高考数学精品讲义练习【一轮复习】第三章　3．4　导数与函数的极值、最值

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2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值．
3．掌握利用导数研究函数最值的方法，会求闭区间上函数的最大值和最小值．
1．函数的极值
(1)函数极值的定义：如图，函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)0(0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
2．函数的最大（小）值
(1)函数最大（小）值的再认识
①一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值；
②若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数在[a，b]上的最小值，f(b)为函数在[a，b]上的最大值；若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数在[a，b]上的最大值，f(b)为函数在[a，b]上的最小值．
(2)导数求最值的一般步骤
设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
3．三次函数的图象、单调性、极值
设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，记Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并设x1，x2是方程f′(x)＝0的根，且x10
(2)a0，解得c≠0，即c∈(－∞，0)∪(0，＋∞).
考点1 利用导数求函数的极值
命题角度1 根据导函数的图象判断函数的极值
【例1】 （多选）函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( ABD )
A．函数y＝f(x)在(－1，3)上单调递增
B．函数y＝f(x)在(3，5)上单调递减
C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值
D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
【解析】 对于A，由题中图象知，当x∈(－1，3)时，f′(x)>0，此时y＝f(x)单调递增，故A正确；对于B，当x∈(3，5)时，f′(x)0，解得x>ln a，令f′(x)0，可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，
不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1，
所以a的取值范围为(1，＋∞).
方法二 f(x)的定义域为R，且f′(x)＝ex－a.
若f(x)有极小值，则f′(x)＝ex－a有零点，
令f′(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，
可知y＝ex与y＝a的图象有交点，则a>0.
当a>0时，令f′(x)>0，解得x>ln a，令f′(x)0等价于g(a)>g(1)，所以a>1，
所以a的取值范围为(1，＋∞).
根据函数的极值（点）求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：求解后验证根的合理性．
【对点训练1】 (1)（多选）设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( BC )
A．f(x)有两个极值点
B．f(－2)为函数f(x)的极小值
C．f(x)有两个极小值
D．f(－1)为函数f(x)的极小值
解析：由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，所以f′(x)0，∴f′(2)＝4a－2＝0，解得a＝ eq \f(1,2)，∴f(x)＝2ln x＋ eq \f(1,2)x2－3x，f′(x)＝ eq \f(2,x)＋x－3＝ eq \f((x－1)(x－2),x)，∴f(x)在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，∴f(x)的极大值为f(1)＝ eq \f(1,2)－3＝－ eq \f(5,2).故选B.
(3)（2025·八省联考改编）已知函数f(x)＝a ln x＋ eq \f(b,x)－x，若x＝1是f(x)的极小值点，则b的取值范围为(1，＋∞)．
解析：由题可得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ eq \f(a,x)－ eq \f(b,x2)－1＝ eq \f(－x2＋ax－b,x2)，因为x＝1是f(x)的极小值点，所以f′(1)＝－1＋a－b＝0⇒a＝b＋1，所以f′(x)＝ eq \f(－x2＋(b＋1)x－b,x2)＝ eq \f(－(x－1)(x－b),x2)，若b≤0，令f′(x)>0⇒x∈(0，1)，令f′(x)