预习课第11讲 等边三角形及含30°角的直角三角形的性质 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）（解析版）

这是一份预习课第11讲 等边三角形及含30°角的直角三角形的性质 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）（解析版），共30页。学案主要包含了A组---基础题，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。
1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础；
2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力；
【题型一】 等边三角形的定义和性质
【题型二】 等边三角形的判定
【题型三】 等边三角形的判定与性质
【题型四】 含30°的直角三角形的性质
3 课后分层练习 进一步巩固所学内容.

1.掌握等边三角形的定义、性质和判定；
2.掌握含30°的直角三角形的性质.
1 等边三角形
(1)定义：三条边都相等的三角形；
(2)性质：三个内角都是60°，每条边都存在三线合一.
(3)判定：
① 三条边相等的三角形是等边三角形；
② 三个角都相等的三角形是等边三角形；
③ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
2含30°的直角三角形
在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【题型一】等边三角形的定义和性质
相关知识点讲解
等边三角形的定义和性质
(1)定义：三条边都相等的三角形；
(2)性质：三个内角都是60°，每条边都存在三线合一.
【典题1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=80°，∠BAD=15°，则∠CDE=（ ）
A．30°B．20°C．35°D．25°
【答案】D
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键；由题意易得∠B=60°,∠ADE=50°，则有∠ADC=75°，然后问题可求解．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AD=AE，∠DAE=80°，∠BAD=15°，
∴∠ADE=180°-∠DAE2=50°,∠ADC=∠B+∠BAD=75°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=25°；
故选：D．
【典题2】（2025·辽宁丹东·一模）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠ECD=20°，则∠ABE等于（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【答案】D
【分析】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由等边三角形三角形的性质推出AD垂直平分BC．
由等边三角形的性质推出∠ABC=60°，AD垂直平分BC，得到BE=CE，推出∠EBD=∠ECD=20°，即可求出∠ABE的度数．
【详解】解：∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴∠EBD=∠ECD=20°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBD=40°．
故选：D．


变式练习
1（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，E为BC上一点，在AB上取一点D，使AD=AE，且∠AED=65°，则∠EAC的度数是（ ）
A．10°B．20°C．15°D．5°
【答案】A
【分析】根据等边对等角可得∠ADE=65°，再根据三角形内角和定理求出∠DAE=50°，最后根据等边三角形的性质即可求解．
本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用．
【详解】解：∵AD=AE，且∠AED=65°，
∴∠ADE=65°，
∴∠DAE=50°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠EAC=∠BAC-∠DAE=10°，
故选：A．
2（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM=10，则DE+DF=（ ）
A．5B．10C．8D．6
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积额，利用等积法求解是解答本题的关键．连接AD，根据S△ABC=S△ABD+S△ACD，再代入数值可得答案．
【详解】解：连接AD，
∵△ABC是等边三角形，AM=10，
∴AB=AC=BC．
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴12BC⋅AM=12AB⋅DE+12AC⋅DF，
即12×10×BC=12BCDE+DF，
∴DE+DF=10．
故选：B．
3（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，若∠EBC=35°，则∠ECA的度数为（ ）
A．35°B．25°C．30°D．45°
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质和SAS证明△BAD≌△CAESAS得到∠ABD=∠ACE，再求出∠ABD的度数即可得到答案．
【详解】解：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠ABC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠EBC=35°，
∴∠ACE=∠ABD=∠ABC-∠EBC=25°，
故选：B．
4（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，若BE=2，AE=8，则CE的长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
由等边三角形的性质证明△ACD≌△BCESAS，再根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，CD=CE，
∠ACB-∠DCB=∠ECD-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCESAS，
∴AD=BE=2，
∵AE=8，
∴DE=AE-AD=8-2=6，
∴CE=DE=6，
故选：C．
5（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，△ABC是等边三角形，动点D从点B出发，沿BA方向运动到终点A，以CD为边向上作等边三角形CDE，连接AE．在整个运动过程中，阴影部分面积的变化情况是（注：等边三角形三个内角都为60°）（ ）
A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据等边三角形的性质可证△BCD≌△ACE，由此可得阴影部分的面积为等边三角形ABC的面积，由此即可求解．
【详解】解：∵△ABC,△CDE是等边三角形，
∴BC=AC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ABC-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACESAS，
∴S△BCD=S△ACE，
∵阴影部分的面积为S△ACE+S△ACD，
∴阴影部分的面积为S△ACD+S△BCD=S△ABC，
∴阴影部分面积的变化情况是一直不变，
故选：B ．
【题型二】等边三角形的判定
相关知识点讲解
等边三角形的判定
① 三条边相等的三角形是等边三角形；
② 三个角都相等的三角形是等边三角形；
③ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【典题1】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知：如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB,DF⊥AC，点E、F为垂足，且DE=DF，∠A=120°．
(1)求证；△BDE≌△CDF；
(2)求证：△DEF是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：
（1）利用HL证明△BDE≌△CDF即可；
（2）根据全等三角形的性质，得到∠B=∠C，进而求出∠B,∠C的度数，进而求出∠BDE,∠CDF的度数，进而求出∠EDF=60°，即可得证．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
∵D是BC边的中点，
∴BD=CD，
∵DE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDFHL；
（2）由（1）知：△BDE≌△CDF，
∴∠B=∠C，
∵∠A=120°，
∴∠B=∠C=12180°-120°=30°；
∴∠BDE=90°-∠B=60°,∠FDC=90°-∠C=60°，
∴∠FDF=180°-∠BDE-∠CDF=60°，
∵DE=DF，
∴△DEF是等边三角形．
变式练习
1（24-25七年级下·吉林·期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC,AE⊥BC，垂足分别为D,E，连接DE．求证：△CDE是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三线合一．
根据等边三角形三线合一推出CE=12BC,CD=12AC，进而推出CD=CE，结合∠C=60°，即可证明结论．
【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠C=60°，
∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴CE=12BC，CD=12AC，
∴CD=CD，
∵∠C=60°，
∴△CDE是等边三角形．
2（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF=∠C．

