(人教A版数学选择性必修一)2025年秋季学期讲义第34讲拓展三：圆锥曲线的方程(弦长问题)(学生版+教师版)

这是一份(人教A版数学选择性必修一)2025年秋季学期讲义第34讲拓展三：圆锥曲线的方程(弦长问题)(学生版+教师版)，共54页。
第09讲 圆锥曲线的方程（弦长问题） 一、知识点归纳 知识点一：弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 知识点二：基本不等式 （当且仅当时等号成立） 二、题型精讲 题型01求椭圆的弦长 【典例1】（2023春·四川成都·高二校联考期末）已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的方程； (2)若直线：与椭圆交于不同的A，B两点，且满足（为坐标原点），求弦长的值．    【典例2】（2023春·广西·高二校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中已知，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为．记点P的运动轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为，求．    【变式1】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知平面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，过定点的直线和曲线交于不同两点、满足，求线段的长． 【变式2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校联考期末）已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），长轴长为2，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)求弦AB的中点坐标及|AB|. 题型02求椭圆的弦长的最值（范围） 【典例1】（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）过点的直线与椭圆交于两点，则的最大值是 . 【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，C上的点到其焦点的最大距离为． (1)求C的方程； (2)若圆的切线l与C交于点A，B，求的最大值． 【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的的标准方程； (2)若直线，的斜率分别为，，且，求的最小值. 【典例4】（2023秋·湖南岳阳·高二湖南省汨罗市第一中学校联考期末）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由. 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值． 【变式2】（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为．点为圆：上任意一点，为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记线段与椭圆交点为，求的取值范围． 【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围． 题型03根据椭圆的弦长求参数 【典例1】（2023春·上海静安·高二统考期末）在平面直角坐标系中，设，动点满足：，其中是非零常数，分别为直线的斜率. (1)求动点的轨迹的方程，并讨论的形状与值的关系； (2)当时，直线交曲线于两点，为坐标原点.若线段的长度，的面积，求直线的方程. 【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为，上顶点为，的面积为，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线与圆相切，且与椭圆相交于、两点，若弦长的取值范围为，求斜率的取值范围． 【典例3】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，的面积为，离心率． (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为k的直线与圆相切，且l与椭圆C相交于两点，若弦长的取值范围为，求的取值范围． 【变式1】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）椭圆C：． (1)求椭圆C的离心率； (2)若、分别是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，且，求点P的坐标； (3)如果l：被椭圆C截得的弦长，求该直线的方程． 【变式2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：与椭圆：，且椭圆过椭圆的焦点.过点且不与坐标轴平行或重合的直线与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若存在直线，使得，求实数的取值范围. 【变式3】（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）椭圆E的方程为，短轴长为2，若斜率为的直线与椭圆E交于两点，且线段的中点为. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l：与圆相切，且与椭圆E交于M，N两点，且，求直线l的方程. 题型04求双曲线的弦长 【典例1】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点. (1)求C的标准方程； (2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度. 【典例2】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为，且过点． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长． 【变式1】（2023秋·广东湛江·高二统考期末）设第一象限的点是双曲线上的一点，已知C的一条渐近线的方程是． (1)求b的值，并证明：； (2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求． 