高考数学精品讲义练习【一轮复习】第三章　3．2　导数与函数的单调性

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2．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．
1．函数的单调性与导数的关系
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；如果f′(x)0，得x>1，所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意：一是单调性应在函数的定义域内讨论；二是多个单调性相同的单调区间之间不能用并集，要用“，”或“和”隔开．
【对点训练1】 (1)定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝x sin x＋cs x，则f(x)的单调递减区间是( D )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))
B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))和 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))和 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
解析：由f(x)＝x sin x＋cs x，可得f′(x)＝sin x＋x cs x－sin x＝x cs x．令f′(x)＝x cs xf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)))
C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)))>f(1)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))
D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)))>f(1)
【解析】 由f(x)＝x sin x，x∈R，得f′(x)＝sin x＋x cs x，当00，所以f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增．因为 eq \f(π,2)> eq \f(π,3)>1> eq \f(π,5)>0，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))>f(1)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5))).故选A.
(2)已知f(x)＝sin x－x＋1，则不等式f(m2)＋f(3m＋2)>2的解集为( B )
A．(－3，0)
B．(－2，－1)
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
【解析】 令g(x)＝f(x)－1＝sin x－x，则g′(x)＝cs x－1≤0，所以函数g(x)在R上单调递减，因为g(－x)＝－sin x＋x＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，由f(m2)＋f(3m＋2)>2，得f(m2)－1>－f(3m＋2)＋1＝－[f(3m＋2)－1]，即g(m2)>－g(3m＋2)＝g(－3m－2)，所以m2a B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
【解析】 由题意知a＝ eq \f(31,32).由泰勒展开式，得cs x≈1－ eq \f(x2,2！)＋ eq \f(x4,4！)，sin x≈x－ eq \f(x3,3！)＋ eq \f(x5,5！)，所以b＝cs eq \f(1,4)≈1－ eq \f(1,2)× eq \f(1,16)＋ eq \f(1,24)× eq \f(1,256)＝ eq \f(31,32)＋ eq \f(1,24)× eq \f(1,256)，c＝4sin eq \f(1,4)≈4× eq \f(1,4)－ eq \f(1,6)× eq \f(1,64)＋ eq \f(1,120)× eq \f(1,1 024) ＝1－ eq \f(1,6)× eq \f(1,16)＋ eq \f(1,120)× eq \f(1,256)＝ eq \f(95,96)＋ eq \f(1,120)× eq \f(1,256)，所以a－f(1－2x)＝f(2x－1)，即x＋1>2x－1，解得x0，∴f(x)在(0，2π)上单调递增．故选A.
2．（5分）设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象为( C )
解析：由题图可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以y＝f′(x)c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
解析：f(x)＝ln x＋ln (2－x)的定义域为(0，2)，f′(x)＝ eq \f(1,x)＋ eq \f(－1,2－x)＝ eq \f(1,x)＋ eq \f(1,x－2)＝ eq \f(2x－2,x(x－2))，令f′(x)>0可得0