人教版高考数学第二轮专项练习专题15 圆锥曲线的中点弦问题（原卷版）

这是一份人教版高考数学第二轮专项练习专题15 圆锥曲线的中点弦问题（原卷版），共10页。试卷主要包含了结论，典型例题，针对训练 举一反三等内容，欢迎下载使用。
1.在椭圆:中:(特别提醒此题结论适用型椭圆)
(1)如图①所示,若直线与椭圆交于,两点,过,两点作椭圆的切线,,有,设其斜率为,则.
(2)如图②所示,若直线与椭圆交于,两点,为椭圆上异于,的点,若直线,的斜率存在,且分别为,,则.
(3)如图③所示,若直线与椭圆交于,两点,为弦的中点,设直线的斜率为,则.

2.在双曲线:中,类比上述结论有:(特别提醒此题结论适用型双曲线)
(1). (2). (3).
3.在抛物线：中类比1（3）的结论有.
特别提醒：圆锥曲线的中点弦问题常用点差法，但是注意使用点差法后要检验答案是否符合题意；另外也可以通过联立+韦达定理求解.
二、典型例题
1．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三期末（文））设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直；
B．若直线方程为，则.
C．若直线方程为，则点M坐标为
D．若点M坐标为，则直线方程为；
【答案】D
【详解】
不妨设坐标为，则,，两式作差可得：
，设，则.
对A：，故直线不垂直，则A错误；
对B：若直线方程为，联立椭圆方程，
可得：，解得，故，
则，故错误；
对：若直线方程为y=x+1，故可得，即，又，
解得，即，故错误；
此题对另解，直接利用二级结论，由于本题椭圆方程为，是型椭圆，所以：，故可得，即，又，
解得，即，故错误；
对：若点M坐标为,则，则，
又过点，则直线的方程为，即，故正确.
故选：.
【反思】本题考察椭圆中弦长的求解，以及中点弦问题的处理方法；解决问题的关键是利用点差法，再使用二级结论时，注意先判断椭圆是型还是型，再利用结论求解.
2．（2021·安徽·淮北师范大学附属实验中学高二期中）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于、两点， 若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
解：设、，若轴，则、关于轴对称，不合乎题意，
将、的坐标代入椭圆方程得，两式相减得，
可得，
因为线段的中点坐标为，所以，，，
因为抛物线的焦点为，所以，
又直线过点，因此，所以，，
整理得，又，解得，，
因此，椭圆的方程为，
故选：D.
另解：设、，若轴，则、关于轴对称，不合乎题意，因为抛物线的焦点为，所以，所以，设线段的中点坐标为，利用二级结论，又因为，解得，，因此，椭圆的方程为，故选：D.
【反思】在圆锥曲线中，涉及到中点弦问题，小题中，常用点差法，也可以直接使用二级结论，但是在解答题中，不建议直接使用二级结论，即使使用点差法，也需检验答案是否符合题意，否则，最后还是需要联立直线与圆锥曲线，再求解.
3．（2021·湖北·高二阶段练习）已知斜率为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，的中点为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
设、、，则，
两式相减得，所以．
因为，，所以．
因为，，所以，故，
故．
故选：A.
另解：直接利用双曲线中的二级结论，.
【反思】注意使用二级结论的公式，一定要先判断，第一判断曲线是椭圆，还是双曲线，还是抛物线，第二判断圆锥曲线是型，还是型，第三，根据判断选择合适的二级结论，代入计算.
4．（四川省蓉城名校联盟2021-2022学年高二上学期期末联考理科数学试题）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：根据题意，设，
所以①，②，
所以，①②得：，即，
因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，
所以，即，
所以抛物线，准线方程为.
故选：B
【反思】在抛物线：中类比1（3）的结论有，注意到本题的抛物线方程是，此时中点弦二级结论有，直接代入，小题都可以用二级结论直接求解，但是注意先判断适用条件.
5．（2021·江西·南昌市新建区第一中学高二期末（理））已知斜率为的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，是线段的中点，是的焦点，的面积等于3，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由抛物线知：焦点
设
因为是线段的中点，所以
将和两式相减可得：，
即
∵
∴,
.
故选：B
另解：因为抛物线方程，设的中点，由中点弦二级结论，可知：代入：，另焦点，因为面积，可知，再代入.
【反思】中点弦，最典型的方法就是点差法，在判断条件满足二级结论时，可直接使用二级结论.
6．（2022·湖北·武汉市第十五中学高二期末）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆上．
(1)经过点M（1，）作一直线交椭圆于AB两点，若点M为线段AB的中点，求直线的斜率；
【答案】(1)；.
(1)解：由题设椭圆的方程为
因为椭圆经过点，所以
所以椭圆的方程为.
设，所以，
所以，
由题得，所以，
所以，所以，
所以直线的斜率为,经检验的斜率等于复合题意.
【反思】在圆锥曲线中，涉及中点弦常用点差法，注意使用点差法，最后需检验，特别是多个答案时，更应该检验，最后保留下符合题意的答案。另外中点弦问题也常联立直线和圆锥曲线，通过韦达定理来求解.特别提醒，解答题中，不能直接使用中点弦的二级结论，解答题中要先证后用.
8．（2021·甘肃·民勤县第一中学高二阶段练习（理））若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．
【答案】
【详解】
解法一：设、，则由：得：
．
∵直线与抛物线相交，且，则且．
∵AB中点横坐标为：，
解得：或（舍去）．
故所求直线方程为：．
解法二：设、，则有．
两式作差得：，即．
，，
,故或．
联立得，
由且得且，故舍去，
则所求直线方程为：．
【反思】在本题中，涉及中点弦问题，提供了点差法，联立直线与圆锥曲线的方法，注意在解法二中，使用点差法，但是最后的答案出现了或这两个答案，此时必需要检验.
三、针对训练 举一反三
一、单选题
1．（2022·江苏溧阳·高二期末）将上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C，若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB中点坐标为M（1，），那么直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知m，n，s，t为正数，，，其中m，n是常数，且s＋t的最小值是，点M(m,n)是曲线的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（ ）
A．x－4y＋6=0B．4x－y－6=0
C．4x＋y－10=0D．
3．（2021·江苏盐城·高二期末）椭圆中以点为中点的弦所在直线斜率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·江西南昌·高二期末（理））如图，双曲线，是圆的一条直径，若双曲线过，两点，且离心率为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·四川·石室中学一模（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l交双曲线C的渐近线于A，B两点，若，（表示的面积），则双曲线C的离心率的值为（ ）
6．（2022·全国·高三专题练习）设直线与双曲线两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2021·江苏·高三阶段练习）已知A，B在抛物线上，且线段AB的中点为M(1，1)，则|AB|＝（ ）
A．4B．5
C．D．
8．（2021·重庆巴蜀中学高二期中）已知抛物线：，其焦点F到准线的距离为2，过焦点F且斜率大于0的直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线相切于点Q，为坐标原点，，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．（2022·湖南邵东·高二期末）椭圆方程为椭圆内有一点，以这一点为中点的弦所在的直线方程为，则椭圆的离心率为______．
10．（2021·黑龙江·大庆中学高二期中）已知椭圆的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点且线段AB的中点为，则直线l的斜率为________.
11．（2022·上海·复旦附中高二期末）过点作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段的中点，则双曲线的离心率为___________.
12．（2021·全国·高二课时练习）已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为________．
13．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则______．