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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线精品课后练习题
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考点一：抛物线焦点弦焦半径公式
图1-3-1 图1-3-2
焦半径：，，．
焦点弦：．
三角形面积：．
题型目录
题型一：抛物线焦点弦焦半径
题型二：抛物线焦点弦面积问题
题型三：抛物线中点弦问题
典型例题
题型一：抛物线焦点弦焦半径
【例1】（2023·全国·高三专题练习）直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ）
A．6B．8C．2D．4
【答案】B
【分析】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可
【详解】因为抛物线的焦点坐标为，
又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以．
故选：B
【例2】（2022·新疆·新和县实验中学高二期末（文））过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】由条件结合抛物线的定义，解三角形求直线l的斜率.
【详解】当在轴上方时，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过作于，设，则，所以，
所以，
同理可得当在轴下方时，的值为，
故选：C.
【例3】（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（理））已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线的方程，代入的方程，设，根据根与系数关系即可得出与的关系，通过抛物线上的点到焦点的距离与该点到抛物线准线距离相等可知，代入即可转化为关于的二元一次方程，即可求解.
【详解】由题意知的方程为，代入的方程，得，设，则；因为，且，所以32，整理得，所以，结合，解得.
故选：D.
【例4】（2022·陕西省安康中学高三阶段练习（文））过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】设，，利用抛物线的定义直接求出的值，进而得到的值
【详解】如图所示，设，，因为，所以点到准线的距离为3，
所以，得，因为，所以，所以，得，
所以的值为，故选：C
【例5】（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别为在上的射影，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．若，则直线的斜率为
C．若为坐标原点，则三点共线
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，求出直线的方程，代入抛物线方程中，整理后利用根与系数的关系，然后利用弦长公式可求出，对于B，设1，代入抛物线方程，整理后利用根与系数的关系，再由，得，从而可求出的坐标，进而可求出直线的斜率，对于C，同选项B，利用根与系数关系后，计算即可，对于D，同选项B，利用根与系数关系后，计算即可
【详解】若直线的倾斜角为，则，
令，由消可得，
所以，故正确；
设1，令，由，
消可得
，，所以，
所以，
所以或
所以.即，故错误；
设，令，，
消可得
，
所以，即三点共线，故C正确；
设，令，由
消可得
，，
所以，
即，故正确.
故选：ACD.
【例6】（2022·全国·高二课时练习）已知是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，若，则______．
【答案】2023
【分析】设，由求出，再利用抛物线的定义求解.
【详解】解:设，
因为是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，所以，
因此，因为，
所以，即．
又由抛物线的定义，可得，
所以
．
故答案为：2023
【例7】（2022·福建·福州三中高二期末）已知抛物线的焦点F，过F分别作直线与C交于A，B两点，作直线与C交于D，E两点，若直线与的斜率的平方和为1，则的最小值为_________
【答案】24
【分析】根据给定条件，将直线、的方程，与抛物线方程联立求出、，再借助均值不等式求解作答.
【详解】抛物线的焦点，准线，设直线与的斜率分别为，，有，
直线：，由消去y并整理得：，
设，则，
，直线：，同理，
于是得，
当且仅当时取“=”，所以的最小值为24.
故答案为：24
【点睛】思路点睛：直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
【例8】（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知抛物线上一点到焦点的距离为4.
(1)求实数的值；
(2)若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由抛物线的焦半径公式可知，由此即可求出答案；
（2）由（1）可知焦点坐标为，则可设直线为，联立直线与抛物线，则可得，再利用，即可求出直线.
（1）
由题意可知：，
解得：.
（2）
由（1）知抛物线，则焦点坐标为，
由题意知直线斜率不为0，设直线为：，
联立直线与抛物线：，消得：，
则
则
所以，
解得，
所以直线为：或
【题型专练】
1.（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
2.（2022·河南·模拟预测（文））设抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，若轴，且，则（ ）
A．或B．或C．或D．
【答案】A
【分析】求出点的坐标，由已知结合抛物线定义求出点B的坐标，再求出直线的倾斜角即可计算作答.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为：，
因轴，由抛物线的对称性，不妨取，设点B的横坐标为，
依题意，，解得，则或，
点，则直线斜率为，其倾斜角为，有，
若，则直线斜率为，其倾斜角为，有，
所以为或.
