高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册一元线性回归模型表格教案及反思

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册一元线性回归模型表格教案及反思，共7页。
板书设计
教学研讨
非线性回归其实是线性回归的推广，因此教学时可以多举一些实例.另外，可以根据学生的具体情况决定是否需要梳理幂函数型、指数函数型与对数函教型等可线性化的非线性回归的变量代换策略.教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
情境引入
教材第97页“情境与问题”：以下是几则与“相关系数”有关的新闻报道：
（1）“1999-2008年，俄罗斯GDP增长率与国际石油价格的相关系数为0.86，2009-2014年该系数达到0.98.”（《人民日报》2017年8月9日）
（2）“瑞士洛桑国际管理学院对企业国际竞争力的研究也显示，公司文化与企业管理竞争力的相关系数在几个因子中是最高的.”（《中国青年报》2009年9月11日）
（3）“分析表明1990年至2011年我国财政收入与企业注册资本之间的关系呈高度线性相关，其相关系数高达0.987，而斜率竟为0.148.”（《人民日报》2014年5月21日）
你能猜出相关系数的含义吗？（3）中“斜率”表示的是什么？
教师出示问题，学生思考，尝试给出答案.
创设情境，引发学生产生对相关系数的直观认识，引入课题.
知识生成
1.如下是某班级学生数学成绩与英语成绩的对应表.
从这些数据中，你能直接看出该班级学生的数学成绩与英语成绩之间是否存在线性相关关系吗？作出这些数据的散点图，并与教材图4-3-1对比，你能得出什么结论？
2.问题：怎样来刻画两个变量之间线性相关关系的强弱呢？
给定两个变量与的成对数据,,假设由成对数据得到的回归直线方程为,由前面可知,这条直线是通过点的.不难想到,我们所要寻找的量,在所有点越靠近回归直线时,特征要越明显.
如图所示,在平面直角坐标系中,作出成对数据的散点图以及回归直线,并且标出点.然后以为原点,建立新的平面直角坐标系,则回归直线在中是过原点的,而且:如果与正相关,则回归直线过的一、三象限;如果与负相关,则回归直线过的二、四象限.因此,从直观上可知,如果与正相关(或负相关),那么成对数据中,在的一、三象限(或二、四象限)内的点越多,与的线性相关关系可能会越强.注意到在中的坐标为),因此可用来判定成对数据是否落在一、三象限(或二、四象限).这样一来,就可用含有
的量来判定与的线性相关性强弱.
3.概念.
对于两个变量与的成对数据,.统计学里一般用
来衡量与的线性相关性强弱,这里的称为线性相关系数(简称为相关系数).
4.性质.
相关系数具有以下性质:
（1）,且与正相关的充要条件是与负相关的充要条件是.
（2）越小,说明两个变量之间的线性相关性越弱,也就是得出的回归直线方程越没有价值,即方程越不能反映真实的情况;越大,说明两个变量之间的线性相关性越强,也就是得出的回归直线方程越有价值.
（3）的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上.
例1 某人工智能公司从某年起7年的利润情况如下表所示.
（1）计算出与之间的相关系数(精确到),并求出关于的回归直线方程.
（2）根据回归直线方程,分别预测该人工智能公司第8年和第9年的利润.
解(1)可以算得.
通过列表计算可得
因此
.回归直线方程为.
（2）在回归直线方程中令,得，
因此预测第8年的利润为亿元.
类似地,可预测第9年的利润为亿元.
教师出示教材第105页“尝试与发现”栏目，请学生借助计算机分析问题、解决问题.
学生根据前面所学知识，借助计算机作出散点图，观察得出：可以利用最小二乘法得到一个回归直线方程，但是所得回归直线方程的价值似乎是有限的.
教师根据学生的回答，进一步引导学生探究刻画两个变量之间线性相关关系的强弱的方法.
学生理解用含有.的量来判定与的线性相关性强弱的合理性.
通过线性回归直线方程的可求性以及有效性的分析，抽象出相关系数的概念，加深学生对线性回归直线方程的理解，提升直观想象与逻辑推理核心素养.
知识升华
1.教材第108页“尝试与发现”：设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为，测得的一些数据如下表所示.
作出这组数的散点图，并通过散点图思考：近似描述y与x的关系，除了用一次函数外，还可以用其他函数吗？具体应该怎样操作？
2.如果y与x的关系不再是线性相关关系，则称为非线性相关关系，所得到的方程称为非线性回归方程（也简称为回归方程）.一般地，非线性回归方程的曲线类型可以通过作出散点图进行猜测，而回归方程有时可以通过变量替换后，借助求回归直线的过程确定.
教师引导学生观察教材“尝试与发现”栏目中的数据，请学生利用计算机作出散点图，并通过散点图思考：近似描述y与x的关系，除了用一次函数外，还可以用其他函数吗？应该如何操作？
学生思考、尝试完成.
教师根据学生的回答进行点评，师生共同梳理具体操作过程：
（1）观察散点图，根据图像特征,采用的表达式来描述与的关系;
（2）采用换元法,令,转化为熟悉的回归直线方程问题;
（3）换元后,构造新的成对数据,再根据公式,求出回归直线方程;
(4)回代得出与的关系：.
教师引导学生类比线性相关关系得出非线性相关关系的概念，并启发学生思考两者之间的不同与联系，师生共同总结如何借助回归直线方程得出非线性回归方程.
通过换元，将非线性回归问题转化为线性回归问题，进一步拓宽了线性回归的应用范围，同时通过换元等手段，提升学生逻辑推理、数据分析、数学建模和数学运算等核心素养.
归纳小结
1.基础知识：
相关系数；
非线性回归.
2.数学思想：
数形结合思想；
转化与化归思想.
教师引导学生分组回答，小组评价.
培养学生概括
总结能力.
布置作业
教材第111页练习A第4，5，6题.
学生独立完成，教师批改.
巩固知识.
2课时 相关系数和非线性回归
1.概念
对于两个变量与的成对数据.统计学里一般用
来衡量与的线性相关性强弱,这里的称为线性相关系数(简称为相关系数)
2.性质
（1）,且与正相关的充要条件是与负相关的充要条件是;
（2）越小,说明两个变量之间的线性相关性越弱,也就是得出的回归直线方程越没有价值,即方程越不能反
（3）的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上
3.例1
4.如果与的关系不再是线性相关关系,则称为非线性相关关系,所得到的方程称为非线性回归方程(也简称)为回归方程).一般地,非线性回归方程的曲线类型可以通过作出散点图进行猜测,而回归方程有时可以通过变量替换后,借助求回归直线的过程确定
5.小结与作业