(1)求证：∠BDF=∠A；
(2)若∠A=60°，DF平分∠BDE，求出△ABC的形状．
【答案】(1)见解析；
(2)△ABC是等边三角形
【分析】本题考查平行线的判定与性质，等边三角形的判定，正确理解题意是解题的关键．
（1）先根据平行线的性质得出∠AED=∠C，再得出∠AED=∠EDF，推出DF∥AC，根据平行线的性质即可得出结论；
（2）先求出∠BDF=∠A=60°，再根据平分线的定义得出∠BDF=∠FDE=60°，根据平行线的性质得出∠AED=∠FDE=60°，进而得出∠C=∠AED=60°，根据三角形内角和定理得出∠B=180°-∠A-∠C=60°，推出∠A=∠B=∠C=60°，即可得出结论．
【详解】（1）证明：DE∥BC，
∴∠AED=∠C，
∵∠EDF=∠C，
∴∠AED=∠EDF，
∴DF∥AC，
∴∠BDF=∠A；
（2）解：∵∠A=60°，
∴∠BDF=∠A=60°，
∵DF平分∠BDE，
∴∠BDF=∠FDE=60°，
∵DF∥AC，
∴∠AED=∠FDE=60°，
∵DE∥BC，
∴∠C=∠AED=60°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-60°=60°，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形
【题型三】等边三角形的判定与性质
【典题1】（2025·安徽·三模）如图，点E是45°直角三角形斜边上的一点，F是直角边上一点，且AE=AF，若∠BAE=30°，则∠FED的度数是（ ）
A．15°B．20°C．22.5°D．10°
【答案】A
【分析】本题考查了含45°直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的外角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题先求得∠EAF=60°，然后证得△EAF是等边三角形，然后得到∠AFE=60°，然后根据三角形外角的性质，即可求解；
【详解】解：∵△ABD是含45°直角三角形，
∴∠B=∠D=45°，∠BAD=90°，
∵∠BAE=30°，
∴∠EAF=∠BAD-∠BAE=90°-30°=60°，
∵AE=AF，
∴△EAF是等边三角形，
∴∠AFE=60°，
∵∠AFE是△DEF的外角，
∴∠FED=∠AFE-∠D=60°-45°=15°；
故选：A；
变式练习
1（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）在△ABC中，若∠A=60°，且AB=BC=6，则AC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解答本题的关键．
根据等边三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：∵在△ABC中，若∠A=60°，且AB=BC=6，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=6，
故选：D．
2（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，DA=DC,BA=BC=6．若∠ABC=60°，则AO的长为（ ）
A．3B．2C．3D．1
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的逆定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
因为BC=BA=6，∠ABC=60°，得到△ABC是等边三角形，得出AC=AB=6，
根据题意得到BD垂直平分AC，得到AO=12AC=3，即可得到答案．
【详解】解； ∵BC=BA=6，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6，
∵DA=DC，BC=BA，
∴BD垂直平分AC，
∴AO=12AC=3，
故选：A．
3（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，点P在∠AOB内，OP与OC关于OA对称，OP与OD关于OB对称，若CD=OP，则∠AOB的度数是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，根据题意可得OP=OC=OD，结合CD=OP，可得△OCD是等边三角形，进而可得∠AOB的度数，解题的关键是：熟练掌握轴对称的性质．
【详解】解：∵点P在∠AOB内，OP与OC关于OA对称，OP与OD关于OB对称，
∴∠POA=∠COA,∠POB=∠DOB，OP=OC=OD，
∴∠AOB=∠AOP+∠POB=12∠COP+∠POD=12∠COD，
又∵CD=OP，
∴OC=OD=CD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD=2∠AOB=60°，
∴∠AOB=30°，
故选：B．
【题型四】含30°的直角三角形的性质
相关知识点讲解
含30°的直角三角形
在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如下图，在Rt∆ABC中，∠B=90°，∠A=30°，则BC=12AC.
证明 在AC上取点D，使得CB=CD，
又∵∠C=60°，∴∆BCD是等边三角形，
∴∠DBC=60°，∴∠ABD=30°，
又∵∠A=30°，∴AD=BD=BC，
∴AC=AD+CD=BC+BC=2BC，即BC=12AC.
【典题1】（2025·陕西榆林·三模）如图，OD是∠AOB的平分线，DE⊥OA于点E，点C在OB上，连接CD，∠BCD=30°，OC=6．若CD∥OA，则DE的长度是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握角平分线的性质，等角对等边，含30°的直角三角形是解题的关键．如图，证明∠COD=∠CDO，可得CD=OC=6，作DF⊥OB于F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求DF=12CD=3的长，根据角平分线的性质可得DF=DE=3，即可求解．
【详解】解：∵CD∥OA，∠BCD=30°，
∴∠BOA=∠BCD=30°，∠CDO=∠DOE，
∵OD是∠AOB的平分线，
∴∠COD=∠DOE，
∴∠COD=∠CDO，而OC=6，
∴CD=OC=6，
如图，作DF⊥OB于F，
∵∠BCD=30°，
∴DF=12CD=3，
∵点D在∠AOB的平分线上，DF⊥OB，DE⊥OA，
∴DF=DE=3，
故选：C．
变式练习
1（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=2，则AC的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质的应用，在直角三角形中，如果有一个角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据含30度角的直角三角形性质得出AC=2BC，代入求解即可．
【详解】解：∵ ∠ABC=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，
故选：D．
2（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，等腰△ABC中∠BAC=120°，在底边上取点D，使得AC⊥AD，若BC=6，则AD等于（ ）
A．2B．3C．2.5D．3.5
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，由垂直的定义得到∠B=∠BAD=30°，则DB=DA，CD=2AD，所以有BD+CD=AD+2AD=3AD=6，由此即可求解．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=12180°-∠BAC=12×180°-120°=30°，
∵AC⊥AD，
∴∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=120°-90°=30°=∠B，
∴DA=DB，
在Rt△ACD中，∠C=30°，
∴CD=2AD，
∴BD+CD=AD+2AD=3AD=6，
解得，AD=2，
故选：A ．
3（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的高，∠C=30°，AD=1，则AC=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题考查含30°角的直角三角形，在Rt△ABD中，由30°角的直角三角形的性质推出AB=2AD=2，在Rt△ABC中，由30°角的直角三角形的性质推出AC=2AB=4，即可求出AC的长．
【详解】解：∵BD是AC边上的高，∠C=30°，∠ABC=90°，
∴∠ADB=90°，∠A=90°-∠C=60°，
∴∠ABD=90°-∠A=30°，
∵AD=1，
∴AB=2AD=2，
∵∠ABC=90°,∠C=30°，
∴AC=2AB=4．
故选：D．
4（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，Rt△ABC的斜边AC∥x轴，点B的坐标是32,0，∠A=30°，则AC=（ ）．

