2024版人教版九年级上册期末专项练习第22章：二次函数（简答题专练）（解析版）九年级数学人教版

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1．抛物线的顶点为，且过点，求它的函数解析式.
【答案】
【分析】已知抛物线的顶点，故可设顶点式，由顶点可知，将点代入即可.
【详解】解：设
将点代入得
解得
所以
【点评】本题考查了抛物线的解析式，由题中所给点的特征选择合适的抛物线的解析式的设法是解题的关键.
2．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，已知点A在点B的左侧，求点A和点B的坐标．
【答案】，
【分析】通过解方程及点A在点B的左侧，可得，坐标．
【详解】解：当时，，
解得，，
所以，．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
3．体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处点距离地面的高度为，当球运行的水平距离为时，达到最大高度的处（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）
【答案】米
【分析】以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，然后设函数解析式为，进而把点A代入求解函数解析式，最后求解问题即可．
【详解】解：以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，则有，如图所示：
设函数解析式为：，则把点A代入得：
，解得：，
∴函数解析式为，
令，则有，解得：（舍），，
所以，该同学把实心球扔出米．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．己知抛物线y=-x2+bx+c过点A(1，0)，B(-3，0)，求抛物线的解析式及其顶点C的坐标．
【答案】；
【分析】把点A(1，0)，B(-3，0)代入利用待定系数法列方程组，解方程组可得抛物线的解析式，再把抛物线的解析式化为顶点式，从而可得抛物线的顶点坐标．
【详解】解： 抛物线过点A(1，0)，B(-3，0)，

即
①②得：

把代入①得：

抛物线的解析式为：
由
抛物线的顶点坐标为：
【点评】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，把抛物线的一般式化为顶点式，再求解顶点坐标，掌握以上知识是解题的关键．
5．已知二次函数．求证：不论为何实数，此二次函数的图像与轴都有两个不同交点．
【答案】见解析
【分析】利用判别式的值得到，从而得到，然后根据判别式的意义得到结论．
【详解】解：，不论为何值时，都有，此时二次函数图象与轴有两个不同交点．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；决定抛物线与x轴的交点个数．
6．已知抛物线的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为．

（1）求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标；
（2）根据图象回答：当取何值时，？
（3）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标．
【答案】（1），；（2）＜＜；（3）
【分析】（1）把代入：，利用待定系数法求解，再求解点的坐标即可得到答案；
（2）由，可得抛物线的图像在轴的下方，结合图像可得的取值范围，从而可得答案；
（3）由关于抛物线的对称轴对称，可得与对称轴的交点满足最小，从而可得答案．
【详解】解：（1）把代入：，
，
解得：
所以抛物线的解析式为：，
由



（2） 抛物线与轴交于 ，
抛物线的图像在轴的下方，
结合图像可得：＜＜
（3）∵
∴对称轴是直线x=1． 如图，当A、B、P三点共线时，PA+PB的值最小，
此时点P是对称轴与x轴的交点，即P（1，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图像解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键．
7．某百货商店服装在销售过程中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件，当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？
【答案】每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元．
【分析】根据题意可以得到利润与所将价格的关系式，根据二次函数可判断最大利润．
【详解】解：设每件童装降价x元，利润为y元，
，
∴当时，y取得最大值，此时，
即每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出二次函数解析式，根据二次函数的顶点判断最大利润．
8．一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？
【答案】30
【详解】试题分析:根据题意可设AB=x,则AD=60－2x,鸡舍面积为y,然后根据矩形的面积公式可得: y=－2x2+60x,最后配方求最值即可求解.
试题解析:设鸡舍宽为xm,面积为ym2,则·x=x（60－2x）,
y=－2x2+60x=,
当x=15时,y有最大值,最大值为30.