【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）双曲线的焦点的坐标分别为和，离心率为，求： (1)双曲线的方程及其渐近线方程； (2)已知直线与该双曲线交于交于两点，且中点，求直线AB的弦长． 题型05根据双曲线的弦长求参数 【典例1】（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知点，依次为双曲线的左、右焦点，且，令． (1)设此双曲线经过第一、三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率； (2)若，以此双曲线的焦点为顶点，以此双曲线的顶点为焦点得到椭圆C，法向量为的直线与椭圆C交于两点M，N，且，求直线的一般式方程． 【典例2】（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知双曲线的渐近线方程是，右顶点是. (1)求双曲线的离心率； (2)过点倾斜角为的直线与双曲线的另一交点是，若，求双曲线的方程. 【变式1】（2023秋·浙江宁波·高二期末）已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为， (1)求双曲线C的离心率e (2)若直线与C相交于不同的两点A，B，且，求双曲线C的方程． 【变式2】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点且斜率为的直线，与双曲线交于不同的，两点，若，求直线的方程． 【变式3】（2023春·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考阶段练习）已知双曲线C：的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求m的值. 题型06求抛物线焦点弦 【典例1】（2023春·甘肃武威·高二统考开学考试）已知抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线焦点作直线与抛物线交于两点，已知线段的中点横坐标为4，求弦的长度． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为. (1)求； (2)若直线与交于、两点，求线段的长． 题型07求抛物线中非焦点弦 【典例1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆与抛物线的图象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且． (1)求椭圆的离心率． (2)若椭圆的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线相交于不同的两点M、N，且的面积为24，求线段的长度． 【典例2】（2023·广西·统考模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2. (1)求的方程； (2)若为直线上的一动点，过作抛物线的切线为切点，直线与交于点，过作的垂线交于点，当最小时.求. 【变式1】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是坐标轴，它的准线过双曲线的左焦点． (1)求抛物线C的方程； (2)若过点且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求． 【变式2】（2023秋·湖北·高二统考期末）已知抛物线C：上第一象限的一点到其焦点的距离为2． (1)求抛物线C的方程和P点坐标； (2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线过抛物线的焦点，求弦AB的长． 题型08根据抛物线弦长求参数 【典例1】（2023秋·湖南邵阳·高二统考期末）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比到轴的距离大1. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程. 【典例2】（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）已知O为坐标原点，点和点，动点P满足. (1)求动点P的轨迹曲线W的方程并说明W是何种曲线； (2)若抛物线（）的焦点F恰为曲线W的顶点，过点F的直线l与抛物线Z交于M，N两点，，求直线l的方程. 【变式1】（2022春·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且，求直线l的方程. 【变式2】（2022·全国·高三专题练习）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，． (1)求证：，，三点的横坐标成等差数列； (2)已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程．  第09讲 圆锥曲线的方程（弦长问题） 一、知识点归纳 知识点一：弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 知识点二：基本不等式 （当且仅当时等号成立） 二、题型精讲 题型01求椭圆的弦长 【典例1】（2023春·四川成都·高二校联考期末）已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的方程； (2)若直线：与椭圆交于不同的A，B两点，且满足（为坐标原点），求弦长的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得焦点，则椭圆的焦点为， 因为椭圆离心率为， 所以，解得，则， 所以椭圆的方程为． （2）设， 由得，， 易得，则，，， 因为， 所以，解得， 所以 ．    【典例2】（2023春·广西·高二校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中已知，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为．记点P的运动轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，由题可得， 则． 