人教版新课标B必修2柱、锥、台和球的体积教案设计

这是一份人教版新课标B必修2柱、锥、台和球的体积教案设计，共6页。
教学重点：了解柱、锥、台的体积的计算方法
教学过程：
（一）祖暅原理：
祖暅(音gèng)，一名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的活动时期大约在公元504—526年．祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献．
祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》．他推导球体积公式的方法非常巧妙．
根据中国算书《九章算术》中李淳风的注释，下面我们使用现代的术语，并将原来的图形略加修改，把祖暅当时推导球体积公式的方法介绍如下：
作一个几何体V1．底面OABC是一个正方形，边长为r(图2-18)．高
取一点S，过点S与底面平行的截面为SPQR，设它的边长为a，OS为h，则截面面积a2=r2-h2．
另取一个边长为r的正方体V2(图2-19)，连结O′D′，O′C′，O′A′，锥体O′-A′B′C′D′记作V3，V2-V3是正方体O′D′挖去锥体O′-A′B′C′D′剩下的几何体．下面来证明
V1=V2-V3．
设平行于底面与底面距离为h的平面，截V2的截面是正方形P′TS′M，面积等于r2，截V3的截面是正方形Q′TR′N，面积等于h2(因为Q′T=O′T=h)，所以这两个正方形的差形成曲尺形P′Q′NR′S′M，它的面积等于r2-h2．
比较V1与V2-V3在等高(h)处的截面，它们的面积都是r2-h2，因此体积相等，即V1=V2-V3．
祖暅原理的原文是“幂势既同，则积不容异．”“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是：两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么几何体的体积相等．这就是现在说的：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
积为V4(是未知数)．和V1比较，在高h处的截面积C″EF是以a为半
祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用．提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”(Cavalierisches，Prinzip)．卡瓦列利[米兰Milan(现意大利城市)人]在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理，这本书出版于1635年．
（二）长方体的体积
（三）利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为：
（四）利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等
（五）三棱住可以分割成三个体积相等的锥
故锥体的体积为
（六）利用两个锥体做差可得台体的体积公式
（七）例子：
(1) 长方体的三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积为[ ]
(2)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，在从B点出发的三条棱上分别取其中点E、F、G，则棱锥B-EFG的体积是平行六面体体积的[ ]
(3)如果一个正四面体的体积为9dm3，则其表面积S的值为[ ]
棱锥的体积是 [ ]
(5)设正三棱柱的外接圆柱体体积为V1，内切切圆柱体积为V2，则[ ]
A．V1∶V2=∶1 B．V1∶V2=2∶1
C．V1∶V2=4∶1 D．V1∶V2=8∶1
课堂练习：教材第32页 练习A1.2、B1.2.3
小结：
本节课应了解：祖暅原理以及柱锥台的体积计算公式
课后作业：
1.1.7柱、锥、台和球的体积（二）
教学目标：了解球的体积的计算方法
教学重点：了解球的体积的计算方法
教学过程：
由上节祖暅原理所述知球的体积公式
例子
1、有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，这时容器中水的深度是[ ]
2、如果球的体积是V球，它的外切圆柱的体积是V圆柱，外切等边圆锥的体积是V圆锥，那么这三个几何体体积之比是____
3、图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的 ，球的表面积也是圆柱全面积的.
解：设圆的半径为R，球的体积与圆柱的体积分别为V球及V柱 ，球的表面积与圆柱的全面积分别为S球及S柱，则有

S柱=侧面积+上下底面积
注：这个发现是阿基米德在他的许许多多的科学发现当中最为得意的一个
课堂练习：教材第32页 练习A3
小结：
本节课应了解：球的体积计算公式
课后作业：