第22讲 三角函数的概念 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版）

这是一份第22讲 三角函数的概念 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版），共20页。学案主要包含了A组---基础题，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。

1.借助单位圆理解任意角的三角函数的含义；
2.掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；
3.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦和正切；
4.掌握公式一并会应用.
1 任意角的三角函数的概念
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
① 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα；
② 把点P的纵坐标x叫做α的余弦函数，记作csα，即x=csα；
③ 把点P的纵坐标yx叫做α的正切函数，记作tanα，即yx=tanα(x≠0).
正弦函数fx=sinx, x∈R；余弦函数fx=csx, x∈R；
正切函数fx=tanx, x≠π2+kπ(k∈Z)，它们统称三角函数.
2 三角函数在各个象限的符号
设α的终边上一点Px,y，sinα符号看y，csα符号看x，tanα符号看yx.
3 特殊角的三角函数值表
4 终边相等的角的三角函数值
由三角函数的定义，易得：终边相等的角的同一三角函数的值相等.
即sin⁡(α+k⋅2π)=sinα，cs⁡(α+k⋅2π)=csα，tan⁡(α+k⋅2π)=tanα，其中k∈Z.
【题型一】 由终边或终边上的点求三角函数
相关知识点讲解
1 任意角的三角函数的概念
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
① 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα；
② 把点P的纵坐标x叫做α的余弦函数，记作csα，即x=csα；
③ 把点P的纵坐标yx叫做α的正切函数，记作tanα，即yx=tanα(x≠0).
正弦函数fx=sinx, x∈R；余弦函数fx=csx, x∈R；
正切函数fx=tanx, x≠π2+kπ(k∈Z)，它们统称三角函数.
解析
(1) 一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点是确定的，则点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数；
(2) 当α=π2+kπ(k∈Z)时，α的终边在y轴上，这时点P横坐标x=0，此时yx=tanα没意义.
(3) 设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r，
则sin⁡α=yr，cs⁡α=xr，tan⁡α=yx.显然其中r=x2+y2.
【典题1】 已知角θ以坐标系中Ox为始边，终边与单位圆交于点35,45，则下列各式正确的有( )
A．sinθ+csθ=-75B．sinθ-csθ=-15
C．sinθcsθ=1225D．sinθtanθ=920
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义求出θ的三角函数值，再逐一判断即可.
【详解】因为角θ以坐标系中Ox为始边，终边与单位圆交于点35,45，
所以sinθ=45,csθ=35,tanθ=43，
所以sinθ+csθ=75，故A错误；
sinθ-csθ=15，故B错误；
sinθcsθ=1225，故C正确；
sinθtanθ=45×43=1615，故D错误.
故选：C.
【典题2】 在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P3,4，则sinα+2csαcsα-sinα=( )
A．11B．-10C．10D．-11
【答案】B
【分析】由题意利用任意角的三角函数定义，可求得sinα,csα的值，代入计算即可.
【详解】因为角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，
且角的终边经过点P3,4，
所以sinα=49+16=45，csα=39+16=35，
所以sinα+2csαcsα-sinα=45+2×3535-45=-10.
故选：B.

