高考数学精品讲义练习【一轮复习】第三章　3．1　导数的概念及其意义、导数的运算

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第三章　3．1　导数的概念及其意义、导数的运算，共11页。试卷主要包含了复合函数的定义及其导数，下列求导运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．了解导数的概念，理解导数的几何意义，掌握基本初等函数的导数．
2．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|x＝x0．
f′(x0)＝ eq \(lim,\s\d7(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝ eq \(lim,\s\d7(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)．
(2)函数y＝f(x)的导函数f′(x)＝ eq \(lim,\s\d7(Δx→0)) eq \f(f(x＋Δx)－f(x),Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f(x),g(x))))′＝ eq \f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2) (g(x)≠0).
(4)[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
教材拓展
1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数．
2．曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．注意“在点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，但不一定在曲线上．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f′(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．( √ )
(2)函数f(x)＝sin (－x)的导数f′(x)＝cs x．( × )
(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).( × )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
2．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T1，2改编)函数y＝ eq \f(x3－1,sin x)的导数为 eq \f(3x2sin x－cs x(x3－1),sin2x)；函数y＝3xe-3x的导数为3xe-3xln 3－3x+1e-3x．
解析：y′＝ eq \f((x3－1)′sin x－(sin x)′(x3－1),(sin x)2)＝ eq \f(3x2sin x－cs x(x3－1),sin2x).
y′＝(3x)′e-3x＋3x(e-3x)′＝3xe-3xln 3－3x+1e-3x.
3．(人教A版选择性必修第二册P81T6改编)已知函数f(x)满足f(x)＝f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))cs x－sin x，则f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝1－ eq \r(2)．
解析：f′(x)＝－f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))sin x－cs x，令x＝ eq \f(π,4)，得f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－ eq \f(\r(2),2)f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))－ eq \f(\r(2),2)，解得f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝1－ eq \r(2).
4．(人教A版选择性必修第二册P82T11改编)已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝a ln x＋2在点(1，2)处的切线平行，则a＝2e．
解析：由y＝xex，得y′＝ex(x＋1)，所以该曲线在点(1，e)处的切线斜率为2e.由y＝a ln x＋2，得y′＝ eq \f(a,x)，所以该曲线在点(1，2)处的切线斜率为a.因为两切线平行，所以a＝2e.
考点1 导数的概念
【例1】 已知f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：
(1) eq \(lim,\s\d7(Δx→0)) eq \f(f(x0)－f(x0－Δx),2Δx)；
(2) eq \(lim,\s\d7(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0－Δx),Δx).
【解】 (1)∵ eq \(lim,\s\d7(Δx→0)) eq \f(f(x0)－f(x0－Δx),x0－(x0－Δx))＝f′(x0)，即 eq \(lim,\s\d7(Δx→0)) eq \f(f(x0)－f(x0－Δx),Δx)＝f′(x0)＝k，
∴ eq \(lim,\s\d7(Δx→0)) eq \f(f(x0)－f(x0－Δx),2Δx)＝ eq \f(k,2).
(2)∵ eq \(lim,\s\d7(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0－Δx),2Δx)＝k，
∴ eq \(lim,\s\d7(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0－Δx),Δx)＝2k.
由导数的定义可知，若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则f′(x0)＝ eq \(lim,\s\d7(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)，它仅与x0有关，与Δx无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，分子为函数值的改变量，分母是自变量的改变量，要注意公式的变形．
【对点训练1】 计算： eq \(lim,\s\d7(h→0)) eq \f(sin 2(x＋h)－sin 2x,h)＝( D )
A．0 B．cs 2x
C．2cs x D．2cs 2x
解析：设f(x)＝sin 2x，则 eq \(lim,\s\d7(h→0)) eq \f(sin 2(x＋h)－sin 2x,h)
＝ eq \(lim,\s\d7(h→0)) eq \f(f(x＋h)－f(x),h)＝f′(x)＝(sin 2x)′＝2cs 2x.故选D.
考点2 导数的运算
【例2】 求下列函数的导数．
(1)f(x)＝x2ex；
(2)f(x)＝ eq \f(lg2x,2x)；
(3)f(x)＝ eq \f(sin x,1＋cs x)；
(4)f(x)＝ln (1－2x).
【解】 (1)f′(x)＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.
(2)f′(x)＝ eq \f(\f(1,x ln 2)·2x－lg2x·2x ln 2,(2x)2)＝ eq \f(\f(1,x ln 2)－lg2x·ln 2,2x).
(3)f′(x)＝ eq \f(cs x·(1＋cs x)－sin x·(－sin x),(1＋cs x)2)＝
eq \f(cs x＋cs2x＋sin2x,(1＋csx)2)＝ eq \f(1＋cs x,(1＋cs x)2)＝ eq \f(1,1＋cs x).