9．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式．
【答案】或．
【分析】利用待定系数法求函数解析式即可．
【详解】解：根据题意得，抛物线与x轴的另一个交点为或，因此要分两种情况：
（1）若抛物线过点，设，把代入则有：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）若抛物线过点，设，把代入则有：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：
故该二次函数的解析式为或
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，分情况讨论是解决本题的关键．
10．每年六七月份我市荔枝大量上市，今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.7元/千克，假设不计其他费用．
（1）水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本？
（2）在销售过程中，水果商发现每天荔枝的销售量m（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足关系：m=-10x+120，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？
【答案】（1）水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本（2）当销售单价定为9元/千克时，每天可获利润w最大
【详解】解：（1）设购进荔枝a千克，荔枝售价定为b元/千克时，水果商才不会亏本，由题意得
ba（1-5%）≥（5+0.7）a，
∵a＞0，
∴95%b≥5.7
∴b≥6
所以，水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本．
（2）由（1）可知，每千克荔枝的平均成本为6元，由题意得
w=（x-6）m
=（x-6）（-10x+120）
=-10（x-9）2+90，
∵a=-10＜0
∴w有最大值
∴当x=9时，w有最大值．
所以，当销售单价定为9元/千克时，每天可获利润w最大．
11．如图所示的是某二次函数的图象，求这个二次函数的表达式
【答案】
【分析】由题意，抛物线的顶点为，图像经过点，利用待定系数法，即可求出解析式．
【详解】解：设该二次函数的表达式为．
图象经过顶点和点，
．
将代入可得，
．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的性质进行解题．
12．某超市购进一种商品，进货单价为每件10元在销售过程中超市按相关规定．销售单价不低于1元且不高于19元如果该商品的销售单价x（单位：元/件）与日销售量y（单位：件）满足一次函数关系，设该商品的日销售利润为w元，那么当该商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元
【分析】根据利润等于每件的利润乘以销售量，可列出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【详解】解：根据题意得：
w=（-2x+40）（x-10）
=-2x2+60x-400
=-2（x-15）2+50，
∴当x=15时，w取得最大值，最大值为50．
∵1＜15＜19，
∴x=15符合题意．
∴当该商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD的面积最大时AB的长．
【答案】AB＝150．
【分析】设AB=x m，矩形的面积为y m2，根据题意可以用相应的代数式表示出矩形的面积，从而建立x和y的二次函数关系式，即可解答本题．
【详解】解：设AB＝xm，矩形ABCD的面积设为y（平方米），
则AB＋EF＋CD＝3x，
∴AD＝BC＝．
∴y＝＝．
由于二次项系数小于0，所以y有最大值，
∴当AB=x＝＝＝150时，函数y取得最大值．
当AB=150m，矩形ABCD的面积最大．
【点评】本题考查二次函数的应用以及矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的顶点式求函数的最值．
14．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB为4m，顶部C距离地面的高度为4.4m，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？
【答案】能，理由见解析
【分析】首先建立适当的平面直角坐标系，并利用图象中的数据确定二次函数的解析式，进而得到装货后的最大高度，即可求解．
【详解】解：以C为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，
根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），
设这个函数解析式为y＝kx2．
将A的坐标代入，得y＝﹣1.1x2，
∵货车装货的宽度为2.4m，
∴E、F两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，
∴当x＝1.2时 y＝﹣1.584，
∴GH＝CH﹣CG＝4.4﹣1.584＝2.816（m），
因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m，
∵2.8＜2.816，
所以该货车能够通过此大门．
【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，注意根据线段长度得出各点的坐标，难度一般．
15．画出函数的图象，观察函数图象，请直接写出方程的根.
【答案】x1=-3，x2=1
【分析】求出图象与x轴交点坐标以及顶点坐标进而得出图象，利用图象得出方程的解即可.
【详解】y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴图象的顶点为（-1，-4），
当y=0，则0=（x+1）2-4，
解得：x1=1，x2=-3，
∴图象与x轴交点坐标为：（1，0），（-3，0），
故函数图形如图所示：
观察图象，方程x2+2x-3=0的解为：x1=1，x2=-3.
