2024版人教版班级上册期末专项练习第11章：三角形（简答题专练）（解析版）八年级数学人教版

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一、解答题
1．如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点．
（1）图中共有多少个三角形？并把它们表示出来．
（2）的三个顶点是什么？三条边是什么？
（3）以为边的三角形有哪些？
（4）以点为顶点的三角形有哪些？
（5）所对的边是什么？
【答案】（1）图中共有8个三角形，分别是，，，，，，，；（2）;；（3）；（4）；（5）BE，AD或AB
【分析】（1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行计数即可；
（2）由题意依据三角形顶点以及边的表示方法进行表示即可；
（3）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为边的三角形即可；
（4）由题意依据三角形顶点为结合图形进行观察即可；
（5）根据题意对所对的边分情况进行讨论可得.
【详解】解：（1）图中共有8个三角形，分别是，，，，，，，；
（2）的三个顶点是；三条边是；
（3）观察图形可得以为边的三角形有；
（4）观察图形可得以点为顶点的三角形有；
（5）在中，所对的边为AD;
在中，所对的边为AB；
在中，所对的边为BE.
【点评】本题考查三角形的性质，解答此题的关键是根据三角形的角和边的概念进行解答．
2．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(-5，0)，B(-3，0)，C(-1，2)，求出△ABC的面积．
【答案】2
【分析】首先根据题意求出AB的长度和AB边上的高的长度，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：作CD⊥x轴，垂足为点D．
因为A(- 5，0)，B(- 3，0)，C(-1，2)，
所以OA=5，OB=3，CD=2，
所以AB=OA-OB=5-3=2．
所以S△ABC=AB·CD=×2×2=2．
【点评】此题考查了网格中三角形面积的求法，解题的关键是根据题意求出AB的长度和AB边上的高．
3．在△ABC中，AB＝8，BC＝2，并且AC为偶数，求△ABC的周长．
【答案】18
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值，从而求得三角形的周长．
【详解】根据三角形的三边关系得：8﹣2＜AC＜8+2，即6＜AC＜10，
∵AC为偶数，∴AC＝8，∴△ABC的周长为：8+2+8＝18．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系，还要注意第三边是偶数这一条件．
4．根据下列所给条件，判断的形状．
（1），，；
（2）；
（3）；
（4），．
【答案】（1）锐角三角形（2）钝角三角形（3）直角三角形（4）等腰三角形
【分析】（1）通过最大角小于90°即可判断；
（2）通过最大角大于90°即可判断；
（3）通过最大角等于90°即可判断；
（4）通过等腰三角形的定义即可判断．
【详解】（1）通过最大角小于90°所以此三角形为锐角三角形；
（2）通过最大角大于90°所以此三角形为钝角三角形；
（3）通过最大角等于90°所以此三角形为直角三角形；
（4）通过三角形中有两条边相等可知此三角形为等腰三角形．
【点评】此题考查了三角形的分类,知道通过角和边去区分三角形是解题的关键．
5．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=60°，∠C=50°，求∠EAD的度数．
【答案】10°
【分析】先利用三角形内角和定理，利用三角形的高，在直角三角形△ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠EAC、再运用两角的差即可得．
【详解】解：∵∠BAC=60°，∠C=50°
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-90°-∠C=40°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=30°
∴∠EAD=∠DAC-∠EAC=40°-30°=10°
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义．解题关键是利用三角形的高求出∠DAC，角平分线的性质解出∠EAC，熟悉运用两角的和差.
6．在△ABC中，∠ADB=100°，∠C=80°，∠BAD=∠DAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数．
【答案】50°
【分析】由题意根据三角形外角的性质可得∠DAC=20°，然后再计算出∠EBA=30°，在根据三角形外角的性质可得∠BED的度数．
【详解】解：∵∠ADB=100°，∠C=80°，
∴∠DAC=20°，
∵∠BAD=∠DAC，
∴∠BAD=20°，
∴∠DBA=180°﹣100°﹣20°=60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBA=30°，
∴∠BED=30°+20°=50°．
【点评】本题主要考查三角形内角和以及外角的性质，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和以及三角形内角和为180°．
7．如图所示，有一块三角形ABC空地，要在这块空地上种植草皮来美化环境，已知这种草皮每平方米售价230元，AC=12m,BD=15m，购买这种草皮至少需要多少元？
【答案】20700元
【分析】问题的关键是求出三角形ABC的面积．图中已经给出了AC边上的高BD为15米，又知道AC的长，那么三角形ABC的面积就容易求出来了．
【详解】过点B，作BD⊥AC于点D，三角形ABC的面积= ×AC×BD= ×12×15=90平方米，
那么买草皮的费用应该是230×90=20700元．
答：购买这种草皮至少需20700元．
【点评】本题实际上是求三角形ABC的面积．根据三角形的面积等于底乘高除以2，题中告诉了高和底，因此本题很容易就做出来了．
8．一个多边形的内角和与外角和的度数之和为，求这个多边形的边数．
【答案】多边形的边数为7
【分析】设这个多边形的边数为n，根据这个多边形的内角和+外角和360°=1800°，列出方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数是，由题意得，
，
解得：．
答：多边形的边数为7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关，熟练多边形的内角和定理是解题的关键．
9．已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数．
【答案】10゜
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC=70°，又因为AE是∠BAC的平分线，所以∠BAE=∠BAC=35°，再利用AD是BC边上的高求出∠BAD的度数，之后进一步求解即可.
【详解】∵∠B＝65°，∠C＝45°
∴∠BAC=70°
∵AE是∠BAC的平分线
∴∠BAE=∠BAC=35°
∵AD是BC边上的高
∴∠BAD=90°－∠B=25°
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
10．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝50°，∠C＝36°，求∠DAC的度数.
【答案】29°
【分析】由AB=BD，∠B=50°得到∠ADB=65°，再根据三角形的外角的性质即可得到结论.
【详解】∵AB=BD，∠B=50°，
∴∠ADB=(180°-50°)÷2=65°.
∵∠C=36°，
∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=65°－36°=29°.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形外角性质的应用.
11．如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积．
【答案】
【分析】用正方形的面积减去四个三角形的面积即可．
【详解】S四边形ABCD=5×5-×1×2-×4×2-×3×2-×3×3=25-1-4-3-=．
【点评】本题考查了求不规则图形的面积，利用整体减局部的方法是解题关键．
12．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.若∠B=35°，∠E=20°，求∠BAC的度数.
【答案】75°
【详解】试题分析：；利用三角形的外角先求出∠ECD的度数，再求出∠ACD的度数，然后再利用三角形的外角即可求得∠BAC的度数；
试题解析：∵∠B＝35°，∠E＝20°，∴∠ECD＝∠B+∠E＝55°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACD＝２∠ECD＝110°，∴∠BAC＝∠ACD－∠B＝75°；
考点：三角形外角性质．
13．如图，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．
【答案】131°
【分析】先根据∠A=65°，∠ACB=72°得出∠ABC的度数，再由∠ABD=30°得出∠CBD的度数，根据CE平分∠ACB得出∠BCE的度数，根据∠BEC=180°-∠BCE-∠CBD即可得出结论
【详解】在△ABC中，
∵∠A=65°，∠ACB=72°
∴∠ABC=43°
∵∠ABD=30°
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=13°
∵CE平分∠ACB
∴∠BCE=∠ACB=36°
∴在△BCE中，∠BEC=180°﹣13°﹣36°=131°．
【点评】本题考察了三角形内角和定理，在两个三角形中，三个角之间的关系是解决此题的关键
14．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行进和旋转，某一指令规定：机器人先向前方行走2 m，然后左转60°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了多少米?
【答案】机器人共走了12 m.
【分析】第一次回到原处正好转了360°，正好构成一个正六边形，先理解题目意思，再去看关键字来思考问题，来解决问题，最终得出答案．
【详解】解：机器人转了一周共360度，360°÷60°=6，共走了6次，机器人走了6×2=12米．
故答案为12米．
【点评】考查了多边形内角与外角，本题是一个实际问题，要理解“回到原处”就是转了360度，我们平时要多做这种类型的题目，学会抓住关键词即可快速得到正确答案．
15．如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．
（1）若∠C＝70°，∠BAC＝60°，则∠BED的度数是 ；若∠BED＝50°，则∠C的度数是 ．
（2）探究∠BED与∠C的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）55°，80°；（2）∠BED＝90°﹣∠C
【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ABC=50°，根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAC=30°，∠DBE=∠ABC=25°，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】（1）∵∠C＝70°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝50°，
∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DBE＝∠ABC＝25°，
∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝100°，
∴∠BED＝180°﹣100°﹣25°＝55°，
∵∠BED＝50°，
∴∠ABE+∠BAE＝50°，
∴∠ABC+∠BAC＝2×50°＝100°，
∴∠C＝80°；
故答案为55°，80°；
（2）∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABC，∠BAE＝∠BAC，
∵∠BED＝∠ABE+∠BAE＝（∠ABC+∠BAC）＝（180°﹣∠C）＝90°﹣∠C．
【点评】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
16．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC的度数．
【答案】100°
【分析】根据三角形内角和定理及三角形的外角性质进行计算即可.
【详解】∵∠BAC＝120°，
∴∠2＋∠3＝60°，
∵∠1＝∠2，∠4=∠1+∠2
∴∠3＝∠4＝∠1＋∠2＝2∠2，
∴∠2+2∠2＝60°，
∴∠2=20°，
∵∠1＝∠2，
∴∠DAC＝∠BAC-∠1＝120°－20°＝100°.
【点评】本题主要考查三角形的外角性质及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键.
17．已知：如图，D是△ABC内的任意一点．求证：∠BDC=∠1+∠A+∠2．
【答案】证明过程见解析
【分析】连接AD并延长交BC于点E，再根据三角形内角与外角的关系即可解答．
【详解】连接AD并延长交BC于点E，
∵∠BDE是△ABD的外角，
∴∠BDE=∠1+∠BAD，∠CDE=∠CAD+∠2，
∴∠BDE+∠CDE=∠1+∠BAD+∠CAD+∠2，
∵∠BAD+∠CAD=∠A，∠BDC=∠BDE+∠CDE，
∴∠BDC=∠1+∠A+∠2．
考点：三角形的外角性质．
18．如图，中，平分，为延长线上一点，于点，若，，求的度数．
【答案】23°
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义可得出∠CAD的度数，在△ACD中，利用三角形外角定理可求出∠CDP的度数，结合即及三角形外角定理，从而得出即可求得∠P的度数．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，即，
∴．
【点评】本题考查了三角形外角定理、角平分线的定义，利用三角形外角定理及角平分线的定义，求出∠CDP的度数是解题的关键．
19．如图，矩形中，，，点从点沿边以的速度向点移动，同时点从点沿边以的速度向点移动，当、两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动．当的面积比的面积大时，求点运动的时间．
【答案】当的面积比的面积大时，点经过了秒．
【分析】设运动时间为秒，根据题意，列方程求解即可．
【详解】解：设当的面积比的面积大时，点运动了秒．
根据题意得：，
化简得：，
解得：，
∵当时，，
∴舍去．
答：当的面积比的面积大时，点经过了秒．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了三角形面积的计算，理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
20．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，试说明△EPF为直角三角形．
【答案】见解析
【分析】由AB∥CD，可知∠BEF与∠DFE互补，由角平分线的性质可得∠PEF+∠PFE=90°，由三角形内角和定理可得∠P=90°，进而得出结论．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°．
又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，
∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠DFE，
∴∠PEF+∠PFE=（∠BEF+∠DFE）=90°．
∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，
∴∠P=90°，
∴PE⊥PF,
∴△EPF为直角三角形.
【点评】考查综合运用平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和等知识解决问题的能力，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
21．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B＝30°，∠E＝20°，求∠ACE和∠BAC的度数．
【答案】∠ACE=50°，∠BAC=70°.
【详解】试题分析：根据三角形外角性质求出∠ECD，即可求出∠ACE，求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠BAC即可．
试题解析：
∵∠B=30°，∠E=20°，
∴∠ECD=∠B+∠E=50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD=50°，
∴∠ACD=2∠ECD=100°，
∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=100°﹣30°=70°.
22．“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．
（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有 种．
（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头）
【答案】(1)3；（2）至少需要408元钱购买材料．
【分析】（1）根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围，从而确定符合条件的三角形的个数．
（2）求出各三角形的周长的和，再乘以售价为8元/分米，可求其所需钱数．
【详解】解：（1）三角形的第三边x满足：7-3＜x＜3+7，即4＜x＜10．因为第三边又为奇数，因而第三边可以为5、7或9．故要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．
（2）制作这种木框的木条的长为：3+5+7+3+7+7+3+7+9=51（分米），
∴51×8=408（元）．
答：至少需要408元购买材料．
【点评】本题主要考查三角形三边关系的应用，注意熟练运用在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
23．小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，求的度数．
【答案】
【分析】如图，由三角形的外角的性质可得： 可得 再利用三角形的内角和求解 再利用四边形的内角和求解 再求解 从而可得结论．
【详解】解：如图，由三角形的外角的性质可得：







【点评】本题考查的是三角形的内角和，四边形的内角和定理，三角形的外角的性质，平角的定义，掌握以上知识是解题的关键．
24．某市木材市场上木棒规格与价格如下表：
小明的爷爷要做一个三角形的支架养鱼用，现有两根长度为3 m和5 m的木棒，还需要到该木材市场上购买一根．
(1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？
(2)在能做成三角形支架的情况下，选择哪一种规格的木棒最省钱？
【答案】(1) 故规格为3 m，4 m，5 m，6 m，7m的四种木棒可供小明的爷爷选择；(2)当第三根木棒长为3 m时，最省钱．
【分析】（1）根据三角形的三边关系可得5-2＜x＜5+2，再解出不等式可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度；
（2）根据木棒价格可直接选出答案．
【详解】(1) 设第三根木棒的长度为xm，
根据三角形的三边关系可得：5-2＜x＜5+2，
解得2＜x＜8，
x=3，4，5，6，7．共5种选择，
故规格为3 m，4 m，5 m，6 m，7m的四种木棒可供小明的爷爷选择．
(2)当第三根木棒长为3 m时，最省钱．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
25．小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角之和是1380度，则这个多边形的边数n的值是多少？多加的这个内角度数是多少？
【答案】这个多边形的边数n的值是9，多加的这个内角度数是120°．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解．
【详解】解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则
（n﹣2）•180°＝1380°﹣α，
∵1380°＝7×180°+120°，内角和应是180°的倍数，
∴同学多加的一个外角为120°，
∴这是7+2＝9边形的内角和，
答：这个多边形的边数n的值是9，多加的这个内角度数是120°．
【点评】多边形内角和、边角的关系一定要熟悉.会应用即可.
26．如图，在△ABC中，∠A=62°，∠1=20°，∠2=35°，求∠BDC的度数．
【答案】117°
【分析】由题意先根据三角形内角和定理求出∠DBC+∠DCB的度数，进而再由三角形内角和定理即可得出∠BDC的度数．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=62°，∠1=20°，∠2=35°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-∠A-∠1-∠2=180°-62°-20°-35°=63°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-63°=117°.
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
27．如图，为的中线，为的中线．
（1），，求 的度数；
（2）若的面积为40，，则到边的距离为多少．
【答案】（1）；（2）4．
【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；
（2）过作边的垂线即可得：到边的距离为的长，然后过作边的垂线，再根据三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：（1）是的外角，
；
（2）过作边的垂线，为垂足，则为所求的到边的距离，
过作边的垂线，
为的中线，，
，
的面积为40，
，即，解得，
∵为的中线，
∴，
又∵为的中线，
∴，
则有：
．
即到边的距离为4．
【点评】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键．
28．（1）如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°．求∠1的度数．
（2）已知△ABC中，∠B-∠A=70°，∠B=2∠C，求∠A的度数．
【答案】（1）45°；（2）30°
【分析】（1）由三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由三角形的外角性质即可求出∠1的度数．
（2）根据已知可表示出∠A，再根据三角形内角和定理即可分别求得∠A的度数．
【详解】解：（1）∵∠A=60°，∠C=50°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-60°-50°=70°，
∵∠ABC=∠1+∠D，
∴∠1=∠ABC-∠D=70°-25°=45°．
（2）∵△ABC中，∠B-∠A=70°，∠B=2∠C，
∴∠A=∠B-70°=2∠C-70°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C-70°+2∠C+∠C=180°，
解得：∠C=50°，
∴∠A=2×50°-70°=30°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．规格
1 m
2 m
3 m
4 m
5 m
6 m
价格/(元/根)
10
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30
35