(4)f′(x)＝ eq \f(1,1－2x)·(1－2x)′＝ eq \f(1,1－2x)·(－2)＝ eq \f(2,2x－1).
求导数的几种情况
(1)乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．
(5)三角形式：先利用三角函数公式化简，再求导．
(6)复合函数形式：确定复合关系，由外向内或由内向外逐层求导．
【对点训练2】 (1)设f′(x)是f(x)的导函数，已知f(x)＝2f′(1)x－x2＋ln x＋1，则f(1)＝( D )
A． eq \f(1,2) B．1
C． eq \f(3,2) D．2
解析：f′(x)＝2f′(1)－2x＋ eq \f(1,x)，当x＝1时，f′(1)＝2f′(1)－2＋1，解得f′(1)＝1，所以f(x)＝2x－x2＋ln x＋1，f(1)＝2－1＋0＋1＝2.故选D.
(2)(多选)下列求函数的导数正确的是( ABC )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ln x,x)))′＝ eq \f(1－ln x,x2)
B．( eq \r(2x－1))′＝ eq \f(1,\r(2x－1))
C．(e5x-4)′＝5e5x-4
D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))))′＝－2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
解析：对于A， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ln x,x)))′＝ eq \f((ln x)′x－(x)′ln x,x2)＝ eq \f(\f(1,x)·x－ln x,x2)＝ eq \f(1－ln x,x2)，故A正确；对于B，( eq \r(2x－1))′＝[(2x－1)eq \s\up5(\f(1,2))]′＝ eq \f(1,2)(2x－1)－eq \s\up5(\f(1,2))×2＝ eq \f(1,\r(2x－1))，故B正确；对于C，(e5x-4)′＝e5x-4×5＝5e5x-4，故C正确；对于D， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))))′＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))×2＝2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，故D错误．故选ABC.
考点3 导数的几何意义
命题角度1 求曲线的切线方程
【例3】 (1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝ eq \f(ex＋2sin x,1＋x2)，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( A )
A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,3)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(2,3)
【解析】 f(x)＝ eq \f(ex＋2sin x,1＋x2)，则f′(x)＝ eq \f((ex＋2cs x)(1＋x2)－(ex＋2sin x)2x,(1＋x2)2)，故f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线的方程为y＝3x＋1，令x＝0，解得y＝1，令y＝0，解得x＝－ eq \f(1,3)，故所求三角形的面积为S＝ eq \f(1,2)× eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))×1＝ eq \f(1,6).故选A.
(2)过坐标原点作曲线y＝ex-2＋1的切线，则切线方程为( A )
A．y＝x B．y＝2x
C．y＝ eq \f(1,e2)x D．y＝ex
【解析】 由函数y＝ex-2＋1，可得y′＝ex-2，设切点坐标为(t，et-2＋1)，可得切线方程为y－(et-2＋1)＝et-2(x－t)，把(0，0)代入方程，可得0－(et-2＋1)＝et-2(0－t)，即(t－1)et-2＝1，解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.故选A.
命题角度2 求参数
【例4】 (2024·河北保定三模)已知二次函数y＝ax(x－b)(b≠0，且b≠1)的图象与曲线y＝ln x交于点P，与x轴交于点A(异于原点O)，若曲线y＝ln x在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为( B )
A．－ eq \f(1,e) B．－1
C．－ eq \r(e) D．－2
【解析】 易知A(b，0)，设P(t，ln t)，联立y＝ln x与y＝ax(x－b)，可得ln x＝ax(x－b)，故ln t＝at(t－b).由y＝ln x，得y′＝ eq \f(1,x)，所以kl＝ eq \f(1,t)，kPA＝ eq \f(ln t,t－b).因为l⊥PA，所以kl·kPA＝ eq \f(ln t,t(t－b))＝－1，即ln t＝－t(t－b)，又ln t＝at(t－b)，所以a＝－1.故选B.
命题角度3 公切线问题
【例5】 (2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝ln 2．
【解析】 方法一 由y＝ex＋x，可得y′＝ex＋1，曲线在点(0，1)处的切线的斜率为e0＋1＝2，切线方程为y－1＝2x，即y＝2x＋1.曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，设该切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a的切点的横坐标为x，可得切线的斜率为 eq \f(1,x＋1)＝2，可得x＝－ eq \f(1,2)，把x＝－ eq \f(1,2)代入y＝2x＋1，可得切点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)).因为切点在曲线y＝ln (x＋1)＋a上，所以0＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋1))＋a，解得a＝ln 2.
