高考数学精品讲义练习【一轮复习】第二章　2．1　函数的概念及其表示

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第二章　2．1　函数的概念及其表示，共10页。试卷主要包含了1　函数的概念及其表示等内容，欢迎下载使用。

1．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
1．函数的概念
(1)函数的定义
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的三要素
函数由定义域、值域和对应关系三个要素构成．在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量的取值范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域．
2．函数的表示法
3.分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．
教材拓展
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( × )
(2)任何一个函数都可以用图象法表示．( × )
(3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点．( √ )
(4)函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≥0，,x2，x1且x≠2.故选D.
(2)(2024·湖北武汉二模)已知函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1)，则函数f(1－x)的定义域为(－2，2]．
【解析】 由函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1)，则有2x＋1∈[－1，3)，令－1≤1－x2}．
考点2 求函数的解析式
【例2】 (1)已知f(1－sin x)＝cs2x，求f(x)的解析式．
(2)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋ eq \f(1,x4)，求f(x)的解析式．
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．
(4)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式．
【解】 (1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sin x＝1－t，
∵f(1－sin x)＝cs2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]，
即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2).
(2)(配凑法)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋ eq \f(1,x4)＝x2＋ eq \f(1,x2)2－2，又x2＋ eq \f(1,x2)≥2 eq \r(x2·\f(1,x2))＝2，当且仅当x2＝ eq \f(1,x2)，即x＝±1时等号成立，
设t＝x2＋ eq \f(1,x2)，则t≥2，
∴f(t)＝t2－2(t≥2)，
∴f(x)＝x2－2(x≥2).
(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝7.))∴f(x)＝2x＋7.
(4)(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2①，
∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2②，
由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6，
∴f(x)＝3x－2.
函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(4)方程思想：已知关于f(x)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))或f(－x)等的解析式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
【对点训练2】 (1)已知f( eq \r(x)＋1)＝ eq \f(1,x)，则f(x)＝ eq \f(1,(x－1)2)，其定义域为(1，＋∞)．
解析：由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x)≥0，,x≠0，))解得x>0，所以f( eq \r(x)＋1)＝ eq \f(1,x)(x>0)，
令 eq \r(x)＋1＝t(t>1)，则x＝(t－1)2，
所以f(t)＝ eq \f(1,(t－1)2)(t>1)，
所以f(x)＝ eq \f(1,(x－1)2)(x>1).
(2)已知f(x)满足3f(x)＋2f(1－x)＝4x，则f(x)的解析式为f(x)＝4x－ eq \f(8,5)．
解析：由3f(x)＋2f(1－x)＝4x①，
用1－x代x可得，3f(1－x)＋2f(x)＝4(1－x)②，
3×①－2×②得f(x)＝4x－ eq \f(8,5).
考点3 分段函数
命题角度1 分段函数求值
【例3】 (2024·江苏南通二模)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋2－x，x≤3，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))，x>3，))则f(lg29)＝( B )
A． eq \f(8,3) B． eq \f(10,3)
C． eq \f(80,9) D． eq \f(82,9)
【解析】 因为f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋2－x，x≤3，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))，x>3，))
lg29>3，lg23