浙江省杭州市保俶塔教育集团2024-2025学年七年级下学期5月考试数学试题

这是一份浙江省杭州市保俶塔教育集团2024-2025学年七年级下学期5月考试数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若分式x−12x+1的值为0，则x的值是（ ）
A．−12B．0C．12D．1
2．冠状病毒的一个变种是非典型肺炎的病原体，球形冠状病毒的直径是0.00000012米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×10−7米B．1.2×10−8米
C．12×10−8米D．12×10−7米
3．下列计算正确的是（ ）
A．x2⋅x2=2x2B．(xy)3=xy3C．(x4)2=x8D．x2+x2=x4
4．如图.已知直线a//b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ACB=30）其中点A，B分别落在直线a、b上.若∠1=44°，则∠2的度数为（ ）
A．45°B．46°C．47°D．22°
5．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1B．x2+2x−1C．x2−1D．x2+6x+9
6．已知关于x，y的方程组4x+y=123x−2y=a的解为x=by=4，则a的值为（ ）
A．-2B．0C．2D．4
7．已知3a÷3b=9，a2+b2=6，则ab的值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
8．《九章算术》“盈不足”一卷中有这样一个问题：“今有善田一亩，价三百：恶田七亩，价五百，今并买一百亩，价钱一万，问善、恶田各几何？”意思是：“今有好田1亩，价值300钱；坏田7亩，价值500钱.今共买好、坏田100亩，总价值10000钱，问好、坏田各买了多少亩？设好田买了x亩，坏田买了y亩，则下面所列方程组正确的是（ ）
A．x+y=100300x+7500y=10000B．x+y=100300x+5007y=10000
C．x+y=1007500x+300y=10000D．x+y=1005007x+300y=10000
9．已知a>1，P=aa−1，Q=a−1a，R=aa+1，则P、Q、R的大小关系是（ ）
A．R>P>QB．P>Q>RC．P>R>QD．R>Q>P
10．如图，已知AB//CD，P为CD下方一点，G，H分别为AB，CD上的点，∠PGB=α，∠PHD=β，（α>β，且a，β均为锐角），∠PGB与∠PHD的角平分线交于点F，GE平分∠PGA，交直线HF于点E，下列结论：
①∠P=a-β：②2∠E+α=180°+β：③若∠CHP-∠AGP=∠E，则∠E=60°；
其中正确的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若分式3m−2有意义，则实数m的取值范围是 ．
12．因式分解： x2−4= .
13．如图，将周长为10的△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 。
14．已知关于x的分式方程21−x=mxx−1−2有增根，则m的值是 ．
15．如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC(∠A=25°,∠B=65°)沿DE向下折叠，点A落在点A'处，当EA'//BC时，∠1= 度．
16．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除阴影D,E外，其余3块都是正方形，若阴影E周长为10，下列结论：①x的值为5；②若阴影D的周长为8，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．其中正确的是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）(−2)−2+(2024−1)0−(−1)2024；
（2）(2m−1)(1+2m)−(2m−1)2．
18．因式分解：
（1）4mx−6my+2m；
（2）4x2y+4xy2+y3.
19．解下列方程（组）：
（1）5x+4y=−155x−3y=6；
（2）2x−2−4xx2−4=0.
20．先化简，再求值：(2x−3x−2−1)÷x2−2x+1x−2，然后再从1，2，3中选一个合适的数，求式子的值.
21．已知实数x，y满足：x+y=7，xy=12．
（1）求x2+y2的值；
（2）将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式放置，其中B，C，G三点在同一条直线上，点E在x边CD上，连接BD，BF，已知AD=x，AB=nx，FG=y，EF=ny，阴影部分的面积为14，求n的值.
22．如图，点D，E分别在AABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠3=∠B，EFllAB.
（1）求证：DE//BC；
（2）若DE平分∠ADC，∠2=4∠B，求∠1.
23．某杨梅园的杨梅除了直接销售到市区外，还可以让市民去园区采摘，已知杨梅在市区和园区的销售价格分别是15元/千克和10元/千克，该杨梅园今年六月第一周一共销售了1000千克，销售收入12000元.
