预习课第12讲 最短路径问题 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

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1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础；
2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力；
【题型一】 将军模型的理解
【题型二】 角平分线与将军模型
【题型三】 垂直平分线与将军模型
【题型四】 等腰三角形与将军模型
【题型五】 将军模型的变形
3 课后分层练习 进一步巩固所学内容.
1.了解最短路径问题的模型，理解该模型的原理；
2.会利用最短路径模型求解最值.
1 将军饮马
如下图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上取一点P，使得PA+PB最小.
2 变形模型
如下图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上做点A，B，使得∆PAB的周长最小.
作点P关于OM，ON的对称点P1,P2,连接P1P2，交OM，ON于点A，B，此时∆PAB的周长最小.

【题型一】 将军模型的理解
1 引入
相传亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名字叫海伦，有一天，一位罗马将军专程去拜访他，并向他请教一个百思不得其解的问题.
如图，将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使得行走的路程最短？
据说，海伦稍加思索就解决了它，此后这个问题就被称为“将军饮马”，并流传至今.
在数学的角度，我们给以上故事数学化
如下图，定点A，B在直线l的同侧，在直线l上取一点P，使得PA+PB最小.
该模型强调A，B是定点，直线l是定直线，且A，B在l的同侧，动点P在直线l上运动。
作法 作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B与直线l交于点P.
简证 PA+PB=PA'+PB=A'B，P'A+P'B=P'A'+P'B，
因为P'A'+P'B≥A'B，所以P'A+P'B≥PA+PB，
所以点P为所求点.
【典题1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点A'，再连接A'B，与街道的所在直线的交点即为点C，此时AC+CB=A'C+CB=A'B，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答．
【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小，
∴先作点A关于街道的对称点A'，再连接A'B，与街道的所在直线的交点即为点C，学校C的位置如图所示：
∴此时AC+CB=A'C+CB=A'B，
故选：C．

变式练习
1 （24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应位于（ ）
A．点A处B．点B处C．点C处D．点D处
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
根据线段的垂直平分线的性质求解．
【详解】解：作N关于l的对称点E，连接ME，交l于点C，
∴NE的垂直平分线为l，
∴CN=CE，
∴PM+PN=PM+PE≥ME，
即P与C重合，
故选：C．
2（22-23八年级上·山西吕梁·期末）如图，直线a是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：作点M关于直线a的对称点M'，连接M'N交直线a于O．
根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短．
故选：C．
【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．
【题型二】 角平分线与将军模型
【典题1】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】本题考查了最短路线问题，角平分线的性质，垂线段最短定理．过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交BD于点M'，过点M'作M'N'⊥BC，垂足为点N'，根据“垂线段最短”，即可得CE为CM+MN的值最小，再利用面积公式求出CE的值，即可得出答案，解题关键是利用垂线段最短解决最值问题．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交BD于点M'，过点M'作M'N'⊥BC，垂足为点N'，
∵BD平分∠ABC，
∴ M'N'=M'E，
∴ CM'+M'N'=CE，
∴当点M与点M'重合时，CM+MN的值最小，等于CE的值，
∵ AB=4，△ABC的面积为8，
∴S△ABC=12AB⋅CE=12×4⋅CE=8，
∴CE=4，
∴ CM+MN的最小值为4，
故选：B．
变式练习
1（22-23八年级上·江苏镇江·期中）如图，在锐角△ABC中，AB=8，∠BAC=30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．8B．6C．4D．3
【答案】C
【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N．
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ MH=MN，
∴ BM+MN=BM+MH=BN，
∴ BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∴ BH是BM+MN的最小值，
∵ AB=8，∠BAC=30°，
∴ BH=12AB=4，
故选C．
【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题、角平分线的性质及含30°角的直角三角形的性质，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
2（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A．2.4B．3C．4D．4.8