【点评】此题主要考查了二次函数图象的画法以及利用图象观察方程的解，利用数形结合得出是解题关键．
16．已知抛物线经过、两点，求关于x的一元二次方程的解．
【答案】
【分析】利用抛物线与x轴的交点问题得到ax2+bx+c=0的两根为x1=-3，x2=4，由于方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0可看作关于x-1的一元二次方程，所以x-1=-3或x-1=4，然后解一次方程即可．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（4，0），
∴ax2+bx+c=0的两根为x1=-3，x2=4，
∵方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0可看作关于x-1的一元二次方程，
∴x-1=-3或x-1=4，
解得x1=-2，x2=5．
故答案为x1=-2，x2=5．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
17．已知二次函数的图象如图所示，求的面积．
【答案】1
【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积．
【详解】解：∵二次函数
∴顶点
∵点在图像上且在轴上，即时的坐标
∴
∴
∴的面积
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出交点坐标是关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线于点B、C，求BC的长．
【答案】BC=6．
【分析】先根据y轴上点的坐标特征得到A点坐标为（0，3），再利用BC//x轴，得到点B、C的纵坐标都是3，由此计算得到点B、C的坐标，最后计算BC的长即可．
【详解】解：当x=0时，y=0+3=3
∴点A（0，3）
又∵BC//x轴
∴点B、C的纵坐标都是3
∴
解，得x=±3
∴B（-3，3），C（3，3）
∴BC=3-（-3）=6．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，涉及已知函数值求自变量的值等知识，是这样考点，掌握相关知识是解题关键．
19．如图所示正方形区域是某公园健身广场示意图，公园管理处想在其四个角的三角形区域内种植草皮加以绿化(阴影部分)，剩余部分安装健身器材作为市民健身活动场所(四边形)其中米，且.则当的长度为多少时，市民健身活动场所的面积达到最大?
【答案】当米时，市民健身活动场所的面积达到最大.
【分析】易证：都是等腰直角三角形，设米，则米，得到：，即可得到答案
【详解】四边形是正方形，
.
，
，
都是等腰直角三角形；
设米，则米.
设四边形的面积为，
∴
.
.
，
∴当时，有最大值为.
答：当米时，市民健身活动场所的面积达到最大.
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意，列出二次函数的解析式，是解题的关键.
20．某商品在商场的售价为每件60元，每星期可卖出300件，甲、乙两位网红主播在直播间为商场售货．甲主播每件商品每涨价1元，每星期少卖出10件；改为乙时，每降价1元，每星期可多卖出18件．已知商品的进价为每件40元，通过计算你认为甲、乙每星期谁能使利润最大？
【答案】甲
【分析】根据题意，找出题目中的等量关系，分为涨价和降价两种情况进行分析，列出关系式，然后由二次函数的性质，即可求出答案．
【详解】解：由题意：调整价格包括涨价和降价两种情况；
涨价的情况：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润
时，
当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元；
降价的情况：设降价x元时利润最大，
当时，
答：定价为元时，利润最大，最大利润为6050元
∴甲每星期能使利润最大．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键，根据自变量的取值范围运用函数的性质求最值是本题难点．
21．某公司生产A种产品，它的成本是6元/件，售价是8元/件，年销售量为5万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x万元，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间满足我们学过的二种函数（即一次函数和二次函数）关系中的一种，它们的关系如下表：
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润W（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式，并计算每年投入的广告费是多少万元时所获得的利润最大？
（3）如果公司希望年利润W（万元）不低于14万元，请你帮公司确定广告费的范围．
【答案】（1）y=﹣0.1x2+0.6x+1；
（2）年利润W（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式为W=﹣x2+5x+10，每年投入的广告费是2.5万元时所获得的利润最大为16.25万元；（3）1≤x≤4时，年利润W（万元）不低于14万元．
【详解】试题分析：（1）二次函数的解析式为利用表格数据，即可求出与之间的函数关系式；
（2）根据利润看作是销售总额减去成本费和广告费，利用配方法，结合的取值范围，可求最值．
令，求得的值，即可确定范围.