（1）该杨梅园今年六月第一周市区和园区分别销售了多少千克杨梅？
（2）为了促销，该杨梅园决定六月第二周将市区和园区销售价格均以相同折扣进行销售，小方发现用3240元购买市区的重量比用2430元购买园区的重量少30千克，求本次活动对市区和园区进行几折销售？
（3）在（2）的促销条件下，杨梅园想第二周市区和园区杨梅的平均售价和第一周的市区和园区平均售价相等，若第二周杨梅在市区的销量为a千克，园区的销量为b千克，请直接写出а与b的数量关系.
24．如图，已知AD//BC，∠A=∠C=m°.
（1）如图①，求证：AB//CD；
（2）如图②，连结BD，若点E，F在线段AB上，且满足∠FDB=∠BDC，并且DE平分∠ADF，求∠EDB的度数；（用含m的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵x−12x+1的值为0，
∴x-1=0且2x+1≠0，
∴x=1.
故答案为：D.
【分析】根据分式值为零的条件，即分子为零且分母不等于零，所以x-1=0且2x+1≠0，解之即可求得x的值.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.00000012=1.2×10-7．
故答案为：A.
【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、x2•x2=x4，不符合题意；
B、（xy）3=x3y3，不符合题意；
C、（x4）2=x8，符合题意；
D、x2+x2=2x2，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 根据合并同类项法则，同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，对各选项分析判断 .​​​​​​​
4．【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解： 如图，
∵∠1+∠ABC+∠3=180°，∠ABC=90°，∠1=44°，
∴∠3=46°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=46°，
故答案为：B.
【分析】 根据平角定义求出∠3=46°，再根据“两直线平行，同位角相等”求解即可.
5．【答案】D
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： x2+6x+9=（x+3）2，
故答案为：D.
【分析】 根据完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，可得答案.
6．【答案】A
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=by=4代入4x+y=123x−2y=a，
得4b+4=12，3b-8=a，
由4b+4=12，得b=2，
∴a=3b-8=-2
故答案为：A.
【分析】把x=by=4代入原方程组，先求得b=2，再代入求a的值即可.
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方式
【解析】【解答】解： ∵3a÷3b=9，
∴3a÷3b=3a-b=9=32，
∴a-b=2，
∴（a-b）2=4，即a2-2ab+b2=4，
∵a2+b2=6，
∴6-2ab=4，
解得：ab=1．
故答案为：C.
【分析】 由同底数幂的除法逆运算，可得3a÷3b=3a-b=9=32，由此可得a-b=2，然后再根据完全平方公式，可得（a-b）2=4，即a2-2ab+b2=4，然后把a2+b2=6代入，即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 共买好、坏田1顷，
∴x+y=100；
今有好田1亩，价值300钱；坏田7亩，价值500钱，则坏田单价5007，
购买100亩田共花费10000钱，
∴300x+5007y=10000．
故答案为：B.
【分析】 根据总价=单价×数量，结合购买好田坏田一共是100亩且共花费了10000元，即可得出关于x，y的二元一次方程组.
9．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： 由题意得：P＞1，Q＜1，R＜1，
∵Q-R=−1a(a+1)1，为三者当中最大的数，再对Q，R作差利用分式的减法的法则进行求解即可.
10．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解：
①如图，作PM平行CD，由平行线的传递性知，AB∥CD∥PM，
∴∠BGP=∠MPG=α，∠PHD=∠MPH=β，
∴∠HPG=∠MPG-∠MPH=α-β；
②过F作FN∥CD，同理可得AB∥CD∥FN，
∵HF平分∠PHD，
∴∠NFE=0.5β，
∵GF，GE分别平分∠PGB和∠AGP，
∴∠AGE=（180°-∠PGB）÷2=90°-0.5α，
由猪蹄模型的结论可知，∠E=∠AGE+∠EFN，
∴∠E=90°-0.5α+0.5β，
2∠E=180°-α+β，
∴2∠E+α=180°+β；
③由②可知2∠E+α=180°+β，化简得α-β=180°-2∠E，
∠CHP=180°-β，∠AGP=180°-α，
若 ∠CHP-∠AGP=∠E ，
即180°-β-（180°-α）=∠E
∴∠E =α-β，
又∵α-β=180°-2∠E，
∴180°-2∠E=∠E，
∴∠E=60°；
故①②③均正确
故答案为：D.