故选：A
3.（2022·云南玉溪·高二期末）直线与抛物线交于，两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】焦点弦长度等于.
【详解】抛物线的焦点为在直线上，故是抛物线的焦点弦，则
由得：，
所以，，
所以，
故选：D.
4.（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论不正确的是（ ）
A．B．F为的中点
C．D．
【答案】D
【分析】设出直线的方程，并与抛物线方程联立，求得两点的坐标，根据求得，求得点的坐标，从而确定正确选项.
【详解】依题意，设直线的方程为，
由消去并化简得，
解得，
所以，
所以，A选项正确.
直线的方程为，
令，则，故，
由于，，所以是的中点，B选项正确，
，，
，C选项正确，D选项错误.
故选：D
5．（2022·全国·高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A．B．8C．12D．
【答案】B
【分析】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案.
【详解】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，
代入抛物线方程得，可得，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为．
故选：B．
6．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
题型二：有关三角形面积问题
【例1】（2023·全国·高三专题练习）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】写出直线方程，联立抛物线方程，求出A，B两点坐标，进而求出AB的长，再求出原点到直线距离，求出三角形面积.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
则斜率为的直线方程为：，与抛物线方程联立得：
，
设，不妨设，，
则，
点O到直线AB的距离为，
所以△AOB的面积为
故选：B
【例2】（2022·广东揭阳·高二期末）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为___．
【答案】9
【分析】首先设抛物线的解析式，写出抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径，求出，的面积是与乘积的一半.
【详解】设抛物线的解析式，
则焦点为，对称轴为轴，准线为，
直线经过抛物线的焦点，A，B是与的交点，
又轴，
，
，
又点在准线上，过点P作l的垂线，垂直为D，
，
.
故答案为：9.
【例3】（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知斜率为的直线过抛物线：的焦点且与抛物线相交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设直线：， 与椭圆方程联立，根据与的面积之比为2，利用抛物线定义得到，再结合韦达定理求解.
【详解】解：如图所示：
由抛物线：，得，
设直线：，，，
由得，
所以，，
由已知和抛物线定义知：，
则有，即，
所以
解得，，.
故选：D
【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为（ ）
A．32B．16C．24D．8
【答案】A
【分析】由两条直线垂直，以及取得最小值时，有与，与关于轴对称，可得直线的斜率为1，进而可求出直线的方程，与抛物线联立写出韦达定理和弦长公式，再由相互垂直的四边形面积公式求值即可．
【详解】因为，要使最小，而，
由抛物线的对称性可得与，与关于轴对称，所以可得直线的斜率为1，又过抛物线的焦点，
所以直线的方程为：，
，整理可得，，，
所以可得，
所以．
故选：．
【例5】（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.
(1)求该抛物线的方程；
(2)为坐标原点，求的面积.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，由抛物线的定义结合韦达定理化简弦长后求解
（2）解出坐标，由割补法求解
【详解】(1)抛物线的焦点为，所以直线的方程为，
由消去得，所以，
由抛物线定义得，即，所以.
所以抛物线的方程为.
(2)由知，方程，
可化为，
解得，，故，.
所以，.
则面积
【题型专练】
1.（2022·四川省成都市新都一中高二期末（文））经过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若（其中O为坐标原点），则直线l的斜率为______．
【答案】
【分析】设直线斜率为，直线方程为，设，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，然后由弦长公式得弦长，再求得原点到直线的距离，求出面积后可得值．
【详解】由已知，
设直线斜率为，直线方程为，设，
由得，
，，
，
又到直线的距离为，
所以，．
故答案为：．
2.（2022·全国·高二专题练习）设为拋物线：的焦点，其准线与轴的交点为过点且倾斜角为的直线交拋物线于两点，则的面积为______.
【答案】
【分析】先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，求出直线方程，代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，结合弦长公式求出，再求出到直线的距离，从而可求出的面积
【详解】拋物线：的焦点，准线，所以，
过点且倾斜角为的直线方程为：，即0，
设
联立得，
所以，
所以
点到直线0的距离
所以．
故答案为：
3.（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知点为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线与交于点，，则（为坐标原点）的面积为___________.
【答案】
【分析】先写出直线方程，联立椭圆求得，，再由计算面积即可.
【详解】
由题意知，的方程为，代入的方程得，所以，设，
则，，所以.