【答案】D
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，根据角平分线的性质定理得到ME=MN，进而得到CM+MN=CM+ME=CE，利用面积法求出CE=4.8，由此得到CM+MN的最小值．
【详解】解：过点C作CE⊥AB于E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME=MN，
∴CM+MN=CM+ME=CE，
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10，CE⊥AB，
∵S△ABC=12AB⋅CE=12AC⋅BC，
∴10CE=6×8，
∴CE=4.8，即CM+MN的最小值是4.8
故选D．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，还考查了最短路线问题，解题的关键是找到使CM+MN最小时的动点N和M．

【题型三】垂直平分线与将军模型
【典题1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，直线m是线段BC的垂直平分线，点P是直线m上的一个动点．若AB=7，AC=4，BC=5，则△APC周长的最小值是（ ）
A．12B．11C．9D．7
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称，动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点C关于直线m的对称点为点B，故当点P在AB上时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．
【详解】解：设直线m交AB于D，连接BP，如图所示：
∵直线m是BC的垂直平分线，
∴B、C关于直线m对称，BP=PC，
∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，
∵ △APC周长=AP+PC+AC，且AP+CP的最小值等于AB，
∴△APC周长的最小值是AB+AC=7+4=11，
故选：B．
变式练习
1（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，已知直线l垂直平分AB，点C在直线l的左侧，且AB=9，AC=7，BC=5，P是直线l上的任意一点，则PB+PC的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．9
【答案】C
【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到BP=AP，利用两点之间线段最短，找出最短距离为AC即可得到结果．
【详解】解：连接BP，
∵l垂直平分AB，
∴BP=AP，
∴PB+PC=PA+PC≥AC，
∴ PB+PC的最小值是AC，值为7，
故选：C．
2（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在△ABC中，已知AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，P为直线MN上一点，连结PB，PC，则△PBC的周长最小是（）
A．15B．14C．13D．16
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、轴对称、最短路线问题等知识，将△PBC周长的最小值转化为AC+BC是解题的关键．
连接AP，由MN是AB的垂直平分线，得AP=BP,AM=BM，则C△PBC=BP+PC+BC=AP+PC+BC，由两点之间线段最短可知AP+PC的最小值为AC，即可得出答案．
【详解】解：连接AP，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AP=BP,AM=BM，
C△PBC=BP+PC+BC=AP+PC+BC，
∵点P、A、C三点在一条直线上时，AP+PC的最小，最小值为AC，
∴C△PBC最小值为AC+BC，此时点P与点M重合，
∵AC+BC=13
∴ △PBC周长的最小值为13，
故选：C．
3（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=5，点P是射线CD上一动点，点F是△ABC边AB上一动点，CD⊥CB，垂足为点C，当PE+PF的值最小时，BF=6，则AF的长为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1.5
【答案】B
【分析】此题考查轴对称最短路径问题、等边三角形的性质、30°角直角三角形的性质等知识，求出∠G=30°是解题的关键．
作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时PE+PF的值最小，由直角三角形的性质求得BG=2BF=12，由BE=5，得到CE=CG=72，即可得到答案．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠B=60°，
作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，
则此时，EP+PF的值最小，
∵∠B=60°，∠BFG=90°，
∴∠G=30°，
∵BF=6，
∴BG=2BF=12，
∵BE=5，
∴EG=7，
∴CE=CG=12EG=72，
∴AB=AC=BC=CE+BE=72+5=172，
∴AF=AB-BF=172-6=2.5
故选：B
【题型四】等腰三角形与将军模型
【典题1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在等边△ABC中，D为AC中点，点P，Q分别为AB,AD上的点，BP=AQ=3，QD=2，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定与性质， 作点Q关于BD的对称点Q'，连接PQ'交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ'，求出PQ'即可，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC，
∵D为AC中点，
∴BD⊥AC，
∵AQ=3，QD=2，
