(人教A版数学选择性必修一)2025年秋季学期讲义第32讲拓展一：中点弦问题(学生版+教师版)

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第07讲 拓展一：中点弦问题 一、知识点归纳 知识点01：相交弦中点（点差法）： 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 知识点02：点差法： 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 二、题型精讲 题型01求直线方程 【典例1】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）过点的直线与椭圆交于两点，且点M平分弦，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）（1）求过点，与双曲线离心率相等的双曲线的标准方程. （2）已知双曲线，求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 【典例3】（2023春·四川·高二统考期末）已知直线与抛物线相交于、两点. (1)若直线过点，且倾斜角为，求的值； (2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程. 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知椭圆的长轴比短轴长2，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，求的方程． 【变式3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程． 题型02处理存在性问题 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为为上的动点，垂直于动直线，垂足为，当为等边三角形时，其面积为. (1)求的方程； (2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【典例2】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点. (1)求C的标准方程； (2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：，A为椭圆的下顶点，设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，当时，求的取值范围. 【典例2】（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线和椭圆交于两点，且的周长为． (1)求的方程； (2)设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围． 【变式1】（2023·天津·校考模拟预测）已知曲线的方程为，曲线是以、为焦点的椭圆，点为曲线与曲线在第一象限的交点，且． (1)求曲线的标准方程； (2)直线与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点在曲线上，求直线的斜率的取值范围． 【变式2】（2023春·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率. （1）求椭圆的方程； （2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为，求直线倾斜角的取值范围. 题型05定值问题 【典例1】（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为. （1）求椭圆的方程； （2）设过椭圆的右焦点与坐标轴不垂直的直线交于点，，交轴于点，为线段的中点，且为垂足.问：是否存在定点，使得的长为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【典例2】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考开学考试）已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)设，是双曲线右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线交AB于，点的横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由. 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为2． (1)求实数的值； (2)设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作，为垂足，试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，则求出该定点的坐标及定值，若不存在，请说明理由．  第07讲 拓展一：中点弦问题 一、知识点归纳 知识点01：相交弦中点（点差法）： 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 知识点02：点差法： 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 二、题型精讲 题型01求直线方程 【典例1】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）过点的直线与椭圆交于两点，且点M平分弦，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，直线斜率为，则有， ①-②得， 因为点为中点，则， 所以，即， 所以直线的方程为，整理得 故选：B 【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）（1）求过点，与双曲线离心率相等的双曲线的标准方程. （2）已知双曲线，求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）双曲线过点，所求双曲线的焦点在轴上， 又所求双曲线离心率与双曲线离心率相同， 可设其方程为：， 将代入双曲线方程得：，则所求双曲线标准方程为：. （2）方法一：由题意知：所求直线的斜率存在， 可设其方程为：，即， 由得：， 设，，， 又为中点，，解得：， 当时，满足，符合题意； 所求直线的方程为：，即； 方法二：设，， 均在双曲线上，， 两式作差得：， 直线的斜率， 又为中点，，，， 经检验：该直线存在， 所求直线的方程为：，即. 【典例3】（2023春·四川·高二统考期末）已知直线与抛物线相交于、两点. (1)若直线过点，且倾斜角为，求的值； (2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又因直线过点， 所以直线的方程为：，即， 联立得， 设，， 所以，， 所以 （2）因、在抛物线上， 所以，， 两式相减得：， 得， 故直线的斜率为4， 所以直线的方程为：，即 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，则， 两式相减得直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为， 经检验此时与双曲线有两个交点. 故选：A 【变式2】（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知椭圆的长轴比短轴长2，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，求的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得．． 又椭圆的长轴比短轴长2，所以， 联立方程组，解得 所以椭圆的方程为． （2）显然点在椭圆内， 设，因为在椭圆上，所以， 两个方程相减得，即， 因为线段的中点为，所以，， 所以． 所以的方程为，即． 【变式3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 故抛物线的方程为． （2）   易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，即. 