故答案为：.
4．（2022·四川甘孜·高二期末（文））抛物线 的焦点为， 直线与抛物线分别交 于两点（点在第一象限）， 则的值等于________.
【答案】
【分析】由题意可知直线过焦点且倾斜角为，设，则 ，，求出，结合三角形面积公式即可求解
【详解】因为直线可化为，
所以过焦点且倾斜角为，
设，则 ，，
解得，，
代入得，，
所以，
故答案为：
5．（2022四川·高三学业考试）已知抛物线过点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设抛物线的焦点为，坐标原点为.过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，求的面积.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）将点代入抛物线，即可求出的值，即可得到抛物线的标准方程；
（2）由题意即可写出直线的方程，联立直线与抛物线，结合韦达定理与弦长公式即可求出，利用点到直线的距离公式，即可求出点到边上的高，即可求出其面积.
【详解】（1）因为抛物线过点，所以，所以抛物线；
（2）由题意知：直线的斜率，，所以直线方程为：，
联立直线与抛物线：消得：，
设，则，则，
点到直线的距离，
所以.
题型三：抛物线中点弦问题
【例1】（2022·河南安阳·高二期末（理））已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】B
【分析】设，，代入抛物线方程相减可得．
【详解】设，，∵是AB的中点，∴，
由，相减得，
所以直线的斜率，
故选：B．
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得直线方程，根据点到直线的距离即可得结果.
【详解】设，，则，，所以，
即，
因为AB的中点为，，
所以直线的斜率，所以直线的方程为，
所以焦点到直线的距离，
故选：A.
【例3】（2022·山西吕梁·二模（文））已知点F为抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A、B两点．若中点的纵坐标为2，则( )
A．6B．7C．9D．10
【答案】D
【分析】设的中点为，则﹒根据A和B在抛物线上，满足抛物线方程得到两个方程，两个方程作差即可得到直线l斜率，故可得直线l方程，从而可求M的横坐标，从而可求．
【详解】焦点为，p＝4，设的中点为，
∴，
∴，即，故，
由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，故，
故，∴，
∴．
故选：D．
【例4】（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试多选题）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，的准线与轴交于点，为坐标原点，则（ ）
A．线段长度的最小值为4
B．若线段中点的横坐标为，则直线的斜率为
C．
D．
【答案】ABD
【分析】设点、，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式可判断A选项；利用韦达定理计算出的值，可判断B选项；计算出，可判断C选项；计算，可判断D选项.
【详解】易知抛物线的焦点为，准线方程为，点，
设点、，
若直线轴，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
，由韦达定理可得，，
对于A选项，，
当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，由题意可得，解得，B对；
对于C选项，，同理可得，
所以，
，，C错；
对于D选项，，
所以，，D对.
故选：ABD.
【例5】（2021·安徽·高二阶段练习）已知抛物线上有3点A，B，C，且直线AB，BC，AC的斜率分别为，2，3，则的重心的纵坐标为______．
【答案】
【分析】设，，，利用点差法和两点坐标表示直线斜率可得，同理可得、，进而可得，结合三角形重心的坐标表示即可得出结果.
【详解】设，，，
则，两式相减得，
所以直线AB的斜率，所以．
同理，直线BC的斜率，
所以，直线AC的斜率，
所以．所以，
，，
所以的重心的纵坐标为．
故答案为：.
【题型专练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A．B．3C．D．－3
【答案】C
【分析】利用点差法计算可得；
【详解】解：设，，则，所以，整理得．
因为弦的中点为，所以，即直线的斜率为．
故选：C
2.（2022·全国·三模）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设点、，则，利用点差法可求得直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】设点、，则，
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，则直线的斜率存在，
由已知，两式作差可得，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：A.
3．（2022·陕西陕西·二模（理））已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限内的点为线段的中点，则的长度为（ ）
A．12B．18C．16D．8
【答案】C
【分析】设，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由的中点的坐标，求出参数的值，即可得到，再根据焦点弦的性质计算可得；
【详解】解：由条件得，设，，直线的方程为：，
联立得，
∴，由得.
∴，所以.
故选：C
4．（2022·福建·三模）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于A，两点，线段中点的纵坐标为，则（ ）
A．B．4C．8D．24
【答案】C
【分析】点差法求得，然后利用直线AB方程求得中点横坐标，根据抛物线定义可得.