A．8B．6C．4D．3
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据平行线的性质得出∠AOD+OCA=180°，求出∠OCB=30°，根据含30度角的直角三角形的性质得出BC=2OB=3，进一步得出答案．
【详解】解：

∵AC∥x，
∴∠COD+∠OCA=180°，
∵Rt△ABC中，∠BCA=90°-30°=60°，
∴∠OCB=180°-90°-60°=30°，
∵点B的坐标是32,0，
∴OB=32，
∴BC=2OB=3，
∴AC=2BC=6，
故选：B．
5（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在等边三角形ABC中，BC=8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形，由等边三角形性质得到AB=BC=AC=8，∠A=∠C=60°，根据含30°角的直角三角形求出AF=12AD=2，求出CF，再根据含30°角的直角三角形求出CE=12CF=3，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=8，∠A=∠C=60°，
∵D是AB的中点，
∴AD=12AB=4，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADF=180°-90°-60°=30°，
∴AF=12AD=2，
∴CF=AC-AF=8-2=6，
∵EF⊥BC，
∴∠CFE=90°-∠C=30°，
∴CE=12CF=3，
∴BE=BC-CE=8-3=5，
故选：C．

【A组---基础题】
1（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过等边三角形ABC的顶点A作直线．若∠1=20°，则∠2的度数是（ ）
A．100°B．80°C．60°D．40°
【答案】A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和平角的定义，先根据等边三角形的性质得出∠BAC=60°，再根据平角的定义即可得出答案．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵∠1=20°，
∴∠2=180°-∠1-∠BAC=100°，
故选：A
2（2025·湖南岳阳·一模）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，连接EB、EC，若∠EBC=45°,BC=6，则ED等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明BD=CD=3，∠BDE=90°，再证明∠BED=∠EBC=45°，从而可得答案．
【详解】解：在等边三角形ABC中，AD⊥BC，BC=6，
∴BD=CD=3，∠BDE=90°，
∵∠EBC=45°，
∴∠BED=∠EBC=45°，
∴DE=DB=3，
故选：A
3（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，等腰△ABC中∠ACB=120°，在底边上取点D，使得AC⊥CD，若AB=6，则CD等于（ ）
A．2B．3C．2.5D．3.5
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质得到∠B=∠A=30°，由垂直的定义得到∠B=∠BCD=30°，则DB=CD，AD=2CD，所以有BD+AD=BD+2CD=3CD=6，由此即可求解．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=120°，
∴∠B=∠A=12180°-∠ACB=12×180°-120°=30°，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°=∠B，
∴DC=DB，
在Rt△ACD中，∠A=30°，
∴AD=2CD，
∵AD+BD=AB=6，
∴BD+AD=BD+2CD=3CD=6，
解得CD=2，
故选：A．
4（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE的长为（ ）
A．7B．8C．172D．9
【答案】D
【分析】本题主要查了等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，可得AB=BC=CD=6，CE=CD=12AC，即可求解．
【详解】解：由题意可知：AB=BC=CA=6，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴CD=AD=12AC，
∵CE=CD，
∴CE=CD=12AC=3，
∴BE=BC+CE=6+3=9．
故选：D．
5（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在△ABC中， AB=5，BC=7，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A'B'C'，连接A'C，则线段A'C的长为（ ）
A．2B．7C．6D．5
【答案】D
【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的判定与性质，由平移性质可得BB'=2，AB=A'B'=5，则可得B'C=A'B'=5，则可证明△ABC是等边三角形，然后由等边三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由平移性质可得，BB'=2，AB=A'B'=5，
∴B'C=BC-BB'=7-2=5，
∴B'C=A'B'=5，
∵∠B=∠A'B'C=60°，
∴△A'B'C是等边三角形，
∴A'C=B'C=A'B'=5，
故选：D．