试题解析：（1）设与的函数关系式为由题意，得
，解得：，
∴函数的解析式为
(2)根据题意,得
∴当时，W最大=16.25．
答：年利润W（万元）与广告费用（万元）的函数关系式为每年投入的广告费是2.5万元时所获得的利润最大为16.25万元．
（3）当时，
解得：
时，年利润（万元）不低于14万元．
22．已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为．
（1）求此二次函数的表达式，并用配方法求顶点的坐标；
（2）直接写出当函数值时，自变量的取值范围．
【答案】；；（2）
【分析】（1）将(-1，0)和(0，3)两点代入二次函数y=-x2+bx+c，求得b和c，从而得出抛物线的解析式；
（2）令y=0，解得x1，x2，得出此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标，进而求出当函数值y>0时，自变量x的取值范围．
【详解】解：（1）由二次函数的图象经过(-1，0)和(0，3)两点，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为(1，4)；
（2）令，得，
解得，，
∴此二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为(3，0)，
∵抛物线开口向下，
∴当时，．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点．
23．在平面直角坐标系中，抛物线．
（1）若抛物线过点，求二次函数的表达式；
（2）指出（1）中为何值时随的增大而减小；
（3）若直线与（1）中抛物线有两个公共点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把点A（-1，6），代入求得a=1，即可求解析式；
（2）a=1>0，二次函数在对称轴左边随的增大而减小；
（3）根据题意只要一元二次方程有两不等根，解不等式得即可．
【详解】（1）把点A（-1，6），代入得：
解得
∴二次函数的表达式
（2）二次函数对称轴
∵a=1>0，
∴二次函数在对称轴左边随的增大而减小
∴当是随的增大而减小；
（3）∵直线与有两个公共点
∴一元二次方程有两不等根
即一元二次方程有两不等根
∴
∴
解得
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴的求法，待定系数法求解析式，（3）正确理解题意是解题的关键．
24．已知抛物线的顶点为，且经过点，求此抛物线的解析式．
【答案】
【分析】由题意二次函数的图像的顶点为（﹣2，﹣4），可设二次函数为：y＝a（x+2）2﹣4，且函数过点（1，）代入函数的解析式求出a值，从而求出二次函数的解析式．
【详解】解：∵二次函数的图像的顶点为（﹣2，﹣4），
∴可设函数解析式为：y＝a（x+2）2﹣4，
∵函数图像经过点（1，）
∴a×9﹣4＝，
，
∴二次函数的表达式为：．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，巧妙设函数的解析式是关键，根据题意设为顶点式，从而减少运算量．
25．写出抛物线y＝﹣x2+4x的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值．
【答案】抛物线的开口向下，对称轴是直线x=2，顶点坐标是（2，4），最大值是4
【分析】先将二次函数转化为顶点式，再根据二次函数的性质解答．
【详解】解：；
∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x=2，顶点坐标是（2，4），最大值是4．
【点评】本题考查了将抛物线的一般式转化为顶点式以及抛物线的性质，属于基础题目，熟练掌握二次函数的基本知识是解题的关键．
26．“垃圾分类，利在千秋”．某废品回收站的废纸回收价为1.5元/千克，每天可回收100千克．回收价格每增加0.1元/千克，每天可多回收废纸40千克．如果废纸销往废品收购公司的价格为2.5元/千克，销售废纸的利润为元，如何定回收价可以使得当天利润不低于150元？
【答案】回收价大于等于且小于等于2元/千克时，可以使得当天利润不低于150元
【分析】设回收价格增加元/千克，则回收价为元/千克，由题意得出关于的二次函数，令，解得相应的值，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：设回收价格增加元/千克，则回收价为元/千克，
根据题意可得：
．
∵，
∴该二次函数的图像开口向下．
当时，即，
解得：，，
∴当时，，
∴．
∴回收价大于等于且小于等于2元/千克时，可以使得当天利润不低于150元．
【点评】本题考查了二次函数在经济问题中的应用，理解题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
27．在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为．将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点，求的值．
【答案】
【分析】根据抛物线向左平移2个单位后，恰经过点，可知原抛物线经过，代入即可．
【详解】解：∵将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点．