【详解】记AB中点为，设，则，显然，所以由点差法得，由题知，，所以，易得直线AB方程为，则，即，所以.
故选：C
5．（2022·全国·高二课时练习）过点作抛物线的弦，若弦恰好被点平分，则弦所在直线的方程为______．
【答案】
【分析】只需求出的斜率即可得到直线方程，设出，，利用“点差法”解决.
【详解】显然不垂直于轴，故，设，，则，两式相减得．
∵点是弦的中点，∴，于是，即直线的斜率，
故弦所在直线的方程为，即．
故答案为：
6．（2022·吉林·长春市第八中学高二阶段练习）已知直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB的中点为，则线段AB的长度为_______．
【答案】
【分析】首先判断直线的斜率存在，设直线为，，，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根据，求出参数，再根据焦点弦公式计算可得；
【详解】解：依题意显然直线的斜率存在，设直线为，，，
由，消去整理得
当时，显然不成立．
当时，，
又得，解得，
当时直线，
又焦点满足直线．
所以，
又，
．
故答案为：
7．（2022·全国·高三专题练习）若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为___________.
【答案】
【分析】设出点A，B的坐标，再求出弦AB的垂直平分线的方程，将代入计算作答.
【详解】设点、的坐标分别是、，则，，
两式相减得，因，即有，
设直线的斜率是，弦的中点是，则，
从而的垂直平分线的方程为，
又点在直线上，所以，而，解得，
弦中点的横坐标为2.
故答案为：2
8．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上．
(1)求点F的坐标和抛物线C的准线方程；
(2)过点F的直线l交抛物线C于A、B两点，且线段AB的中点为，求直线l的方程及．
【答案】(1)，准线方程为，(2)；8
【分析】（1）将点代入抛物线方程，可得方程解析式，根据抛物线性质，可得答案；
（2）利用点差法，求得直线的斜率，代入中点，解得答案.
【详解】（1）将点代入抛物线C，得，∴∴，
∴，准线方程为；
（2）设，，∴，∴
∴直线l的斜率为∴直线l的方程：，∴，
考点一：抛物线焦点弦焦半径公式
图1-3-1 图1-3-2
焦半径：，，．
焦点弦：．
三角形面积：．
题型目录
题型一：抛物线焦点弦焦半径
题型二：抛物线焦点弦面积问题
题型三：抛物线中点弦问题
典型例题
题型一：抛物线焦点弦焦半径
【例1】（2023·全国·高三专题练习）直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ）
A．6B．8C．2D．4
【答案】B
【分析】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可
【详解】因为抛物线的焦点坐标为，
又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以．
故选：B
【例2】（2022·新疆·新和县实验中学高二期末（文））过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】由条件结合抛物线的定义，解三角形求直线l的斜率.
【详解】当在轴上方时，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过作于，设，则，所以，
所以，
同理可得当在轴下方时，的值为，
故选：C.
【例3】（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（理））已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线的方程，代入的方程，设，根据根与系数关系即可得出与的关系，通过抛物线上的点到焦点的距离与该点到抛物线准线距离相等可知，代入即可转化为关于的二元一次方程，即可求解.
【详解】由题意知的方程为，代入的方程，得，设，则；因为，且，所以32，整理得，所以，结合，解得.
故选：D.
【例4】（2022·陕西省安康中学高三阶段练习（文））过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】设，，利用抛物线的定义直接求出的值，进而得到的值
【详解】如图所示，设，，因为，所以点到准线的距离为3，
所以，得，因为，所以，所以，得，
所以的值为，故选：C
【例5】（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别为在上的射影，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．若，则直线的斜率为
C．若为坐标原点，则三点共线
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，求出直线的方程，代入抛物线方程中，整理后利用根与系数的关系，然后利用弦长公式可求出，对于B，设1，代入抛物线方程，整理后利用根与系数的关系，再由，得，从而可求出的坐标，进而可求出直线的斜率，对于C，同选项B，利用根与系数关系后，计算即可，对于D，同选项B，利用根与系数关系后，计算即可
【详解】若直线的倾斜角为，则，
令，由消可得，
所以，故正确；
设1，令，由，
消可得
，，所以，
所以，
所以或
所以.即，故错误；
设，令，，
消可得
，
所以，即三点共线，故C正确；
设，令，由
消可得
，，
所以，
即，故正确.