6（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D是BC的中点，点E是AC的中点，EF∥AD，若CF=2，则AB的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】本题考查等边三角形的判定，三线合一，含30度角的直角三角形的性质，先证明△ABC是等边三角形，再根据三线合一得出∠ADC=90°，根据平行线的性质得出∠EFC=90°，进而得出∠FEC=30°，根据含30度角的直角三角形的性质得出CE=2CF=4，进而可得出答案．
【详解】解：∵△ABC中，∠B=∠C=60°，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵EF∥AD，
∴∠EFC=90°，
∴∠FEC=30°，
∵CF=2，
∴CE=2CF=4，
∴AC=2CE=8，
故选：D．
7（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN⊥AC于点N，连接MN．
(1)证明：AB=BC；
(2)若∠CAB=30°，证明：△AMN是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAC=∠ACD，根据角平分线定义得到∠BCA=∠ACD
即可证明∠BAC=∠BCA，从而证明AB=BC；
（2）根据直角三角形的性质求出∠MAC=60°，AM=12AC，AN=12AC，得到AN=AM，即可证明△AMN是等边三角形．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD．
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA=∠ACD，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC；
（2）证明：∵∠CAB=30°，
∴∠BAC=∠ACD=∠ACB=30°，
∵AM⊥CD于点M，
∴∠MAC+∠MCA=90°,AM=12AC，
∴∠MAC=60°，
∵AB=BC，BN⊥AC，
∴AN=12AC，
∴AN=AM，
∴△AMN是等边三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题的关键．
8（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
(1)求证：AE=2CE；
(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形，理由见解析
【分析】（1）连接BE，根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，根据等边对等角得∠ABE=∠A=30°，再根据角的和差得∠CBE=30°，结合∠ACB=90°得BE=2CE，即可得证；
（2）连接CD，根据线段垂直平分线的性质得到D为AB中点，再结合∠ACB=90°得CD=BD，又∠ABC=60°，即可得解．
【详解】（1）解：连接BE，如图所示：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=90°-∠A=60°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，
在Rt△BCE中，BE=2CE，
∴AE=2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：
连接CD，如图所示：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴D为AB中点，
∵∠ACB=90°，
∴CD=BD，
∵∠ABC=60°，
∴△BCD是等边三角形．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义及性质，等边三角形的判定，含30°的直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
9（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知：如图，在△ABC中，∠A=120°,AB=AC,D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E,F为垂足，
(1)∠B=______，∠C=______，
(2)求证：△BDE≌△CDF；
(3)△DEF是等边三角形吗？如果是，请写出证明过程，如果不是，请说明理由．
【答案】(1)30°，30°
(2)证明见解析
(3)△DEF是等边三角形，证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，解答本题的关键是熟记等腰三角形的性质以及全等三角形的性质．
（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和，即可解答；
（2）利用AAS即可证明△BDE≌△CDF；
（3）由△BDE≌△CDF，进而得到DE=DF，由（1）得∠B=∠C=30°，求出∠EDF=60°，即可证明△DEF是等边三角形．
【详解】（1）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠A=120°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=∠C=30°，
故答案为：30°，30°．
（2）解：由（1）得∠B=∠C，
∵D是BC边的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．
在△BDE和△CDF中，
∵∠B=∠C∠BED=∠CFDBD=CD，
∴△BDE≌△CDFAAS．
（3）解：△DEF是等边三角形，理由如下：
由（2）得△BDE≌△CDF，∠BED=∠CFD=90°，
∴DE=DF，
由（1）得∠B=∠C=30°，
∴∠BDE=∠CDF=90°-30°=60°，
∴∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF=180°-60°-60°=60°，
∴△DEF是等边三角形．