∴AD=DC=AQ+QD=3，
如图，作点Q关于BD的对称点Q'，连接QE，则PE+QE=PE+EQ'，
当点P，E，Q'共线时，最小值为PQ'，
∵AQ=3,AD=DC=5，
∴QD=DQ'=2，
∴CQ'=BP=3，
∴AP=AQ'=7，
∵∠A=60°，
∴△APQ'是等边三角形，
∴PQ'=PA=3，
∴PE+QE的最小值为7，
故答案为：7．
变式练习
1（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15°B．225°C．30°D．45°
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置．
根据对称性和等边三角形的性质，过点B作BE⊥AC交AD于点F，连接CF，此时EF+CF取得最小值，借助等边三角形的性质得∠FAC=∠FCA，∠BAD=∠CAD=30°，即可求解．
【详解】解：过点B作BE⊥AC交AD于点F，连接CF，
∵等边三角形ABC的边长为4，
∴AE=EC=2，
∴AF=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠ECF=30°，
故选：C．
2（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，AD是△ABC的一条角平分线，点E，F分别是线段AD，AC上的动点，若AD=4，BD=3，那么线段CE+EF的最小值是（ ）

A．245B．5C．4D．6
【答案】A
【分析】过点B作BF'⊥AC于点F'，交AD于E'，此时CE″+E'F'=BF'，即CE+EF的最小值，利用面积法可求出BF'的值，即CE+EF的最小值．
【详解】解：过点B作BF'⊥AC于点F'，交AD于E'，
∵AC=AB=5，AD是△ABC的一条角平分线，
∴点D为底边BC的中点，AD⊥BC，BC=2BD=6，
∴点C、B关于AD对称，
∴BE'=CE'，
∴CE'+E'F'=BF'，此时CE+EF的最小值，
∵AD=4，BF'⊥AC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BF'，
∴6×4=5BF'，
∴BF'=245，
∴CE+EF的最小值为245．
故选A．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．
3（22-23七年级下·山东济南·期末）如图，等腰△ABC的底边BC=4cm，面积为8cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为多少？（ ）

A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点B，MA=MB，推出MB+MD=MA+MD≥AD，故AD的长为MB+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接AD，MA．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=8，解得AD=4cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点B，MA=MB，
∴MB+DM=MA+DM≥AD，
∴AD的长为MB+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=4+12BC=4+12×4=4+2=6cm．
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
【题型五】 将军模型的变形
【典题1】（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥DE，AB=BC，AE=DE，∠BCD+∠CDE=230°，点P，Q分别在边BC，DE上，连接AP，AQ， PQ，当△APQ的周长最小时，∠PAQ的度数为（ ）

A．50°B．80°C．100°D．130°
【答案】B
【分析】本题考查轴对称图形的性质．延长AB到点G使得BG=AB，延长AE到点F使得EF=AE，连接GF交BC、DE于点P1、Q1，则这时△APQ的周长最小，根据无变形的内角和求出∠BAE的度数，根据轴对称的性质得到∠P1AG=∠G，∠Q1AF=∠F，然后计算解题即可．
【详解】解：延长AB到点G使得BG=AB，延长AE到点F使得EF=AE，

∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴BC、DE垂直平分AG、AF，
连接GF交BC、DE于点P1、Q1，
则P1G=P1A，Q1F=Q1A，
∴FG=P1G+P1Q1+Q1F=P1A+P1Q1+Q1A，这时△APQ的周长最小，
∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠ABC=∠AED=90°，
又∵∠BCD+∠CDE=230°，
∴∠BAE=540°-∠ABC-∠AED-(∠BCD+∠CDE)=540°-90°-90°-230°=130°，
∴∠G+∠F=180°-∠BAE=180°-130°=50°，
又∵P1G=P1A，Q1F=Q1A，
∴∠P1AG=∠G，∠Q1AF=∠F，
∴∠P1AQ1=∠BAE-∠P1AG-∠Q1AF=∠BAE-∠G-∠F=130°-50°=80°，
故选：B．
变式练习
1（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点A到B的路径A-M-N-B最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握最短路径的计算方法是解题的关键．
求AM+MN+NB的最小值，因为MN是定值，则当AM+NB的值最小时即可，将线段AM沿着MN方向，平移得到A'M'，当点M',N重合时，点A',M',B三点共线，此时AM+NB的值最小，由此即可求解．
【详解】解：从点A到B的路径为AM+MN+NB的值，
∵MN是定值，
∴当AM+NB的值最小时，从点A到B的路径最短，
如图所示，将线段AM沿着MN方向，平移得到A'M'，点M'与点N重合，
当AM∥BN时，点A',M',B三点共线，AM+NB=A'M'+NB=A'B，
∴由两点之间线段最短得，A'B的值最小，
故选：D ．