故选：ACD.
【例6】（2022·全国·高二课时练习）已知是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，若，则______．
【答案】2023
【分析】设，由求出，再利用抛物线的定义求解.
【详解】解:设，
因为是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，所以，
因此，因为，
所以，即．
又由抛物线的定义，可得，
所以
．
故答案为：2023
【例7】（2022·福建·福州三中高二期末）已知抛物线的焦点F，过F分别作直线与C交于A，B两点，作直线与C交于D，E两点，若直线与的斜率的平方和为1，则的最小值为_________
【答案】24
【分析】根据给定条件，将直线、的方程，与抛物线方程联立求出、，再借助均值不等式求解作答.
【详解】抛物线的焦点，准线，设直线与的斜率分别为，，有，
直线：，由消去y并整理得：，
设，则，
，直线：，同理，
于是得，
当且仅当时取“=”，所以的最小值为24.
故答案为：24
【点睛】思路点睛：直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
【例8】（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知抛物线上一点到焦点的距离为4.
(1)求实数的值；
(2)若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由抛物线的焦半径公式可知，由此即可求出答案；
（2）由（1）可知焦点坐标为，则可设直线为，联立直线与抛物线，则可得，再利用，即可求出直线.
（1）
由题意可知：，
解得：.
（2）
由（1）知抛物线，则焦点坐标为，
由题意知直线斜率不为0，设直线为：，
联立直线与抛物线：，消得：，
则
则
所以，
解得，
所以直线为：或
【题型专练】
1.（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
2.（2022·河南·模拟预测（文））设抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，若轴，且，则（ ）
A．或B．或C．或D．
【答案】A
【分析】求出点的坐标，由已知结合抛物线定义求出点B的坐标，再求出直线的倾斜角即可计算作答.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为：，
因轴，由抛物线的对称性，不妨取，设点B的横坐标为，
依题意，，解得，则或，
点，则直线斜率为，其倾斜角为，有，
若，则直线斜率为，其倾斜角为，有，
所以为或.
故选：A
3.（2022·云南玉溪·高二期末）直线与抛物线交于，两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】焦点弦长度等于.
【详解】抛物线的焦点为在直线上，故是抛物线的焦点弦，则
由得：，
所以，，
所以，
故选：D.
4.（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论不正确的是（ ）
A．B．F为的中点
C．D．
【答案】D
【分析】设出直线的方程，并与抛物线方程联立，求得两点的坐标，根据求得，求得点的坐标，从而确定正确选项.
【详解】依题意，设直线的方程为，
由消去并化简得，
解得，
所以，
所以，A选项正确.
直线的方程为，
令，则，故，
由于，，所以是的中点，B选项正确，
，，
，C选项正确，D选项错误.
故选：D
5．（2022·全国·高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A．B．8C．12D．
【答案】B
【分析】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案.
【详解】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，
代入抛物线方程得，可得，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为．
故选：B．
6．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
题型二：有关三角形面积问题
【例1】（2023·全国·高三专题练习）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】写出直线方程，联立抛物线方程，求出A，B两点坐标，进而求出AB的长，再求出原点到直线距离，求出三角形面积.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
则斜率为的直线方程为：，与抛物线方程联立得：
，
设，不妨设，，
则，
点O到直线AB的距离为，
所以△AOB的面积为
故选：B
【例2】（2022·广东揭阳·高二期末）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为___．
【答案】9
【分析】首先设抛物线的解析式，写出抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径，求出，的面积是与乘积的一半.
【详解】设抛物线的解析式，
则焦点为，对称轴为轴，准线为，
直线经过抛物线的焦点，A，B是与的交点，
又轴，
，
，
又点在准线上，过点P作l的垂线，垂直为D，
，
.
故答案为：9.
【例3】（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知斜率为的直线过抛物线：的焦点且与抛物线相交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设直线：， 与椭圆方程联立，根据与的面积之比为2，利用抛物线定义得到，再结合韦达定理求解.
【详解】解：如图所示：
由抛物线：，得，
设直线：，，，
由得，
所以，，
由已知和抛物线定义知：，
则有，即，
所以
解得，，.
