调递增，当时，此时取最小值，故，
综上可得
故选：B
6．（2025·安徽·模拟预测）记为数列的前项和，若为等比数列，则（ ）
A．64B．32C．16D．8
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算
【分析】由为等比数列，求出再得到，进行求解．
【详解】为等比数列，的首项为，第二项为，
第三项为，
的公比为当时，，
显然当时也符合，
．
故选：A.
7．（2026高三·全国·专题练习）已知公比不等于1的等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．8D．16
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算
【分析】设出首项和公比，利用等比数列前项和的性质建立方程，求解目标式的值即可.
【详解】设数列的公比为，首项为，
因为，所以，易得．
因为．所以．
则．因为，所以解得，
则．故，故D正确.
故选：D
【题型十五：等比数列前n项和的其他性质 】
1．（23-24高三上·北京西城·期末）设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】等比数列前n项和的其他性质
【分析】对进行分类讨论，结合等比数列前项和公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
若，则，，此时不存在符合题意的，所以.
若，则，
当为正偶数时，，所以存在无穷多个正整数，使.
当时，，
其中，，所以，此时不存在符合题意的.
当时，，
其中，当是正奇数时，，所以，此时不存在符合题意的；
当是正偶数时，，，所以存在无穷多个正整数，使.
综上所述，的取值范围是.
故选：B
2．（22-23高二上·广东深圳·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】等比数列前n项和的其他性质、等比数列的单调性、等比数列的其他性质
【分析】由已知结合等比数列的性质检验各选项即可判断.
【详解】因为等比数列满足，
又，所以，A错误；
，即,B错误；
当时，，当时，，即是数列中的最大值，C正确；
由题意得，，则,D错误.
故选：C.
3．（24-25高二下·广西柳州·阶段练习）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（ ）
A．B．公比为2C．D．
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算
【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的前项和公式及通项公式的基本量运算即可判断.
【详解】设等比数列的公比为，则，,
由题意得，
因为，由，得，
即，解得或（舍去）
所以， 故，.
故选：ABD.

【题型十六：根据数列单调性求参数 】
1．（2024·四川雅安·模拟预测）已知数列满足，，，单调递增，则的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由递推关系式求通项公式、等比数列的定义、根据数列的单调性求参数
【分析】根据可得，再结合单调递增以及等比数列定义可求出，则由即可得解.
【详解】因为，所以，
又因为单调递增，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以即，
则的取值范围为，
故答案为：.
2．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求等比数列中的最大（小）项
【分析】首先根据题意得到，根据题意得到，再利用对勾函数的性质求解即可.
【详解】因为，，成等差数列，所以，
又因为的首项为1，各项均为正数的等比数列，
所以，解得或（舍去），所以.
若恒成立，所以.
设，令，解得，
所以在为减函数，在为增函数.
而当时，即时，，
所以当时，即时，取得最小值为，
所以.
故选：B
3．（2023·黑龙江·三模）已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则 ，不等式成立的的最小值为 ．
【答案】 14 13
【难度】0.4
【知识点】等比数列的通项公式的指数函数特征、数列不等式能成立（有解）问题
【分析】①根据，得，代入即可得解；②根据，得，对分奇偶讨论即可得解.
【详解】令，得，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以.
当为奇数时，，
即，因为，所以，即，
因为为奇数，所以的最小值为；
当为偶数时，，
因为，所以，，
因为为偶数，所以的最小值为.
综上所述，的最小值为.
故答案为： ，
【点睛】关键点点睛：讨论m的奇偶性求出对应通项公式为关键.
4．（19-20高一下·上海宝山·阶段练习）已知正数数列满足，且对恒成立，则的范围为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、等比数列的通项公式的指数函数特征、数列不等式恒成立问题
【分析】利用数列的递推不等式，通过构造由递推特征得到通项特征，再由求的范围.
【详解】因为，所以，
所以
因为，所以，即对恒成立，
对恒成立，因为，所以，
又因为是正数数列，所以，所以的取值范围为.
故答案为：
5．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）若是公比为的等比数列的前项和，且对都成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、数列不等式恒成立问题
【分析】根据等比数列的前项和公式，讨论的取值范围，即可求解.
【详解】由题意可知，，
当时，，成立
当时，，
当时，，，，则恒成立，
当时，，，，则恒成立，
当时，，，，则恒成立，
当时，当为偶数时，，则，不满足条件，
当时，当为偶数时，，，则，不满足条件.