整理得， 故曲线C的方程为． （2）（法一）设， 则两式相减得，则 ， 因为线段MN的中点，所以，所以， 故直线l的方程为，即， 联立方程组，消去y整理得， ，则， 则.      （法二）易知直线斜率存在，设直线方程为， 联立方程组，消去y整理得， ， 则 ,       又， 可求得，即有， 则. 【变式1】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知平面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，过定点的直线和曲线交于不同两点、满足，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数， 则，整理可得， 因此，点的轨迹方程为. （2）解：若直线与轴重合，则、为椭圆长轴的顶点， 若点、，则，，此时，不合乎题意， 若点、，同理可得，不合乎题意， 所以，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 因为，即，所以，，即， 由韦达定理可得，所以，， ，解得， 因此， . 【变式2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校联考期末）已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），长轴长为2，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)求弦AB的中点坐标及|AB|. 【答案】(1) (2)中点坐标，弦长 【详解】（1）因为椭圆C的焦点为和 ，长轴长为， 所以椭圆的焦点在轴上，. 所以. 所以椭圆C的标准方程. （2）设，，AB线段的中点为， 由得， 所以，   所以，， 所以弦AB的中点坐标为， . 题型02求椭圆的弦长的最值（范围） 【典例1】（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）过点的直线与椭圆交于两点，则的最大值是 . 【答案】 【详解】①当直线斜率存在时， 设直线方程为： 联立， 得， 即， 所以， 所以， 令， 则原式， 令， 则原式， 当时取得最大值， 此时，. ②当直线斜率不存在时， 所以的最大值是. 故填：. 【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，C上的点到其焦点的最大距离为． (1)求C的方程； (2)若圆的切线l与C交于点A，B，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为C的离心率为，所以． 因为C上的点到其焦点的最大距离为， 所以，解得，． 因为，所以，故C的方程为． （2）当l的斜率不存在时，可得． 当时，可得，，则． 当时，同理可得． 当l的斜率存在时，设． 因为l与圆相切，所以圆心到l的距离为， 即． 联立得． 设，，则，． ． 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以的最大值为． 【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的的标准方程； (2)若直线，的斜率分别为，，且，求的最小值. 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）由题知，椭圆的离心率为，左顶点为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）得，， 因为直线与椭圆交于，两点， 由题可知，直线斜率为0时，， 所以直线的斜率不为0， 所以设直线， 联立方程，得， 所以， ， 所以 ，解得， 此时恒成立， 所以直线的方程为直线，直线过定点， 此时， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为3. 【典例4】（2023秋·湖南岳阳·高二湖南省汨罗市第一中学校联考期末）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，圆的方程为，的取值范围是 【详解】（1）由题意得：， 故， 双曲线渐的近线方程为， 故椭圆右顶点到双曲线渐近线距离为， 因为，解得：， 故， 所以椭圆方程为； （2）当直线的斜率存在时，设直线为， 联立与，得： ， 由得：， 设， 则， 因为，所以， 其中 ， 整理得：， 将代入中，解得：， 又，解得：，综上：或， 原点到直线的距离为， 则存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且， 该圆的半径即为，故圆的方程为， 当直线斜率不存在时，此时直线的方程为， 与椭圆的两个交点为，或，， 此时，满足要求， 经验证，此时圆上的切线在轴上的截距满足或， 综上：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且； ， 将代入上式， 令，则， 因为，则， 所以， 因为，所以， 故当时，取得最大值，最大值为， 又， 当直线的斜率不存在时，此时， 综上：的取值范围为. 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为， 由题意可得，解得，． 所以，椭圆的方程为． （2）解：若直线与轴平行或重合，此时直线与圆相交，不合乎题意， 设直线的方程为，由题意可得，即. 联立消去得，即， ． 设、，则，． 所以， ． 令，则，则， 当且仅当时等号成立，此时，． 故的最大值为． 【变式2】（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为．点为圆：上任意一点，为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记线段与椭圆交点为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：，， ，则， ∴椭圆的标准方程：； （2）由题意可知：， 设，则， ∴， 由，当时，，当时，， ∴的取值范围； 【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设半焦距为，由使得的点恰有两个可得， 动点到焦点的距离的最大值为，可得，即， 所以椭圆的方程是. （2）圆的方程为，设直线上动点的坐标为. 