2（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，∠AOB=20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM=α，∠OQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（ ）
A．β-α=30°B．β+α=210°C．β-2α=30°D．β+α=200°
【答案】D
【分析】如图，作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，易知∠OPM=∠OPM'=∠NPQ，∠OQP=∠AQN'=∠AQN，∠OQN=180°-20°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=20°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=20°+∠ONQ，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
由轴对称的性质得∠OPM=∠OPM'=∠NPQ，∠OQP=∠AQN'=∠AQN，∠OQN=180°-20°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=20°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=20°+∠ONQ，
∴α+β=180°-20°-∠ONQ+20°+20°+∠ONQ=200°．
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3（22-23八年级上·福建厦门·期末）如图，在四边形ABCD中，∠C=α°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．αB．2αC．180-αD．180-2α
【答案】D
【分析】要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A'，A″，即可得出∠AA'E+∠A″=α，即可得出答案．
【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A'，A″，连接A'A″，交BC于E，交CD于F，
∴AF=A″F，AE=A'E，
∴∠EA'A=∠EAA'，∠FAD=∠A″，
则A'A″即为△AEF的周长最小值，
∵∠C=α，∠ABC=∠ADC=90°
∴∠DAB=180°-α，
∴∠AA'E+∠A″=180°-180°-α=α，
∵∠EA'A=∠EAA'，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA'+∠A″AF=α，
∴∠EAF=180°-α-α=180°-2α，
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
4（21-22八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140 °B．100°C．80°D．50°
【答案】B
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP1M＋∠OP2N＝100°．
【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，
则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则
△PMN的周长的最小值＝P1P2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP1M＋∠OP2N＝100°，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．

【A组---基础题】
1（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，直线l是一条河，A、B 是两个新农村定居点，欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 A、B两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：作A关于l的对称点A'，连接A'B交直线l于点M，如图所示，
则AM+BM=A'M+BM≥A'M
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选：D．
2（19-20八年级上·湖北·阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【分析】连接BE，则BE的长度即为PC与PE和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BE，与AD交于点P，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE≥BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，BA=BC，又AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ACP=30°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质、等腰三角形的性质，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
3（21-22八年级上·吉林·期中）如图，等边△ABC的边长为1，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A'BC'关于直线l对称，D为线段BC'上的一个动点，则AD+CD的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】连接CA'交BC'于点E，C，A'关于直线BC'对称，推出当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA'的长=2．
【详解】解：连接CA'交BC'于点E，
∵直线l⊥AB，且ΔABC与△A'BC'关于直线l对称，
∴A，B，A'共线，
∵∠ABC=∠A'BC'=60°，
∴∠CBC'=60°，
∴∠C'BA'=∠C'BC，
∵BA'=BC，
∴BE⊥CA'，CD=DA'，