所以的取值范围是.
故答案为：
【题型十七： 等比数列奇偶项和 】
1．（23-24高三上·四川成都·期中）数列满足：，数列的前项和记为，则 ．
【答案】2191
【难度】0.65
【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用、分组（并项）法求和、等差数列奇数项或偶数项的和
【分析】，对分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出.
【详解】数列是以公差的等差数列;
.
,数列是以公比的等比数列;
.
.
故答案为：2191.
2．（21-22高二·全国·课后作业）已知首项均为的等差数列与等比数列满足，，且的各项均不相等，设为数列的前n项和，则的最大值与最小值之差为 ．
【答案】/0.75
【难度】0.65
【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用、写出等比数列的通项公式、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】由题意可求得，分为奇数、偶数讨论的单调性并求出其最大、小值即可.
【详解】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则解得或,
又因为的各项均不相等，所以，
则．
当n为奇数时，，易知单调递减，最大值为，且；
当n为偶数时，，易知单调递增，最小值为，且．
所以的最大值为，最小值为，
所以的最大值与最小值之差为．
故答案为：.
【题型十八：等比数列的应用 】
1．（2025·山西·模拟预测）汉诺塔是一个经典的数学益智游戏，它主要由三根柱子（通常标记为甲、乙、丙）和若干个大小不同的圆盘组成．游戏规则是把甲柱上的圆盘全部移到丙柱，一次移一个且大圆盘不能放在小圆盘上．记把n个圆盘从甲柱上全部移到丙柱的最少次数为，根据游戏规则知，若，则圆盘的个数（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列
【分析】由递推关系构造等比数列求出数列通项即可得解.
【详解】由题意可知，
由可得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
故，
解得，
令，解得，
故选：C
2．（24-25高二下·北京·期中）谢尔宾斯基垫片（Sierpinski Gasket）是一种分形图形，其构造过程如下：
①从一个边长为1的等边三角形开始；
②将三角形分成4个全等的等边三角形，去掉中间的三角形，完成一次操作；
③对剩下的3个三角形重复步骤②；
设第n次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和为，面积之和为．
下列结论错误的是（ ）
A．经过n次操作，可以使得
B．经过n次操作，可以使得
C．经过n次操作，可以使得
D．经过n次操作，可以使得
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】等比数列的简单应用、写出等比数列的通项公式、等比数列的单调性、数列新定义
【分析】分析每次操作后剩下的所有小三角形的周长和面积的变化规律，写出其通项公式，再逐一分析选项即可.
【详解】初始时，大等边三角形边长为1，周长记为，面积记为；
第一次操作，将大等边三角形分成4个全等的等边三角形，每个小三角形的边长为，剩下3个三角形，
这3个三角形的周长之和为，面积为；
第二次操作，对剩下的3个边长为的三角形，每个又分成4个边长为的小三角形，剩下个三角形，
这个三角形的周长之和为，面积为；
以此类推，第n次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和，
面积，其中.
对于A，要使得，即，因为随着的增大而减小，
且时，，所以当足够大时，会有，故A正确；
对于B，要使得，即，因为随着的增大而增大，
且时，，所以当足够大时，会有，故B正确；
对于C，要使得，即，因为随着的增大而增大，
且，所以，故C错误；
对于D，要使得，即，因为随着的增大而增大，
且时，，所以当足够大时，会有，故D正确；
故选：C.
3．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：，，）（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求等比数列前n项和、数列-分期付款
【分析】先求出学生甲在第5个月的还款额，再利用等比数列的性质，求和公式得到学生乙每个月的还款额均为元，从而得到10月初甲比乙将多还元.
【详解】学生甲从5月初到9月初已经还了4个月，
在第5个月的还款额为元，
设学生乙每个月的还款额均为元，第个月还款后还剩余元未还，
显然，，，
……，，
显然，故，
所以，故，
依次类推，可得，
即，
所以，
由等比数列求和公式可得
，
故元，
学生乙每个月的还款额均为元，
所以甲比乙将多还元．
故选：A
4．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）某人今年月初向银行申请贷款12万元用于消费，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分12个月还清.银行给他提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息），贷款月利率都为0.3%.
(1)若采取等额本金的还贷方式，求他第一个月还贷需支付多少利息；还清贷款共支付多少利息.