故选：D
【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为（ ）
A．32B．16C．24D．8
【答案】A
【分析】由两条直线垂直，以及取得最小值时，有与，与关于轴对称，可得直线的斜率为1，进而可求出直线的方程，与抛物线联立写出韦达定理和弦长公式，再由相互垂直的四边形面积公式求值即可．
【详解】因为，要使最小，而，
由抛物线的对称性可得与，与关于轴对称，所以可得直线的斜率为1，又过抛物线的焦点，
所以直线的方程为：，
，整理可得，，，
所以可得，
所以．
故选：．
【例5】（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.
(1)求该抛物线的方程；
(2)为坐标原点，求的面积.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，由抛物线的定义结合韦达定理化简弦长后求解
（2）解出坐标，由割补法求解
【详解】(1)抛物线的焦点为，所以直线的方程为，
由消去得，所以，
由抛物线定义得，即，所以.
所以抛物线的方程为.
(2)由知，方程，
可化为，
解得，，故，.
所以，.
则面积
【题型专练】
1.（2022·四川省成都市新都一中高二期末（文））经过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若（其中O为坐标原点），则直线l的斜率为______．
【答案】
【分析】设直线斜率为，直线方程为，设，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，然后由弦长公式得弦长，再求得原点到直线的距离，求出面积后可得值．
【详解】由已知，
设直线斜率为，直线方程为，设，
由得，
，，
，
又到直线的距离为，
所以，．
故答案为：．
2.（2022·全国·高二专题练习）设为拋物线：的焦点，其准线与轴的交点为过点且倾斜角为的直线交拋物线于两点，则的面积为______.
【答案】
【分析】先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，求出直线方程，代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，结合弦长公式求出，再求出到直线的距离，从而可求出的面积
【详解】拋物线：的焦点，准线，所以，
过点且倾斜角为的直线方程为：，即0，
设
联立得，
所以，
所以
点到直线0的距离
所以．
故答案为：
3.（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知点为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线与交于点，，则（为坐标原点）的面积为___________.
【答案】
【分析】先写出直线方程，联立椭圆求得，，再由计算面积即可.
【详解】
由题意知，的方程为，代入的方程得，所以，设，
则，，所以.
故答案为：.
4．（2022·四川甘孜·高二期末（文））抛物线 的焦点为， 直线与抛物线分别交 于两点（点在第一象限）， 则的值等于________.
【答案】
【分析】由题意可知直线过焦点且倾斜角为，设，则 ，，求出，结合三角形面积公式即可求解
【详解】因为直线可化为，
所以过焦点且倾斜角为，
设，则 ，，
解得，，
代入得，，
所以，
故答案为：
5．（2022四川·高三学业考试）已知抛物线过点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设抛物线的焦点为，坐标原点为.过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，求的面积.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）将点代入抛物线，即可求出的值，即可得到抛物线的标准方程；
（2）由题意即可写出直线的方程，联立直线与抛物线，结合韦达定理与弦长公式即可求出，利用点到直线的距离公式，即可求出点到边上的高，即可求出其面积.
【详解】（1）因为抛物线过点，所以，所以抛物线；
（2）由题意知：直线的斜率，，所以直线方程为：，
联立直线与抛物线：消得：，
设，则，则，
点到直线的距离，
所以.
题型三：抛物线中点弦问题
【例1】（2022·河南安阳·高二期末（理））已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】B
【分析】设，，代入抛物线方程相减可得．
【详解】设，，∵是AB的中点，∴，
由，相减得，
所以直线的斜率，
故选：B．
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得直线方程，根据点到直线的距离即可得结果.
【详解】设，，则，，所以，
即，
因为AB的中点为，，
所以直线的斜率，所以直线的方程为，
所以焦点到直线的距离，
故选：A.
【例3】（2022·山西吕梁·二模（文））已知点F为抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A、B两点．若中点的纵坐标为2，则( )
A．6B．7C．9D．10
【答案】D
【分析】设的中点为，则﹒根据A和B在抛物线上，满足抛物线方程得到两个方程，两个方程作差即可得到直线l斜率，故可得直线l方程，从而可求M的横坐标，从而可求．
【详解】焦点为，p＝4，设的中点为，
∴，
∴，即，故，
由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，故，
故，∴，
∴．
故选：D．
【例4】（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试多选题）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，的准线与轴交于点，为坐标原点，则（ ）
A．线段长度的最小值为4
B．若线段中点的横坐标为，则直线的斜率为
C．
D．
【答案】ABD
【分析】设点、，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式可判断A选项；利用韦达定理计算出的值，可判断B选项；计算出，可判断C选项；计算，可判断D选项.