∴C，A'关于直线BC'对称，
∴当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA'的长=2，
故选B．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
4（22-23八年级上·安徽六安·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=14，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB，AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】作点P关于直线AD的对称点P'，连接QP'，证明△AQP≌△AQP'(SAS)，得PQ=QP'，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP'的最小值，即当BP'⊥AC时，BQ+QP'的值最小，此时Q与D重合，P'与C重合，最小值为BC的长．
【详解】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P'，连接QP'，
在△AQP和△AQP'中，
AP=AP'∠QAP=∠QAP'AQ=AQ，
∴△AQP≌△AQP'(SAS)，
∴PQ=QP'，
∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP'的最小值，
∴当BP'⊥AC时，BQ+QP'的值最小，此时Q与D重合，P'与C重合，最小值为BC的长．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=14，∠BAC=30°，
∴BC=12AB=7，
∴PQ+BQ的最小值是7，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．
5（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=27，直线EF垂直平分线段AB，若点D为边BC的中点，点G为直线EF上一动点，连接DG、BG，则△BDG的周长的最小值为（ ）
A．13B．12C．11D．10
【答案】B
【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，涉及到线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出△BDG周长的最小值为AD+3是解题的关键．
连接AG，AD，推出△BDG周长的最小值为AD+3，证明AD⊥BC，再利用三角形的面积公式列方程求出AD即可解决问题．
【详解】解：连接AG，AD，
∵直线EF垂直平分线段AB，
∴AG=BG，
∵点D为边BC的中点，BC=6，
∴BD=12BC=3，
∴△BDG周长=BG+DG+BD=AG+DG+3≥AD+3，
∴△BDG周长的最小值为AD+3，
∵AB=AC，点D为边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵BC=6，S△ABC=27，
∴12×6AD=27，
解得AD=9，
∴△BDG周长的最小值为9+3=12，
故选：B．
6（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点N在边BC上，且BN=6，点M，P分别是边AB，AC上的动点，当PM+PN最小时，BM=5，则AB长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】D
【分析】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点N关于AC的对称点N'，作N'M⊥AB于M，交AC于P，此时PN+PM=PN'+PM=MN'，根据垂线段最短，PM+PN'的最小值等于垂线段MN'的长，利用含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，作点N关于AC的对称点N'，作N'M⊥AB于M，交AC于P，，此时PN+PM最小，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，AB=2BC，
∵∠BMN'=90°，
∴∠BN'M=30°，
∵BM=5，
∴BN'=2BM=10，
∵BN=6，
∴CN=CN'=2，
∴BC=8，
∴AB=2BC=16，
故选：D．
7（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图．在五边形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝88°，∠B＝∠E＝90°， 在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠BAE的度数为（ ）
A．136°B．96°C．90°D．84°
【答案】A
【分析】取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，根据轴对称的性质可得AM=PM，AN=QN，然后求出△AMN周长=PQ，根据轴对称确定最短路线问题，PQ的长度即为△AMN的周长最小值，根据三角形的内角和等于180°求出∠P+∠Q，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AMN=2∠P，∠ANM=2∠Q，然后求解即可．
【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，
则AM=PM，AN=QN，
∴∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN，
∴△AMN周长=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ，
由轴对称确定最短路线，PQ的长度即为△AMN的周长最小值，∵∠AMN＋∠ANM＝88°，
∴∠MAN=180°-∠AMN+∠ANM=92°
∵∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN，
∴∠P+∠Q=12180°-92°=44°，
∴∠BAE=180°-∠P+∠Q=136°，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，确定出点M、N的位置是解题的关键，属于中考常考题型．