【分析】①作PM平行CD，通过平行线的传递性和两直线平行内错角相等的性质，进而表示∠E；②过F作FN∥CD，同理，分别表示出∠AGE+和∠EFN，进而根据猪蹄模型，直接代入得关于∠E的表达式；根据平角和角平分线，分别表示∠CHP和∠AGP，再结合②的结论，即可求得∠E大小.
11．【答案】m≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：解：由题可知，m-2≠0，解得m≠2．
故答案为：m≠2.
【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．
12．【答案】(x+2)(x−2)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 − 4 =( x + 2 ) ( x − 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x − 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
13．【答案】14
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解： ∵△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，
∴AD=CF=2，
∴四边形ABFD的周长，
=AB+BC+DF+CF+AD，
=△ABC的周长+AD+CF，
=14
故答案为：14.
【分析】 根据平移的性质，对应点的连线AD、CF都等于平移距离，再根据四边形ABFD的周长=△ABC的周长+AD+CF代入数据计算即可得解.
14．【答案】-2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
去分母得：-2=mx-2（x-1），
分式方程有增根，即x=1，
把x=1代入整式方程得：-2=m-0，
∴m=-2．
故答案为：-2.
【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，由x=1是方程的增根，代入整式方程即可求出m的值.
15．【答案】70
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设EA'与AB交于点F，
由折叠可知：∠AED=∠A'ED，
∵EA'∥BC，
∴∠AEA'=∠ACB=90°，
∴∠AED=∠A'ED=45°，
∵EA'∥BC，∠B=65°，
∴∠EFD=∠B=65°，
∵∠1+∠EFD+∠A'ED=180°，
∴∠1=180°-65°-45°=70°．
故答案为：70.
【分析】 根据平行，求出∠AEA'，根据折叠可知：∠AED=∠A'ED，再利用平行线的性质求出∠EFD，最后利用三角形内角和求出∠1即可.
16．【答案】①②
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，
∴x=a+b,y=b+c，
阴影E的长为c，宽为a+b−c，
阴影D的长为a，宽为b−a，
∵阴影E的周长为10，
∴2(c+a+b−c)=10，
∴a+b=5，
即x=5，故①正确；
∵阴影D周长为8，
∴2(a+b−a)=8，
解得：b=4，
∵a+b=5，
∴a=1，
即正方形A的面积为1，故②正确；
∵大长方形的面积为30，
∴xy=30，
∵x=5，
∴y=6，
∴b+c=6，
假设三个正方形的周长为24，
∴4a+4b+4c=24，
∴a+b+c=6，
∴a=0（不成立），
∴若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．故③错误，
故答案为：①②．
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，即可得到x=a+b,y=b+c，表示阴影E、阴影D的长和宽，根据阴影E的周长求出x值判定①；根据阴影D周长求出b值，进而得到a的值判定②；根据大长方形的面积为30，得到b+c=6，设三个正方形的周长为24，解得a=0判定③解题．
17．【答案】（1）解：原式=14+1−1
=14；
（2）解：原式=4m2−1−4m2−4m+1
=4m2−1−4m2+4m−1
=4m−2．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂，负整数次幂以及平方运算，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可；
（2）先根据平方差公式以及完全平方公式展开，再根据整式的加减混合运算进行计算即可．
（1）解：原式=14+1−1
=14；
（2）原式=4m2−1−4m2−4m+1
=4m2−1−4m2+4m−1
=4m−2．
18．【答案】（1）解：4mx-6my+2m =2m(2x-3y+1)
（2）解：原式=4x2y+4xy2+y2=y(4x2+4xy+y2)=y(2x+y)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】 （1）提取公因式2m即可；
（2）先提取公因式y，再利用完全平方公式分解即可.
19．【答案】（1）解：5x+4y=−15①5x−3y=6②
①-②，得7y=-21，
解得y=-3，
把y=-3代入②，得x=-35，
所以方程组的解是x=−35y=−3.
（2）解： 原方程去分母得：2x+4-4x=0，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的增根，舍去，
故原分式方程无解.
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】 （1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）将原方程去分母化为整式方程，解得x的值后进行检验即可.
20．【答案】解：原式=(2x−3x−2−x−2x−2)⋅x−2(x−1)2
=x−1x−2⋅x−2(x−1)2
=1x−1
由题意得：x−2≠0 且 x−1≠0 ，
∴x≠1 和 2 ，
当 x=3 时，原式 =13−1=12 ．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】 根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可.