(2)若采取等额本息的还贷方式，设他每月还贷m元（包括本金和利息），
①求第一个月还贷后所欠银行贷款为多少元（用含m的式子表达）；
②求出m的值；
③判断等额本息与等额本金的还贷方式哪种支付利息总额多，多多少元？
（参考数据，，）
【答案】(1)元，2340元
(2)①元；②元；③等额本息支付的利息总额多1980元.
【难度】0.4
【知识点】求等差数列前n项和、由递推关系证明等比数列、利用等比数列的通项公式求数列中的项
【分析】（1）按照等额本金的还贷方式，分别计算出从第一次还贷起每次支付的利息，判断构成等差数列，利用等差数列求和公式计算即得；
（2）①利用利息计算公式计算即得；②设第n个月还贷后所欠银行贷款为，推理得到，构造出等比数列，求得数列的通项，利用，代入计算即可求得m的值；③由①和②计算的结果，即可比较出两种支付形式中等额本息的方式支付利息总额多.
【详解】（1）第一次还贷支付的利息：元；
因为每月支付本金为10000元，
所以第二次还贷支付的利息：元；
所以第三次还贷支付的利息：元；
……，从而每月支付的利息构成等差数列.
所以利息总额为元.
（2）①第一个月还贷后所欠银行贷款为
；
②第二个月还贷后所欠银行贷款为，
设第n个月还贷后所欠银行贷款为，则
，，，
所以，
所以是以为首项，1.003为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以，
所以元；
③按照等额本息，计算出12个月产生的总利息为，
由元，可知等额本息比等额本金的还贷方式多支付1980元.
5．（24-25高二下·陕西·期中）杭州的三潭印月是西湖十景之一､被誉为“西湖第一胜境”.所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每个高2米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，形成一个等边三角形，记为，设的边长为，取每边的中点构成，设其边长为，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列，若的前项和为，则的边长（ ）
A．62B．61C．31D．30
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算
【分析】根据题意得到是等比数列，利用等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】根据题意，取每边的中点构成，
则的各边均为对应的中位线，长度减半，由此，
依次类推可得，
所以是首项为，公比的等比数列，
故其前项和，解得，即的边长.
故选：A.
6．（24-25高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（ ）
A．16B．32C．48D．64
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】等比数列的简单应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算
【分析】借助等比数列求和公式求出首项，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可.
【详解】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为，
则，公比，所以，
所以，所以第4层“浮雕像”的数量为.
故选：C
7．（24-25高二上·广东广州·期末）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）
（参考数据：）
A．964万元B．2980万元C．3940万元D．5170万元
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】构造法求数列通项、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、等比数列的简单应用
【分析】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列，由求出通项，再结合数列求和即可得解.
【详解】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列，
依题意，当时，，即，
因此数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，，即，
则，
所以从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元.
故选：C
8．（24-25高二上·江苏南京·期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．3盏B．5盏C．7盏D．9盏
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列的简单应用
【分析】设塔顶共有灯盏，根据题意，各层灯数构成以为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列求和公式计算可得.
【详解】设塔顶共有灯盏，根据题意，各层灯数构成以为首项，2为公比的等比数列，
所以，解得.
9．（24-25高二上·全国·单元测试）从2017年起，某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2021年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元）的总数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等比数列的简单应用
【分析】根据题意，利用等比数列求和计算即可.
【详解】设自2018年起每年到5月1日存款本息合计为，，，.
则，
，
，
.
故选：D
10．（2024·四川内江·一模）年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】等比数列的简单应用
【分析】设原有树苗有包，求出第组到第组所领取树苗的包数，结合等比数列求和公式可得出关于的等式，解之即可.
【详解】设原有树苗有包，第组领取包，
第组领取包，
第组领取包，
，
以此类推可知，第组领取包，
由题意可得，
即，解得.
故选：B.
11．（24-25高二上·福建·期中）一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，那么在第n次着地后，它经过的总路程超过5m，则n的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】等比数列的简单应用、求等比数列前n项和
【分析】求出通项公式，再利用等比数列求和公式得解.
【详解】设小球第一次落地时经过的路程为，第次落地到第次落地经过的路程为，
由题意，，数列从第二项起构成以首项为，公比为的等比数列，
则第n次着地后经过的路程为，
即，结合选项，检验时，，时，成立，
故选：A
12．（24-25高二上·福建漳州·期中）已知一小球从地面竖直向上射出到10m高度后落下，每次着地后又弹回到前一次高度的处，则该小球第6次落地时，经过的路程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等比数列的简单应用、求等比数列前n项和
【分析】求出通项公式，再利用等比数列求和公式得解.