8（24-25八年级上·福建南平·期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD=3，∠A=∠D=90°，∠B=60°，BC=2DC，在AD上找一点P，使PC+PB的值最小，则PC+PB的最小值为 ．
【答案】6
【分析】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出CC'=BC是解本题的关键．
先作出点C关于AD的对称点，判断出CC'=BC，进而判断出∠C'=30°，再构造出直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，延长CD至C'，使C'D=CD，
∵∠ADC=90°，
∴点C'与点C关于AD对称，
连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小，
∵∠A=∠ADC=90°，
∴CD∥AB
∴∠C'=∠ABC',∠BCC'=180°-∠ABC=120°，
∵C'D=CD，
∴CC'=2CD，
∵BC=2CD，
∴CC'=BC，
∴∠C'=∠CBC'，
∴∠C'=∠ABC'=∠CBC'=30°，
过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E，
则BE=AD=3（平行线间的距离处处相等），
在Rt△BEC'中，∠C'=30°,BE=3，
∴BC'=2BE=6，
即PC+PB的值最小值为6，
故答案为：6．
9（22-23八年级上·广西河池·期中）A,B两个村庄在如图所示的直角坐标系中，那么：
(1)点A的坐标为___________，点B的坐标为___________；
(2)如把直角坐标系中的横轴看作一条河，现准备在河流边上建一个抽水站P，使得抽水站P到A,B两个村庄的距离之和最小，请作出点P的位置，并求此时△ABP的面积．
【答案】(1)1,2，5,2
(2)作图见解析，面积为2
【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，轴对称最短路径的计算，掌握平面直角坐标系的特点是关键．
（1）根据平面直角坐标系的特点写出坐标即可；
（2）根据轴对称最短路径的计算，作A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于P，即可求解．
【详解】（1）解：点A的坐标为1,2，点B的坐标为5,2，
故答案为：1,2，5,2；
（2）解：作A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于P，
则点P就是使得抽水站到两个村庄的距离之和最小，即PA+PB最小的点，
∴S△ABP=12×4×2=4．

【B组---提高题】
1（20-21八年级上·广东广州·期中）如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（ ）
A．1B．2C．4D．1.5
【答案】A
【分析】分别作点P关于OB和OA的对称点P'和P″，连接OP'、OP″、P'P″，则P'P″与OB的交点为点N'，P'P″与OA的交点为点M'，连接PN'、PM'，则此时P'P″的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥P'P″于点C，求得∠OP'P″的值，由含30°角的直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：分别作点P关于OB和OA的对称点P'和P″，连接OP'、OP″、P'P″，则P'P″与OB的交点为点N'，P'P″与OA的交点为点M'，连接PN'、PM'，则此时P'P″的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥P'P″于点C，如图所示：
由对称性可知OP＝OP'＝OP″＝2，
∵∠AOB＝60°，
∴∠P'O P″＝2×60°＝120°，
∴∠OP'P''＝∠OP'' P'＝30°，
∵OP＝2，OC⊥P'P″，
∴OC＝12OP'＝1；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
2（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰△ABC中，CA=CB=8，AB=10，AD平分∠BAC，点M为线段AD上一动点，连接CM，作∠MCN=∠ACB且CM=CN．连接DN，则当△CDN周长最小时，CNDN的值为 ．
【答案】95
【分析】作DE⊥AB,DF⊥AC，根据角平分线的性质得到DE=DF，可通过△BAD、△CAD面积比求出BDBC=59；连接BN，证明△BCN≌△ACMSAS，得到∠CBN=∠CAM，则点N在射线BN上运动，作点C关于射线BN对称点C'，当C'，N，D三点共线时，CN+DN=C'N+DN=C'D，此时△CDN周长最小，根据轴对称性质得BC'=BC，BN⊥CC'，∠CBN=∠C'BN，根据面积比求解即可．
【详解】解：作DE⊥AB,DF⊥AC，如图：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF，
∴S△BADS△CAD=12AB⋅DE12AC⋅DF=ABAC=108=54，
∵△BAD、△CAD边BD、CD上的高相同，
∴BDCD=S△BADS△CAD=54，即BDBC=59；
连接BN，
∵ ∠MCN=∠ACB，
∴∠MCN-∠MCD=∠ACB-∠MCD，
∴∠BCN=∠ACM，
∵CB=CA,CN=CM，
∴△BCN≌△ACMSAS，
∴∠CBN=∠CAM，
∴点N在射线BN上运动，
作点C关于射线BN对称点C'，连接C'D，C'N，BC'，
当C'，N，D三点共线时，CN+DN=C'N+DN=C'D，此时△CDN周长最小，
由点C与点C'关于BN对称得：BC'=BC，BN⊥CC'，
∴∠CBN=∠C'BN，
∴BN平分∠C'BC，则点N到BC'、BC的距离相等，
∴CNDN=C'NDN=S△BC'NS△BDN=BC'BD=BCBD=95．
故答案为： 95．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，角平分线的性质、三角形全等的判定与性质、轴对称解决最短路径问题等知识，添加辅助线解决问题是解题关键．