题型02处理存在性问题 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为为上的动点，垂直于动直线，垂足为，当为等边三角形时，其面积为. (1)求的方程； (2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）∵为等边三角形时，其面积为， ∴，解得， 根据和抛物线的定义可知，落在准线上，即， 设准线和轴交点为，易证，于是， ∴的方程为； （2）假设存在，使得，则线为段的中点， 设，依题意得，则， 由可得，所以切线的斜率为， 设，，线段的中点， 由，可得， 所以， 整理可得：，即，所以， 可得，又因为， 所以当时，，此时三点共线，满足为的中点， 综上，存在，使得点为的中点恒成立，. 【典例2】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点. (1)求C的标准方程； (2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）解：因为双曲线C的右焦点为，所以，可得， 又因为双曲线C的一条渐近线经过点，可得，即， 联立方程组，解得， 所以双曲线C的标准方程为. （2）解：假设存在符合条件的直线，易知直线l的斜率存在， 设直线的斜率为，且， 则，两式相减得，所以， 因为的中点为，所以，所以，解得， 直线的方程为，即， 把直线代入，整理得， 可得，该方程没有实根，所以假设不成立， 即不存在过点的直线与C交于两点，使得线段的中点为. 【变式1】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为2． (1)求C的方程； (2)是否存在直线l，经过点且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在；. 【详解】（1）双曲线的渐近线为， 因为双曲线的一条渐近线方程为，所以， 又焦点到直线的距离，所以， 又，所以，，所以双曲线方程为 （2）假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，则，， 所以，， 两式相减得，即 即，所以，解得， 所以直线的方程为，即， 经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件， 所以直线的方程为. 题型03求弦中点的轨迹方程 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点 的直线与曲线相交于点，． (1)求曲线的方程； (2)动弦满足： ，求点的轨迹方程； 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）因为动点到两定点，的距离之和为， 所以曲线是以，为焦点的椭圆，，， 所以，，所以曲线的方程为； （2）因为，所以为中点，设， 当的斜率存在且不为0时，将，代入椭圆方程中得： 两式相减得，即，所以， 即，，整理得； 当的斜率不存在或为0时，有或，也满足； 所以点的轨迹方程是； 综上，曲线 的方程为，点的轨迹方程是. 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点轨迹方程. 【答案】. 【详解】方法1：设，，弦的中点为，则， 当直线的斜率存在时，. 因为两式相减，得. 所以，即， 即. 当直线斜率不存在，即轴时，的中点为，适合上式， 故所求轨迹方程为. 方法2：当直线的斜率存在时，设直线的方程为（），由得. 所以 所以. 设，，的中点为， 则，. 所以 . 所以 消去参数，得. 当直线的斜率不存在时，即轴时，的中点为，适合上式， 故所求轨迹方程为. 【变式1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程. 【答案】 【详解】设，弦的中点，则， 将代入椭圆方程得， 两式相减得， 所以， 当时，， 因为，所以，则， 整理得； 当时，则直线方程为，代入椭圆方程解得 所以满足上述方程， 故点的轨迹方程. 【变式2】（2022·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为， 设中点坐标为，则， 所以，两式相减可得， ，即， 由于在椭圆内部，由得， 所以时，即直线与椭圆相切， 此时由解得或， 所以， 所求得轨迹方程为． 故答案为：． 题型04确定参数的取值范围 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：，A为椭圆的下顶点，设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，当时，求的取值范围. 【答案】 【详解】由题设，联立，得， 由题设知，即①， 设，则， 因为为弦的中点， ∴，从而， 又由题意知,， ∴， ∵，则，即②， 把②代入①得，解得，又， 故的取值范围是. 【典例2】（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线和椭圆交于两点，且的周长为． (1)求的方程； (2)设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由椭圆的定义知，的周长为，所以， 由离心率，解得，所以的方程为． （2）设，的坐标分别为，，， 则有 ①， ②，， 由①−②可得：，即， 将条件及， 带入上式可得点的轨迹方程为， 所以，， 所以， 所以线段长度的取值范围为． 【变式1】（2023·天津·校考模拟预测）已知曲线的方程为，曲线是以、为焦点的椭圆，点为曲线与曲线在第一象限的交点，且． (1)求曲线的标准方程； (2)直线与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点在曲线上，求直线的斜率的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【详解】（1）设椭圆方程为， 依题意，，，利用抛物线的定义可得，解得， 点的坐标为，所以， 由椭圆定义，得． ， 所以曲线的标准方程为； （2）设直线与椭圆的交点，，，，，的中点的坐标为，， 设直线的方程为， (当时,弦中点为原点,但原点并不在上,同样弦中点为原点，不适合题意) 与联立，得， 由得①， 由韦达定理得，，， 则，， 将中点，代入曲线的方程为， 整理，得，② 将②代入①得， 令，则，解得，． 所以直线的斜率的取值范围为且． 【变式2】（2023春·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率. （1）求椭圆的方程； （2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为，求直线倾斜角的取值范围. 【答案】（1）；（2）直线倾斜角的取值范围为，，. 【详解】（1）设椭圆方程为， 由题意得，，所以， ， 所以椭圆的方程为； （2）设直线的方程为， 由得， 则，即①， 设，，，，则， 因为线段中点的横坐标为，所以， 化简得，所以②， 把②代入①整理得，解得或， 所以直线倾斜角的取值范围为，，． 题型05定值问题 否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，定圆： 【详解】（1）设双曲线的右焦点，则点到渐近线的距离为， 即，解得，又渐近线方程为，即，且， 解得，，所以双曲线方程为. （2）设，AB的中点为， 由中点的横坐标为2可得， 因为，是双曲线上不同的两点，所以 ， 得， 当存在时，， 因为AB的中垂线为直线l，所以，即， 所以过定点， 当不存在时，，关于轴对称，的中垂线为轴，此时也过， 所以存在定圆：，使得被圆截得的弦长为定值. 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为2． (1)求实数的值； (2)设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作，为垂足，试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，则求出该定点的坐标及定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，定点为，为定值1 【详解】（1）抛物线：化为标准方程为：，其焦点，因为斜率一定存在，设其方程为， 联立方程得：，整理得：，恒成立． 其中，，，， 因为焦点弦长，所以当时，弦长． 所以，实数的值为． （2）由题意可知直线的斜率存在，设其方程为． 联立方程得：，整理得：，． 其中，，，， 因为以为直径的圆经过点，所以． 又因为， ∵，∴． 所以直线过定点， 又因为，所以为直角三角形， 所以当为斜边中点时，为定值， 此时． 所以定点为，为定值1．