21．【答案】（1）解：∵x+y=7，xy=12.
∴x2+y2+2xy=49，
∴x2+y2=49−2×12=25.
（2）解：由图示可知，阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半加长方形CEFG的面积减去△BGF的面积，即S阴=12nx2+ny2−12y(x+ny)=14.
整理得：12n(x2+y2)−12xy=14，
∴12n×25−12×12=14，
解得n=85.
【知识点】完全平方式；几何图形的面积计算-割补法；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】
（1）将x+y=7两侧平方，利用xy=12可得x2+y2的值；
（2）将阴影部分面积表示用代数式表示出来，代入已知条件即可求出n值.
22．【答案】（1）证明：(1) ∵EF∥AB (已知)，
∴∠3=∠ADE (两直线平行，内错角相等)，
∵∠3=∠B (已知)，
∴∠B=∠ADE (等量代换)，
∴DE∥BC (同位角相等，两直线平行)：
（2）解：∵ DE 平分 ∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，
∴∠2=4∠B，
∴∠2=4∠ADE，
∵∠2+∠ADC=180°，
∴4∠ADE+2∠ADE=180°，
∴∠ADE=30°,
∴∠ADC=60°,
∵EF∥AB,
∴∠1=∠ADC=60°.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】 （1）由EF∥AB，得到∠ADE=∠3，等量代换可知∠ADE=∠B，由此可证明DE∥BC；
（2）由两直线平行，得到∠1=∠ADC，根据∠2+∠ADC=180°，∠2=4∠B即可求得∠1的度数.
23．【答案】（1）解：设该杨梅园今年六月第一周市区销售了x千克杨梅，园区销售了y千克杨梅，根据题意得：
x+y=100015x+10y=12000，
解得：
x=400y=600
答：该杨梅园今年六月第一周市区销售了400千克杨梅，园区销售了600千克杨梅；
（2）解：设本次活动对市区和园区进行m折销售，
根据题意得：
243010×m10−324015×m10=30，
解得：m=9，
经检验，m=9是所列方程的解，且符合题意.
答：本次活动对市区和园区进行9折销售；
（3）根据题意得：15×0.9a+10×0.9ba+b=120001000，
解得a=2b.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设该杨梅园今年六月第一周市区销售了x千克杨梅，园区销售了y千克杨梅，利用总价=单价×数量，结合“该杨梅园今年六月第一周一共销售了1000千克，销售收入12000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设本次活动对市区和园区进行m折销售，利用数量=总价÷单价，结合用3240元购买市区的重量比用2430元购买园区的重量少30千克，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（3）根据该杨梅园想第二周市区和园区杨梅的平均售价和第一周的市区和园区平均售价相等，可列出关于a，b的二元一次方程，变形后，即可得出结论.
24．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠A=∠C，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠A=m°，
∴∠ADC=(180−m)°，
∴DE平分∠ADF，
∴∠EDF=12∠ADF，
∵∠FDB=∠BDC=12∠FDC，
∴∠EDB=∠EDF+∠FDB=12∠ADF+12∠FDC=12(∠ADF+∠FDC)=12∠ADC=(90−m2)°（3）如图③，在（2）的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当∠AED=∠CBD时，求∠ABD的度数.（用含m的代数式表示）
解：∵AB∥CD，
∴∠AED=∠EDC=∠EDB+∠BDC，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB=∠ADE+∠EDB，
∴∠AED=∠CBD，
∴∠EDB+∠BDC=∠ADE+∠EDB，
∴∠ADE=∠BDC，
∴∠ADE=∠EDF=∠FDB=∠DBC，
∴∠BDC=14∠ADC，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠ABD=14(180−m)°=(45−m4)°.
【知识点】角平分线的概念；用代数式表示几何图形的数量关系；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】
（1）根据等量代换，证明同旁内角互补，从而证明两直线平行；
（2）根据两个角平分线，可以得到∠EDB为∠ADC的一半；
（3）根据两直线平行，内错角相等，分别表示∠AED和∠CBD，根据相等条件，可以得到∠ADE=∠EDF=∠FDB=∠DBC，从而得∠ABD为四等分角.