∴原抛物线经过，
把代入可得：，
∴．
【点评】本题考查了二次函数的平移，根据平移后经过的点得出原抛物线经过的点是解题关键．
28．某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．写出求y与x的函数关系式，每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
【答案】，当售价定为36元或37元时，月销售利润最大，最大是2720元
【分析】根据销售单价上涨x元，表示出销量，从而列出月销售利润的函数关系式，再通过配方法求出最大值．
【详解】解：当销售单价上涨了x元时，销量是件，
∵每件文具售价不能高于40元，
∴，
列式：，
整理得：，
利用配方法写成顶点式：，
∴当时，有最大值，最大值是，
∵是正整数，
∴取6或7，
当时，，
当时，，
答：当售价定为36或37时，月销售利润最大，最大是2720元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握利润问题的列式方法和求二次函数最值的方法．
29．如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？
【答案】矩形猪舍的长、宽分别为米、米时，猪舍的面积最大，最大面积是平方米．
【分析】设猪舍的宽为，则长为，由题意可得，然后再根据二次函数的性质进行求最大值即可；
【详解】设猪舍的宽为，则长为，
由题意得，
对称轴为，
，，
，
在中，
∵，
∴在对称轴右侧随着的增大而减小，
所以当米时，
即矩形猪舍的长、宽分别为米、米时，猪舍的面积最大，
最大面积是平方米．
【点评】本题考查了二次函数的应用，矩形的面积公式的运用及二次函数的性质，解答时寻找题目的等量关系是关键；
30．如图，一个边长为的正方形花坛是由4块全等的小正方形区域组成的中心对称图形．在小正方形中，点G、E、F分别在、、上，且．在、、五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．问：点E在什么位置时，正方形花坛种植花卉所需的总费用最少，最少为多少元？
【答案】当长为0.5米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用最少，最少为715元
【分析】设米，总费用为w元，根据题意列出二次函数表达式，利用二次函数的性质求解最小值即可．
【详解】解：设米，正方形花坛种植花卉所需的总费用为w元，
由题意：
，
∵，抛物线开口向上，
∴当时，w有最小值715，
答：当长为0.5米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用最少，最少为715元．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，准确列出二次函数的表达式，并熟悉二次函数的性质是解题关键．
31．某汽车出租公司以每辆汽车月租费3000元，100辆汽车可以全部租出．若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元，问每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【答案】每月租出78辆汽车时，该出租公司的月收益最大，最大月收益是304200元
【分析】设每月租出x辆汽车时，该出租公司的月收益最大，月收益是y元，根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的图象与性质求解即可．
【详解】解：设每月租出辆汽车时，该出租公司的月收益最大，月收益为元．
根据题意得：，
即：．
配方得：．
故每月租出78辆汽车时，该出租公司的月收益最大，最大月收益是304200元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值问题，正确的列出函数解析式是解题的关键．
32．已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
【答案】（1）；（2）①1；②点C的坐标是
【分析】(1)将两点分别代入，得,解方程组即可;
（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.
【详解】解：（1）将两点分别代入，得
解得．
所以抛物线的解析式是．
（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，，
作于H．
∵是等腰直角三角形，
∴和也是等腰直角三角形，
∴，
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．
②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得
解得
∴直线的解析式为，
设，
∴，
所以．
所以．
将点代入，
得．
整理，得．
因式分解，得．
解得，或（与点P重合，舍去）．
当时，．
所以点C的坐标是．
【点评】
本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．
x（万元）
0
0.5
1
1.5
2
…
y
1
1.275
1.5
1.675
1.8
…