【详解】设小球第一次落地时经过的路程为，第次落地到第次落地经过的路程为，
由题意，，数列从第二项起构成以首项为，公比为的等比数列，
则第6次着地后经过的路程为（），
故选：D
13．（24-25高三上·江苏无锡·期末）数学史上著名的“康托三分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去.若使前次操作后剩余所有区间长度之和不超过，则需要操作的次数的最小值为 ，该次操作完成后依次从左到右第四个区间为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求等比数列前n项和、由定义判定等比数列、等比数列的简单应用
【分析】根据题意抽象概括出去掉的各区间长度为通项公式为的数列，结合题意和等比数列前项求和法列出不等式，利用对数的运算性质解不等式，可得出的最小值；列举出最后一次操作后的前四个区间，即可得解.
【详解】第一次操作去掉了区间长度的，剩下、
第二次操作去掉个长度为的区间即长度和为，
剩下的区间从左到右依次为、、、，
以此类推，第次操作将去掉个长度为的区间，
则第次操作去掉的长度和为，
设，则，
所以，数列为等比数列，其首项为，公比为，
的前项和，
由题意令，则，
所以，即，
所以，所以，
第次操作后第个区间；第次操作后，第、个区间、，
第次操作后第、、、个区间分别为、、、
所以从左到右第个区间为.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
14．（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成.这些圆柱具有共同的轴，最下边的圆柱的高为10cm、底面半径为5cm.从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面半径与高的0.8倍，则这个工艺品的表面积（含最下边圆柱的下底面积）约为 （精确到）
【答案】
【难度】0.65
【知识点】圆柱表面积的有关计算、求等比数列前n项和、等比数列的简单应用
【分析】根据已知第个圆柱的高，底面半径，应用等比数列前n项和公式求工艺品的表面积.
【详解】由题设，第个圆柱的高，底面半径，
所以，第个圆柱的侧面积为，底面积为，
则侧面积之和为，
底面积之和为，
所以工艺品的表面积为.
故答案为：
15．（24-25高三上·江苏·阶段练习）某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是 ．
【答案】 64 126
【难度】0.65
【知识点】等比数列的简单应用、求等比数列前n项和
【分析】根据给定条件，按报数次数探讨向前一步的编号特征，再结合等比数列求解.
【详解】依题意，第一次报数后向前一步的原编号为，为第二次报数时的新编号，
第二次报数后向前一步的原编号为，为第三次报数时的新编号，
第三次报数后向前一步的原编号为，为第四次报数时的新编号，
第四次报数后向前一步的原编号为，为第五次报数时的新编号，
第五次报数后向前一步的原编号为，为第六次报数时的新编号，
显然第六次报数时向前一步的编号为，
因此走到最前面的同学各次编号按报数由后向前排列为，
所以走到最前面的同学第一次的序号是64；这位同学的所有序号之和为.
故答案为：64；126
【点睛】关键点点睛：探求报数前后两个编号的关系是求解问题的关键.
16．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计6排停车位，靠近商场的第1排设计7个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1，则设计的停车位的总数是 .
【答案】498
【难度】0.65
【知识点】等比数列的简单应用、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、构造法求数列通项
【分析】根据给定条件，每排停车位的个数构成数列，求出递推公式，利用构造法求出通项公式，再结合等比数列前n项和求解.
【详解】依题意，每排停车位的个数排成一列构成数列，
于是，即，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，即，
所以设计的停车位总数为.
故答案为：498
17．（24-25高三上·北京昌平·期中）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以，，，，，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①，，，…，所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，…，如此对开至规格．现有，，，…，纸各一张．若纸的宽度为，则纸的面积为 ；这9张纸的面积之和等于 ．
【答案】 /
【难度】0.85
【知识点】求等比数列前n项和、等比数列的简单应用
【分析】根据题设背景，分析纸张长宽、面积为等比数列，利用列举等比数列的项求对应长宽，进而求面积，再应用等比数列前n项和求面积和.
【详解】由题设，若的长宽分别为，则的长宽分别为，的长宽分别为，的长宽分别为，的长宽分别为，
又纸宽度为，所以，则的面积为，
由上分析，面积为，面积为，面积为，，依次类推，
易知，这9张纸的面积是以为首项，为公比的等比数列，
所以，面积之和为.
故答案为：；