高考数学精品讲义练习【一轮复习】第二章　2．9　函数的图象

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2．能根据函数的性质辨识函数图象，能根据实际问题辨识函数图象．
3．会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题．
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先①确定函数的定义域，②化简函数解析式，③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；然后列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．函数图象的变换
(1)平移变换
左右平移仅仅对x而言，利用“左加右减”进行操作，若x的系数不是1，需要先把系数提出来，再进行操作．
上下平移是对y而言，利用“上加下减”进行操作．
(2)对称变换
①y＝f(x) eq \(―――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；
②y＝f(x) eq \(―――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；
③y＝f(x) eq \(―――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)；
④y＝ax(a＞0，且a≠1) eq \(―――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝lgax(x>0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x) eq \(―――――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|；
②y＝f(x) eq \(――――――――――――――――――――――→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其关于y轴),\s\d5(对称的图象，y轴左边图象去掉))y＝f(|x|).
(4)伸缩变换
①y＝f(x) y＝f(ax)；
②y＝f(x) eq \(――――――――――――――――――――――――→,\s\up7(a>1，纵坐标伸长为原来的a倍),\s\d5(01时，f(x)＝ eq \f(|x2－1|,2x)＝ eq \f(x2－1,2x)＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))，函数单调递增，故B，C错误．故选D.
4．为了得到函数y＝lg eq \f(x,100)的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( D )
A．向左平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度
D．向下平移2个单位长度
解析：函数y＝lg eq \f(x,100)化为y＝lg x－2，显然把函数y＝lg x的图象向下平移2个单位长度即得y＝lg x－2的图象，所以为了得到函数y＝lg eq \f(x,100)的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点向下平移2个单位长度．故选D.
考点1 作函数的图象
【例1】 作出下列函数的图象：
(1)y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(|x|)；
(2)y＝|lg2(x＋1)|；
(3)y＝x2－2|x|－1.
【解】 (1)先作出y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)的图象，保留y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)图象中x≥0的部分，再作出y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(|x|)的图象，如图1实线部分．
(2)将函数y＝lg2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|lg2(x＋1)|的图象，如图2.
(3)因为y＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x－1＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e－\f(1,e)))sin eq \f(π,6)＝ eq \f(e,2)－1－ eq \f(1,2e)> eq \f(1,4)－ eq \f(1,2e)>0，故D错误，B正确．故选B.
(2)(2024·陕西西安二模)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为( B )
A．f(x)＝cs 2x·(ex－e－x)
B．f(x)＝sin 2x·ln eq \f(x2＋1,x2)
C．f(x)＝ eq \f(ex＋e－x,x)
D．f(x)＝ eq \f(1,x)·ln eq \f(x2,x2＋1)
【解析】 对于A，函数f(x)＝cs 2x·(ex－e－x)的定义域为R，而题设函数的图象在自变量为0时无意义，不符合题意，排除；对于C，当x>0时，f(x)＝ eq \f(ex＋e－x,x)>0，不符合图象，排除；对于D，当x>0时，f(x)＝ eq \f(1,x)·ln eq \f(x2,x2＋1)＝ eq \f(1,x)[ln x2－ln (x2＋1)]0时，f(x)＝ eq \f(x3,x＋2)，∴f′(x)＝ eq \f(3x2(x＋2)－x3,(x＋2)2)＝ eq \f(2x2(x＋3),(x＋2)2)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，A，D错误，B正确．故选B.
(2)(2024·浙江台州一模)函数y＝f(x)的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为( A )
A．y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)x)) B．y＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)x))
C．y＝f(4－2x) D．y＝－f(4－2x)
解析：由题图1知，f(1)＝0，且当x>1时，f(x)>0，由题图2知，图象过点(0，0)，且当x0，对于C，当x＝0时，y＝f(4)>0，C不可能；对于D，当x＝0时，y＝－f(4)0，A可能；对于B，当x＝0时，y＝－f(1)＝0，而当x1，则－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)x))2f(x)的解集为( C )
A．(－ eq \r(2)，0)∪( eq \r(2)，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－ eq \r(2)，0)∪( eq \r(2)，2)
D．(－2，－ eq \r(2))∪(0， eq \r(2))∪(2，＋∞)
【解析】 根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象如图所示，由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，等价于 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2>0，,f(x)>0))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－20的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.
(2)设函数f(x)的定义域是R，满足2f(x＋1)＝f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1).若对任意x∈[m，＋∞)，都有f(x)≥－ eq \f(8,9)，则m的取值范围是( D )
A． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)，＋∞)) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，＋∞))
C． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，＋∞)) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，＋∞))
解析：因为函数f(x)的定义域是R，满足2f(x＋1)＝f(x)，所以f(x＋1)＝ eq \f(1,2)f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)－ eq \f(1,4)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))，当x∈(－1，0]时，0