高考数学精品讲义练习【一轮复习】第二章　2．11　函数模型及其应用

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第二章　2．11　函数模型及其应用，共13页。试卷主要包含了溶液酸碱度是通过pH来计量的等内容，欢迎下载使用。
1．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．
2．了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等不同函数类型增长的含义．
1．六种常见的函数模型
2.三种函数模型性质比较
教材拓展
1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
2．充分理解题意并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．
3．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × )
(3)不存在x0，使ax01)的增长速度．( √ )
2．(人教A版必修第一册P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻已经卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( D )
A．40万元 B．60万元
C．80万元 D．120万元
解析：当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元).故该商人共获利40＋80＝120(万元).故选D.
3．(人教A版必修第一册P119T5改编)有一组实验数据如下表：
则最能体现这组数据关系的函数模型是( D )
A．y＝2x+1－1 B．y＝x3
C．y＝2lg2x D．y＝x2－1
解析：将各点(x，y)分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.故选D.
4．(人教B版必修第二册P43例2改编)从盛满10 L纯硫酸的容器里倒出1 L，然后用水填满，这样继续下去，第三次填满后的硫酸浓度为( D )
A．70.4% B．67.2%
C．81% D．72.9%
解析：每次填满后，硫酸浓度都是原来的 eq \f(9,10)，所以第三次填满后的硫酸浓度为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,10))) eq \s\up12(3)×100%＝72.9%.故选D.
考点1 利用函数图象刻画变化过程
【例1】 (2024·内蒙古赤峰一模)在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是( D )
【解析】 对于A，点P在第一条边上时，y＝x，但点P在第二条边上运动时，y是随x的增大先减小(减到最小时y即为三角形的第二条边上的高的长度)，再增大，对比图象可知，A错误；对于B，y与x的函数图象一定不是对称的，B错误；对于C，一开始y与x的关系不是线性的，C错误；对于D，因为函数图象左右对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为a，点P在第一条边上时(即0≤x≤a时)，y＝x，点P在第二条边上运动时(即a≤x≤2a时)，y＝ eq \r(a2＋(x－a)2)，依然单调递增，点P在第三条边上运动时(即2a≤x≤3a时)，y＝ eq \r(a2＋(3a－x)2)，单调递减，点P在第四条边上运动时(即3a≤x≤4a时)，y＝4a－x，单调递减，且已知y关于x的函数图象关于直线x＝2a＝ eq \f(l,2)(其中l＝4a)对称，D正确．故选D.
判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
【对点训练1】 如图是一个无水游泳池，ABCD­A′B′C′D′是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的(单位时间内注入的水量不变)，水面与AB的交点为M，则AM的高度h随时间t变化的图象可能是( A )
解析：由题意可知，当往游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱柱”状，且直棱柱的高不变，刚开始水面面积逐渐增大，水的高度增长得越来越慢，当水面经过D点后，水面的面积为定值，水的高度匀速增长，故符合条件的函数图象为A中的图象．故选A.
考点2 已知函数模型解决实际问题
【例2】 (1)记水的质量为d＝ eq \f(S－1,ln n)，并且d越大，水质量越好．若S不变，且d1＝2.1，d2＝2.2，则n1与n2的关系为( C )
A．n1n2
C．若Sn2
D．若Sn2；若S>1，则n11，则 eq \f(S－1,2.1)> eq \f(S－1,2.2)，可得e eq \s\up6(\f(S－1,2.1))>e eq \s\up6(\f(S－1,2.2))，即n1>n2；若S＝1，则 eq \f(S－1,2.1)＝ eq \f(S－1,2.2)＝0，可得n1＝n2＝1；若S0，∴b＝ eq \f(\r(5)－1,2).故选A.
求解已知函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数的值．
【对点训练2】 (1)(2024·四川德阳三模)如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在7 ℃的保鲜时间为288小时，在21 ℃的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过( A )
A．14 ℃ B．15 ℃
C．13 ℃ D．16 ℃
解析：依题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e7a＋b＝288，,e21a＋b＝32，))则e14a＝ eq \f(1,9)，即e7a＝ eq \f(1,3)，显然a