方法二(切线重合) 由y＝ex＋x，可得y′＝ex＋1，曲线在点(0，1)处的切线的斜率为e0＋1＝2，切线方程为y－1＝2x，即y＝2x＋1.设该切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线，得y′＝ eq \f(1,x0＋1)＝2，解得x0＝－ eq \f(1,2)，则切点为－ eq \f(1,2)，ln eq \f(1,2)＋a，切线方程为y＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＋ln eq \f(1,2)＋a＝2x＋1＋a－ln 2.根据两切线重合，得a－ln 2＝0，解得a＝ln 2.
1．求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
2．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的关系列出有关参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
3．公切线问题应根据两条曲线在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程(组)求解．
【对点训练3】 (1)(2023·全国甲卷文)曲线y＝ eq \f(ex,x＋1)在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(e,2)))处的切线方程为( C )
A．y＝ eq \f(e,4)x B．y＝ eq \f(e,2)x
C．y＝ eq \f(e,4)x＋ eq \f(e,4) D．y＝ eq \f(e,2)x＋ eq \f(3e,4)
解析：y′＝ eq \f(ex(x＋1)－ex·1,(x＋1)2)＝ eq \f(xex,(x＋1)2)，当x＝1时，y′＝ eq \f(e,4)，则曲线y＝ eq \f(ex,x＋1)在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(e,2)))
处的切线斜率k＝ eq \f(e,4)，所以曲线y＝ eq \f(ex,x＋1)在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(e,2)))处的切线方程为y－ eq \f(e,2)＝ eq \f(e,4)(x－1)，即y＝ eq \f(e,4)x＋ eq \f(e,4).故选C.
(2)(2024·福建漳州一模)若曲线y＝aex-2＋x在点(2，2＋a)处的切线方程为y＝4x＋b，则a＋b＝( C )
A．3 B．－3
C．0 D．1
解析：因为y＝aex-2＋x，所以y′＝aex-2＋1，由题意可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1＝4，,8＋b＝2＋a，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝－3，))所以a＋b＝0.故选C.
(3)若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝ln x＋b的切线，则b＝( C )
A．－1 B．1
C．2 D．e
解析：对于函数y＝ex，y′＝ex，则当x＝0时，y′＝e0＝1，又当x＝0时，y＝e0＝1，所以曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1.设直线y＝x＋1与曲线y＝ln x＋b相切于点(t，ln t＋b)，对于函数y＝ln x＋b，其导数为y′＝ eq \f(1,x)，由导数的几何意义可得 eq \f(1,t)＝1，得t＝1，所以切点坐标为(1，b)，代入切线方程得b＝1＋1＝2.故选C.
eq \a\vs4\al()
【例】 (2024·浙江温州一模)已知01，由＝ eq \f(e,4ln a)，得 eq \f(e,4ln a)＝，即 eq \f(1,ln a)＝x0＋ln 4，即1＝x0·ln a＋ln a·ln 4＝ln ＋
ln 4ln a＝ln (·4ln a)，即e＝·4ln a＝ eq \f(e,4ln a)·4ln a，化简得4ln a＝4ln a，令ln a＝t>0，即4t＝4t，利用指数函数与一次函数的性质可知，t＝1或t＝ eq \f(1,2)，即ln a＝1或ln a＝ eq \f(1,2)，解得a＝e或a＝ eq \r(e).故选D.
14．（5分）（2024·河北沧州模拟）已知直线l：y＝kx是曲线y＝f(x)＝ex+1和y＝g(x)＝ln x＋a的公切线，则实数a＝3．
解析：设直线l与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，由f′(x)＝ex+1，得k＝f′(x0)＝，因为l与曲线y＝f(x)＝ex+1相切，所以消去y0，得x0＝，解得x0＝1.设l与曲线y＝g(x)相切于点(x1，y1)，由g′(x)＝ eq \f(1,x)，得k＝e2＝ eq \f(1,x1)，即e2x1＝1，因为(x1，y1)是l与曲线y＝g(x)＝ln x＋a的公共点，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＝e2x1，,y1＝ln x1＋a，))消去y1，得e2x1＝ln x1＋a，即1＝ln eq \f(1,e2)＋a，解得a＝3.
15．（5分）（2024·山东淄博一模）已知定义在R上的函数f(x)，f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的定义域也是R，f(x)满足f(x＋1 012)－f(1 013－x)＝4x＋1，则 eq \i\su(i＝1,2 024,f)′(i)＝4 048．
解析：对f(x＋1 012)－f(1 013－x)＝4x＋1两边同时求导，得f′(x＋1 012)＋f′(1 013－x)＝4，即f′(x)＋f′(2 025－x)＝4，则f′(1)＋f′(2 024)＝4，f′(2)＋f′(2 023)＝4，…，f′(1 012)＋f′(1 013)＝4，则 eq \i\su(i＝1,2 024,f)′(i)＝4×1 012＝4 048.基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)
f′(x)＝αxα-1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝ax ln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝ eq \f(1,x ln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝ eq \f(1,x)