高考数学精品讲义练习【一轮复习】第二章　2．7　指数与指数函数

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1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．
2．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象经过的特殊点．
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根．
(2)式子 eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)( eq \r(n,a))n＝a.当n为奇数时， eq \r(n,an)＝a；当n为偶数时， eq \r(n,an)＝|a|＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)图象与性质
教材拓展
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数①y＝mx，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数m，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞m＞b＞0.在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝2x-1是指数函数．( × )
(2)函数y＝ (a>1)的值域是(0，＋∞).( × )
(3)2-3＞2-4.( √ )
(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.( × )
2．(人教A版必修第一册P119T6改编)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则( C )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
解析：因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5＞2.7，故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a.故选C.
3．(人教A版必修第一册P120T10改编)函数f(x)＝的单调递减区间为[1，＋∞)．
解析：复合函数f(x)＝可以分为外部函数y＝0.7u与内部函数u＝x2－2x，因为外部函数y＝0.7u在公共定义域内单调递减，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，所以求f(x)的减区间，等价于求内部函数u＝x2－2x的增区间，易知u＝x2－2x的增区间为[1，＋∞)，故f(x)的减区间为[1，＋∞).
4．已知a>0，b>0，则· eq \r(5,a4)÷ eq \r(5,b3)＝1．
解析：· eq \r(5,a4)÷ eq \r(5,b3)＝··aeq \s\up5(\f(4,5))÷beq \s\up5(\f(3,5))＝a－eq \s\up5(\f(4,5))＋eq \s\up5(\f(4,5))·beq \s\up5(\f(3,5))－eq \s\up5(\f(3,5))＝a0·b0＝1.
考点1 指数幂的运算
【例1】 计算：
(1) ÷ eq \r(\r(3,a-7)\r(3,a13))(a>0)；
(2) － eq \r(3,3\f(3,8))－π0；
(3) (a>0，b>0).
【解】 (1)原式＝÷＝(a3) eq \s\up5(\f(1,3))÷(a2) eq \s\up5(\f(1,2))＝a÷a＝1.
(2)原式＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8)))eq \s\up14(\f(1,3))－1＝－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(3)))eq \s\up14(\f(1,3))－1＝ eq \f(5,2)－ eq \f(3,2)－1＝0.
(3)原式＝＝·＝a-1＝ eq \f(1,a).
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数的，先确定符号；底数是小数的，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
【对点训练1】 (1)已知a＋a-1＝7，则aeq \s\up5(\f(1,2))－＝( B )
A． eq \r(5) B．± eq \r(5)
C．3 D．±3
解析：由＝a＋a-1－2＝5，可得aeq \s\up5(\f(1,2))－a－eq \s\up5(\f(1,2))＝± eq \r(5).故选B.
(2)计算：(－64)eq \s\up5(\f(1,3))＋[(－3)4]eq \s\up5(\f(1,4))－( eq \r(2)－1)0＋ eq \r(3,3\f(3,8))＝( C )
A．－ eq \f(13,2) B．－ eq \f(11,2)
C．－ eq \f(1,2) D． eq \f(1,2)
解析：(－64)eq \s\up5(\f(1,3))＋[(－3)4]eq \s\up5(\f(1,4))－( eq \r(2)－1)0＋ eq \r(3,3\f(3,8))＝(－43)eq \s\up5(\f(1,3))＋(34)eq \s\up5(\f(1,4))－1＋ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(3)))eq \s\up5(\f(1,3))＝－4＋3－1＋ eq \f(3,2)＝－ eq \f(1,2).故选C.
考点2 指数函数的图象及应用
【例2】 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c与指数函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a))) eq \s\up12(x)的图象可能是( A )
【解析】 因为y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a))) eq \s\up12(x)为指数函数，所以 eq \f(b,a)>0，且 eq \f(b,a)≠1，所以－ eq \f(b,2a)