设，连接OA， 因为直线为切线，故，否则直线垂直于轴，则与直线平行， 若，则，故， 故直线的方程为：， 整理得到：； 当时，若，直线的方程为：；若，则直线的方程为：， 满足. 故直线的方程为，同理直线的方程为， 又在直线和上，即， 故直线的方程为. 联立，消去得， 设，． 则， 从而 ， 又，从而，所以. 题型03根据椭圆的弦长求参数 【典例1】（2023春·上海静安·高二统考期末）在平面直角坐标系中，设，动点满足：，其中是非零常数，分别为直线的斜率. (1)求动点的轨迹的方程，并讨论的形状与值的关系； (2)当时，直线交曲线于两点，为坐标原点.若线段的长度，的面积，求直线的方程. 【答案】(1)动点的轨迹的方程为；讨论过程见解析 (2)或或或 【详解】（1）设， 因为，动点满足：， 分别为直线的斜率， 所以，即， 即动点的轨迹的方程为. 讨论的形状与值的关系如下： 当时，的形状为双曲线； 当时，的形状为焦点位于x轴的椭圆； 当时，的形状为圆； 当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆； （2）当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆，方程为. 由题意知，直线斜率存在， 联立，则， ， 则， 所以， 所以， 设到直线距离为，直线 则， 所以，平方得， 代入上式得，则， 平方得，即， 所以，得，则， 则，所以， 此时成立， 所以直线的方程为， 即或或或.    【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为，上顶点为，的面积为，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线与圆相切，且与椭圆相交于、两点，若弦长的取值范围为，求斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意可知，可得，， 所以，椭圆的方程为. （2）解：设直线的方程为， 因为直线与圆相切，且该圆的圆心为原点，半径为，    则，得， 联立得， 则， 设、，则， 所以，， ， 因为的取值范围是，即， 整理可得，又因为，所以，，解得， 因此，的取值范围是. 【典例3】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，的面积为，离心率． (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为k的直线与圆相切，且l与椭圆C相交于两点，若弦长的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：，可得，， 所以椭圆C的方程为：； （2）设直线的方程为，，， 由，得， 联立，得， 恒成立， 则， 所以， ，                                                      因为的取值范围为， 则，解得， 所以， ， 因为，则， 所以， 所以的取值范围为． 【变式1】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）椭圆C：． (1)求椭圆C的离心率； (2)若、分别是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，且，求点P的坐标； (3)如果l：被椭圆C截得的弦长，求该直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）椭圆C：， ， （2）由（1）可知：， 设，， ， 可得，且， 联立解得：， 所以或或或 （3）设直线l与椭圆的交点分别为, 联立，整理得：， ； 所以弦长， 解得: ， 所以直线的方程： 【变式2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：与椭圆：，且椭圆过椭圆的焦点.过点且不与坐标轴平行或重合的直线与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若存在直线，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为椭圆过点，所以椭圆的焦点坐标为，则， 所以，即椭圆的标准方程为； （2）易知直线的斜率存在，设：， ，，，， 联立直线l与椭圆，，消去y，整理得， 则，即， ，， 联立直线l与椭圆，，消去y，整理得， 则，即， ，， 所以， ， 因为，所以， 即，平方整理得， 因为，所以，设函数，则， 所以函数在上单调递增， 所以， 又，所以， 即的取值范围为. 【变式3】（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）椭圆E的方程为，短轴长为2，若斜率为的直线与椭圆E交于两点，且线段的中点为. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l：与圆相切，且与椭圆E交于M，N两点，且，求直线l的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）由题意得：，所以，设， 因过点且斜率为-1的直线与相交于两点，且恰好是的中点， 则，所以. 又A，B两点在椭圆上，则. 两式相减得：，所以， 所以， 又，得，所以，故椭圆方程为； （2）直线l：与圆相切， 故，即， 联立与得：， 设，则，， 则， 将代入上式得：，解得：， 因为，所以，故，则， 所以直线l的方程为或. 题型04求双曲线的弦长 【典例1】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点. (1)求C的标准方程； (2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度. 【答案】(1)=1 (2)3 【详解】（1）因为直线l经过C的右焦点， 所以该双曲线的焦点在横轴上， 因为双曲线C两条准线之间的距离为1， 所以有， 又因为离心率为2， 所以有代入中，可得， ∴C的标准方程为：； （2） 由上可知：该双曲线的渐近线方程为， 所以直线l的斜率为，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称， 所以两条直线与双曲线的相交弦相等. 又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值， 所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为， 方程为与双曲线方程联立为： ， 设，则有， 【典例2】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为，且过点． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由双曲线渐近线方程为，可设双曲线方程为：， 又双曲线过点， 双曲线的方程为： （2）设，，联立，化为． ∵直线与双曲线C相交于A，B两点，∴，化为． ∴，（*） ∵，∴．∴， 又，，∴， 把（*）代入上式得，化为．满足．∴． 由弦长公式可得 【变式1】（2023秋·广东湛江·高二统考期末）设第一象限的点是双曲线上的一点，已知C的一条渐近线的方程是． (1)求b的值，并证明：； (2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【详解】（1）的渐近线方程为，故， 双曲线方程为，在双曲线上，所以， 要证，只需证，由于，若，显然成立，若时，只需要证明，即证，因此只需要证明，由，得，而，故成立，因此 （2）联立直线与双曲线方程， 设,则，所以由弦长公式得：， 【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）双曲线的焦点的坐标分别为和，离心率为，求： (1)双曲线的方程及其渐近线方程； (2)已知直线与该双曲线交于交于两点，且中点，求直线AB的弦长． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由题意可得，可得＝4，且焦点在轴上， 所以， 所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：； （2）由于中点不在轴上，根据双曲线的对称性可得直线的斜率必存在， 设直线：，， 联立， 消去得 则，，解得， 则 题型05根据双曲线的弦长求参数 【典例1】（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知点，依次为双曲线的左、右焦点，且，令． (1)设此双曲线经过第一、三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率； (2)若，以此双曲线的焦点为顶点，以此双曲线的顶点为焦点得到椭圆C，法向量为的直线与椭圆C交于两点M，N，且，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）渐近线，，，则， 直线与直线垂直，则，即，即， 解得，（舍去负值）. （2）直线的法向量为，设直线方程为， 设椭圆方程为，则，，，， 故椭圆方程为，联立方程，即， ，即， 设，，， ，解得. 故直线方程为或. 【典例2】（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知双曲线的渐近线方程是，右顶点是. (1)求双曲线的离心率； (2)过点倾斜角为的直线与双曲线的另一交点是，若，求双曲线的方程. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：因为双曲线，故渐近线方程是：，又渐近线方程是，故，即，故， 故，； （2）解：因为直线的倾斜角为，故直线斜率是1，又直线经过，则直线方程为，设， 由，消去得， 故，解得，又， 则，解得，故，， 故双曲线的方程是. 【变式1】（2023秋·浙江宁波·高二期末）已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为， (1)求双曲线C的离心率e (2)若直线与C相交于不同的两点A，B，且，求双曲线C的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）可设双曲线C的方程为，则其渐近线方程为， 所以， 所以离心率； （2）设，则由得， 所以， 因为， 所以，得， 故双曲线C的方程为． 【变式2】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点且斜率为的直线，与双曲线交于不同的，两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为双曲线的中心在原点，焦点在轴上， 故可设双曲线的方程是， 又已知， 又，， 所以双曲线的方程是； （2）由题意得直线的方程为， 由得， 由题知得且 ． 设，则， ， 解得或， ， 所以直线的方程为． 【变式3】（2023春·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考阶段练习）已知双曲线C：的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求m的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）双曲线离心率为，实轴长为2， ，， 解得，， ， 所求双曲线C的方程为； （2）设,, 联立，，， ，． ， ，解得． 题型06求抛物线焦点弦 【典例1】（2023春·甘肃武威·高二统考开学考试）已知抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线焦点作直线与抛物线交于两点，已知线段的中点横坐标为4，求弦的长度． 【答案】(1)； (2)10. 【详解】（1）因为抛物线过点，则有，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）由（1）知，抛物线的焦点，准线方程为， 设点的横坐标分别为，而线段的中点横坐标为4，则有， 因为点是过抛物线焦点的直线与抛物线的两个交点， 因此， 所以弦的长度为10. 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为. (1)求； (2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）为抛物线的焦点，，解得：. （2）由（1）知：抛物线； 直线， 由得：， 设，，则， ，. 【典例3】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知抛物线过点. (1)求抛物线的方程，并求其准线方程; (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度. 