变式练习
1.设角α的终边与单位圆的交点坐标为(32,12)，则csα=( )
A．12B．22C．32D．1
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义直接求解即可.
【详解】设角α的终边与单位圆的交点坐标为(32,12)，所以csα=32.
故选：C
2. 如图所示，在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为45，则csα的值为( )
A．-25B．25C．-35D．35
【答案】C
【分析】根据三角函数定义即可求解.
【详解】由题意及图示可知，A点的横坐标为-35，
所以csα=-35.
故选：C.
3.已知角θ的终边过点P-12,5,则( )
A．csθ=513B．sinθ=-1213C．tanθ=-512D．tanθ=-125
【答案】C
【分析】由三角函数的定义求解.
【详解】由角θ的终边过点P-12,5，则x=-12,y=5,r=x2+y2=13,
对于A选项，csθ=xr=-1213,故A错误；
对于B选项，sinθ=yr=513,故B错误；
对于C,D选项,tanθ=yx=-512，故C正确，
故选：C.
4.已知角α的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，若其终边经过点P-2,1，则sinα+2csα3sinα+csα=( )
A．-13B．-3C．0D．1
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义，求得sinα=15,csα=-25，代入即可求解.
【详解】由终边经过点P-2,1，根据三角函数的定义，可得r=OP=5，
所以sinα=15,csα=-25，则sinα+2csα3sinα+csα=15+2×(-25)3×15-25=-3
故选：B.
5.若角α的终边经过函数y=lga2x-1+2(a>0且a≠1)的图象上的定点P，则2sinα+csα=( )
A．355B．10C．5D．71010
【答案】C
【分析】首先得P1,2，进一步结合三角函数定义即可求解.
【详解】由题意令2x-1=1，得x=1，而此时y=lga2x-1+2=lga1+2=2，
所以，角α的终边经过定点P1,2，
所以sinα=21+4=255,csα=11+4=55，
所以2sinα+csα=5.
故选：C.
6.已知角α的终边在直线y=3x上，则sinα=( )
A．±31010B．±3C．31010D．3
【答案】A
【分析】分终边在第一象限和在第三象限两种情况，取终边上的一点，根据三角函数定义求出答案.
【详解】直线y=3x过第一象限和第三象限，
若终边在第一象限，可取终边上一点1,3，则sinα=312+32=31010，
若终边在第三象限，可取终边上一点-1,-3，则sinα=-3-12+-32=-31010.
故sinα=±31010.
故选：A
7.在平面直角坐标系xOy中，角α与β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若csα=-37，则csβ=( )
A．37B．-37C．2107D．-2107
【答案】A
【分析】利用任意角的三角函数定义进行求解.
【详解】设角a与β的终边分别与单位圆交于点(x1,y1)、(x2,y2)，
因为它们的终边关于y轴对称，
所以x2=-x1且y2=y1，
因为csα=-37，所以x1=-37，
所以csβ=x2=-x1=37．
故选：A.
8.利用定义求2π3的正弦、余弦和正切值．
【答案】sin2π3=32，cs2π3=-12，tan2π3=-3．
【分析】利用单位圆以及三角函数的定义求得正确答案.
【详解】如图所示，2π3的终边与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴于点B，
在△OPB中，|OP|=1，∠POB=π3，则|PB|=32，|OB|=12，则P-12,32．
所以sin2π3=32，cs2π3=-12，tan2π3=32-12=-3．

【题型二】 由三角函数值求终边上点的参数
【典题1】 已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2)，且csθ=35，则实数的a值是( )
A．-2B．211C．-2或211D．1
【答案】B
【分析】由题设可得csθ=2a+1(2a+1)2+(a-2)2且2a+1>0，求解即可.
【详解】由题设，2a+1(2a+1)2+(a-2)2=35且2a+1>0，即a>-12，
∴4a2+4a+15a2+5=925，则11a2+20a-4=0，解得a=-2或a=211，
综上，a=211.
故选：B.

变式练习
1.已知角α终边上一点P(1,y)，若csα=55，则y的值为( )
A．5B．2C．±5D．±2
【答案】D
【分析】利用余弦函数的定义列式计算即得.
【详解】由角α终边上一点P(1,y)，得r=1+y2，因此csα=11+y2=55，解得y=±2，
所以y的值为±2.
故选：D
2.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，csα=55,Pm,2为其终边上一点，则m=( )
A．-4B．4C．-1D．1
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
【详解】始边与x轴非负半轴重合，csα=55，P(m,2)为其终边上一点，
则mm2+4=55，且m>0，解得m=1．
故选：D．
3.已知角α的终边经过点-3,m，若tanα=23，则sinα=( )
A．-21313B．21313C．-31313D．31313
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义求出m，再由三角函数的定义计算可得.
【详解】因为角α的终边经过点-3,m，且tanα=23，
所以tanα=-m3=23，解得m=-2，
所以sinα=-2(-3)2+(-2)2=-21313.
故选：A.
4.角α的终边上一点P的坐标为(3,t)，且sinα=2t(t≠0)，则tanα=( )
A．±2B．±6C．2D．6
【答案】A
【分析】借助三角函数定义求出t，然后利用定义tanα=yx可求答案.
【详解】sinα=t3+t2=2t,t2=23+t2，解得：t=±6，所以tanα=±63=±2.
故选：A.
【题型三】 三角函数的符号的判断
相关知识点讲解
判断三角函数在各个象限的符号的方法
(1) 三角函数定义
设α的终边上一点Px,y，sinα符号看y，csα符号看x，tanα符号看yx.
(2) 巧记方法：QSRC--全是天才
如下图，第一象限是Q，第二象限是S，第一象限是T，第一象限是C；QSRC是“全是天才”各字拼音首字母.S代表"sin"，T代表"tan"，C代表"cs"，Q代表全部三种函数.
则第一象限中三个函数符号都是正，第二象限中只有sinα的符号是正，第三象限中只有tanα的符号是正，第四象限只有csα的符号是正.
【典题1】 已知点Ptanα,sinα在第三象限，则角α在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据三角函数在各个象限中的符号即可求解.
【详解】∵点Ptanα,sinα在第三象限，∴tanα