第22讲 三角函数的概念 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

这是一份第22讲 三角函数的概念 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（原卷版），共10页。试卷主要包含了掌握公式一并会应用等内容，欢迎下载使用。

1.借助单位圆理解任意角的三角函数的含义；
2.掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；
3.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦和正切；
4.掌握公式一并会应用.
1 任意角的三角函数的概念
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
① 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα；
② 把点P的纵坐标x叫做α的余弦函数，记作csα，即x=csα；
③ 把点P的纵坐标yx叫做α的正切函数，记作tanα，即yx=tanα(x≠0).
正弦函数fx=sinx, x∈R；余弦函数fx=csx, x∈R；
正切函数fx=tanx, x≠π2+kπ(k∈Z)，它们统称三角函数.
2 三角函数在各个象限的符号
设α的终边上一点Px,y，sinα符号看y，csα符号看x，tanα符号看yx.
3 特殊角的三角函数值表
4 终边相等的角的三角函数值
由三角函数的定义，易得：终边相等的角的同一三角函数的值相等.
即sin⁡(α+k⋅2π)=sinα，cs⁡(α+k⋅2π)=csα，tan⁡(α+k⋅2π)=tanα，其中k∈Z.
【题型一】 由终边或终边上的点求三角函数
相关知识点讲解
1 任意角的三角函数的概念
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
① 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα；
② 把点P的纵坐标x叫做α的余弦函数，记作csα，即x=csα；
③ 把点P的纵坐标yx叫做α的正切函数，记作tanα，即yx=tanα(x≠0).
正弦函数fx=sinx, x∈R；余弦函数fx=csx, x∈R；
正切函数fx=tanx, x≠π2+kπ(k∈Z)，它们统称三角函数.
解析
(1) 一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点是确定的，则点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数；
(2) 当α=π2+kπ(k∈Z)时，α的终边在y轴上，这时点P横坐标x=0，此时yx=tanα没意义.
(3) 设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r，
则sin⁡α=yr，cs⁡α=xr，tan⁡α=yx.显然其中r=x2+y2.
【典题1】 已知角θ以坐标系中Ox为始边，终边与单位圆交于点35,45，则下列各式正确的有( )
A．sinθ+csθ=-75B．sinθ-csθ=-15
C．sinθcsθ=1225D．sinθtanθ=920
【典题2】 在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P3,4，则sinα+2csαcsα-sinα=( )
A．11B．-10C．10D．-11

变式练习
1.设角α的终边与单位圆的交点坐标为(32,12)，则csα=( )
A．12B．22C．32D．1
2. 如图所示，在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为45，则csα的值为( )
A．-25B．25C．-35D．35
3.已知角θ的终边过点P-12,5,则( )
A．csθ=513B．sinθ=-1213C．tanθ=-512D．tanθ=-125
4.已知角α的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，若其终边经过点P-2,1，则sinα+2csα3sinα+csα=( )
A．-13B．-3C．0D．1
5.若角α的终边经过函数y=lga2x-1+2(a>0且a≠1)的图象上的定点P，则2sinα+csα=( )
A．355B．10C．5D．71010
6.已知角α的终边在直线y=3x上，则sinα=( )
A．±31010B．±3C．31010D．3
7.在平面直角坐标系xOy中，角α与β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若csα=-37，则csβ=( )
A．37B．-37C．2107D．-2107
8.利用定义求2π3的正弦、余弦和正切值．
【题型二】 由三角函数值求终边上点的参数
【典题1】 已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2)，且csθ=35，则实数的a值是( )
A．-2B．211C．-2或211D．1

变式练习
1.已知角α终边上一点P(1,y)，若csα=55，则y的值为( )
A．5B．2C．±5D．±2
2.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，csα=55,Pm,2为其终边上一点，则m=( )
A．-4B．4C．-1D．1
3.已知角α的终边经过点-3,m，若tanα=23，则sinα=( )
A．-21313B．21313C．-31313D．31313
4.角α的终边上一点P的坐标为(3,t)，且sinα=2t(t≠0)，则tanα=( )
A．±2B．±6C．2D．6
【题型三】 三角函数的符号的判断
相关知识点讲解
判断三角函数在各个象限的符号的方法
(1) 三角函数定义
设α的终边上一点Px,y，sinα符号看y，csα符号看x，tanα符号看yx.
(2) 巧记方法：QSRC--全是天才
如下图，第一象限是Q，第二象限是S，第一象限是T，第一象限是C；QSRC是“全是天才”各字拼音首字母.S代表"sin"，T代表"tan"，C代表"cs"，Q代表全部三种函数.
则第一象限中三个函数符号都是正，第二象限中只有sinα的符号是正，第三象限中只有tanα的符号是正，第四象限只有csα的符号是正.
【典题1】 已知点Ptanα,sinα在第三象限，则角α在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【典题2】已知sinθ⋅tanθ