【答案】(1)，. (2) 【详解】（1）抛物线过点，则， 故抛物线的方程为，其准线方程为. （2）抛物线的方程为，焦点为， 则直线的方程为， 联立，可得，， 设，则， 由抛物线定义可得， 故. 【变式1】（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）已知抛物线的准线的方程为，过点作倾斜角为的直线交该抛物线于两点，．求： （1）的值； （2）弦长 【答案】（1）2；（2）8. 【详解】解：（1）由准线的方程为，可知：，即 （2）易得直线，与联立， 消去得，，，， 所以：弦长． 【变式2】（2023秋·湖南怀化·高二统考期末）已知抛物线的准线方程是是抛物线焦点． (1)求抛物线焦点坐标及其抛物线方程： (2)已知直线过点，斜率为2，且与抛物线相交于两点，求． 【答案】(1)焦点是，抛物线的方程为； (2)5 【详解】（1）抛物线准线为，因此，所以抛物线的焦点是 故抛物线的方程为 （2）由题意可知直线的方程为，设 联立，整理得 由韦达定理可得， 所以 【变式3】（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为． (1)求的标准方程； (2)若直线与交于、两点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设抛物线的标准方程为． 因为的顶点在原点，焦点坐标为，所以，则， 故的标准方程为． （2）解：抛物线的准线方程为． 设、，因为直线过点， 所以、到准线的距离分别为，． 联立可得，则， 所以，，因此，. 题型07求抛物线中非焦点弦 【典例1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆与抛物线的图象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且． (1)求椭圆的离心率． (2)若椭圆的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线相交于不同的两点M、N，且的面积为24，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵抛物线方程为∴其焦点为，抛物线的准线方程为． 设点，故到准线的距离为． 即，∴ 因为点P在第一象限，代入抛物线方程解得． 根据点P在椭圆上，将P点坐标代入椭圆方程，化简得． 即，所以，则椭圆E的离心率． 故答案为： （2）因为椭圆的焦距为2，所以，所以， 所以椭圆方程为． 抛物线的方程为．且，． 因为直线l过B且不与坐标轴垂直，不妨设直线l的方程为，，且． 设点，，联立l与 消去x得：． 所以，． 所以．所以． 故答案为： 【典例2】（2023·广西·统考模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2. (1)求的方程； (2)若为直线上的一动点，过作抛物线的切线为切点，直线与交于点，过作的垂线交于点，当最小时.求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知，， 的方程为. （2）抛物线的焦点， 设，过点的抛物线的切线方程为：， 消去得：，① 即，② 此时①可化为，解得 设直线，直线， 则为方程②的两根，故 且，可得，令点， 由②知，，故， 则直线方程为：，显然 因为直线与直线垂直， 则直线方程为：， 故， ，当且仅当时，时取等号.此时，. 由（*）得， 【变式1】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是坐标轴，它的准线过双曲线的左焦点． (1)求抛物线C的方程； (2)若过点且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求． 【答案】(1) (2)16 【详解】（1）双曲线的左焦点为，故抛物线C的准线方程为， 又因为抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，设抛物线C的方程为， 所以，解得， 所以拋物线C的方程为； （2）因为直线MN过点且斜率为1， 所以直线MN的方程为，即， 联立方程，消元整理得，， 设，所以， 所以. 【变式2】（2023秋·湖北·高二统考期末）已知抛物线C：上第一象限的一点到其焦点的距离为2． (1)求抛物线C的方程和P点坐标； (2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线过抛物线的焦点，求弦AB的长． 【答案】(1)，P点坐标为 (2) 【详解】（1）解：由题意得： 设直线的斜率为，则直线的方程为，设，， 由，消去可得， ∴， 记抛物线中， ，∴，解得， ∴直线的方程为或. 【典例2】（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）已知O为坐标原点，点和点，动点P满足. (1)求动点P的轨迹曲线W的方程并说明W是何种曲线； (2)若抛物线（）的焦点F恰为曲线W的顶点，过点F的直线l与抛物线Z交于M，N两点，，求直线l的方程. 【答案】(1)曲线的方程为，它是焦点为的双曲线的右支. (2)或． 【详解】（1）解： 动点满足， 点的轨迹曲线为双曲线的一支，由双曲线的定义有，， ， 曲线的方程为； （2）解：由（1）可知曲线的顶点， ， ， 所以抛物线的方程为． 由题意，直线的倾斜角不能为0， 设直线的方程为，设，，，， 代入到消去得：， ， ，， ， 或， 直线的方程为或． 【变式1】（2022春·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）根据抛物线的定义得，解得：， 所以抛物线方程是 （2）抛物线的焦点， 直线的斜率不可能为0，设直线：， 与抛物线方程联立得， 设，则， ，解得：， 所以直线的方程是或. 【变式2】（2022·全国·高三专题练习）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，． (1)求证：，，三点的横坐标成等差数列； (2)已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）证明：由题意设． 由得，得， 所以，． 因此直线的方程为，直线的方程为． 所以，①．② 由①、②得，因此，即． 所以，，三点的横坐标成等差数列； （2）由（1）知，当时， 将其代入①、②并整理得：，，所以，是方程的两根， 因此，，又，所以． 由弦长公式得．又， 所以或，因此所求抛物线方程为或．