【详解】易知抛物线的焦点为，准线方程为，点，
设点、，
若直线轴，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
，由韦达定理可得，，
对于A选项，，
当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，由题意可得，解得，B对；
对于C选项，，同理可得，
所以，
，，C错；
对于D选项，，
所以，，D对.
故选：ABD.
【例5】（2021·安徽·高二阶段练习）已知抛物线上有3点A，B，C，且直线AB，BC，AC的斜率分别为，2，3，则的重心的纵坐标为______．
【答案】
【分析】设，，，利用点差法和两点坐标表示直线斜率可得，同理可得、，进而可得，结合三角形重心的坐标表示即可得出结果.
【详解】设，，，
则，两式相减得，
所以直线AB的斜率，所以．
同理，直线BC的斜率，
所以，直线AC的斜率，
所以．所以，
，，
所以的重心的纵坐标为．
故答案为：.
【题型专练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A．B．3C．D．－3
【答案】C
【分析】利用点差法计算可得；
【详解】解：设，，则，所以，整理得．
因为弦的中点为，所以，即直线的斜率为．
故选：C
2.（2022·全国·三模）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设点、，则，利用点差法可求得直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】设点、，则，
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，则直线的斜率存在，
由已知，两式作差可得，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：A.
3．（2022·陕西陕西·二模（理））已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限内的点为线段的中点，则的长度为（ ）
A．12B．18C．16D．8
【答案】C
【分析】设，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由的中点的坐标，求出参数的值，即可得到，再根据焦点弦的性质计算可得；
【详解】解：由条件得，设，，直线的方程为：，
联立得，
∴，由得.
∴，所以.
故选：C
4．（2022·福建·三模）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于A，两点，线段中点的纵坐标为，则（ ）
A．B．4C．8D．24
【答案】C
【分析】点差法求得，然后利用直线AB方程求得中点横坐标，根据抛物线定义可得.
【详解】记AB中点为，设，则，显然，所以由点差法得，由题知，，所以，易得直线AB方程为，则，即，所以.
故选：C
5．（2022·全国·高二课时练习）过点作抛物线的弦，若弦恰好被点平分，则弦所在直线的方程为______．
【答案】
【分析】只需求出的斜率即可得到直线方程，设出，，利用“点差法”解决.
【详解】显然不垂直于轴，故，设，，则，两式相减得．
∵点是弦的中点，∴，于是，即直线的斜率，
故弦所在直线的方程为，即．
故答案为：
6．（2022·吉林·长春市第八中学高二阶段练习）已知直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB的中点为，则线段AB的长度为_______．
【答案】
【分析】首先判断直线的斜率存在，设直线为，，，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根据，求出参数，再根据焦点弦公式计算可得；
【详解】解：依题意显然直线的斜率存在，设直线为，，，
由，消去整理得
当时，显然不成立．
当时，，
又得，解得，
当时直线，
又焦点满足直线．
所以，
又，
．
故答案为：
7．（2022·全国·高三专题练习）若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为___________.
【答案】
【分析】设出点A，B的坐标，再求出弦AB的垂直平分线的方程，将代入计算作答.
【详解】设点、的坐标分别是、，则，，
两式相减得，因，即有，
设直线的斜率是，弦的中点是，则，
从而的垂直平分线的方程为，
又点在直线上，所以，而，解得，
弦中点的横坐标为2.
故答案为：2
8．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上．
(1)求点F的坐标和抛物线C的准线方程；
(2)过点F的直线l交抛物线C于A、B两点，且线段AB的中点为，求直线l的方程及．
【答案】(1)，准线方程为，(2)；8
【分析】（1）将点代入抛物线方程，可得方程解析式，根据抛物线性质，可得答案；
（2）利用点差法，求得直线的斜率，代入中点，解得答案.
【详解】（1）将点代入抛物线C，得，∴∴，
∴，准线方程为；
（2）设，，∴，∴
∴直线l的斜率为∴直线l的方程：，∴，
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