【B组---提高题】
1（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】此题考查轴对称－最短路线问题．设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△MPN的周长最小，据此解答即可．
【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD．

∵点P关于OA的对称点为C，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=8，
∵∠AOB=30°，
∴∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB
=2∠POA+2∠POB
=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=8．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=8．
故选：D．
2（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．下列结论：①BD=CE；②∠BPE=180°-2α；③AP平分∠BPE；④若α=60°，则PE=AP+PD．其中一定正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，证明△BAD≌△CAESAS即可判定①；过点A作AH⊥BD于H，AF⊥CE于F，由全等三角形的性质得S△BAD=S△CAE，即得AH=AF，根据角平分线的判定即可判定③；由全等三角形的性质和三角形内角和定理可得∠NPD=∠DAE=α，即得∠BPE=180°-∠NPD=180°-α，即可判定②；在线段CE上截取OE=PD，连接AO，证明△AOE≌△APDSAS得AP=AO，根据②可得△APO为等边三角形，即得AP=PO，即得PE=PA+PD，即可判定④；综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴BD=CE，故①正确；
过点A作AH⊥BD于H，AF⊥CE于F，
∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD=S△CAE，BD=CE，
∴12BD·AH=12CE·AF，
∴AH=AF，
∵AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE，故③正确；
∵∠BDA=∠CEA，∠PND=∠ANE，
∴∠NPD=∠DAE=α，
∴∠BPE=180°-∠NPD=180°-α，故②错误；
在线段CE上截取OE=PD，连接AO，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA=∠CEA，
∵OE=PD，AE=AD，
∴△AOE≌△APDSAS，
∴AP=AO，
由②得∠BPE=180°-∠NPD=180°-α，
∴∠BPE=120°，
∵AP平分∠BPE，
∴∠APO=60°，
∵AP=AO，
∴△APO为等边三角形，
∴AP=PO，
∵PE=PO+OE，OE=PD，
∴PE=PA+PD，故④正确；
综上，正确的结论有3个，
故选：C．
3（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
(1)如图1，求证：EF=CF；
(2)如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据角平分线的定义可得∠EAF=∠CAF，根据题意可推出AE=AC，证明△ACF≌△AEF，即可证明；
（2）由△ACF≌△AEF，结合题意可推出CF=BM，∠ACF=∠ABM，证明△ABM≌△ACF，得到AM=AF，∠BAM=∠CAF，证明△ABC是等边三角形，得到∠BAC=60°，推出∠MAF=∠BAC=60°，结合AM=AF，即可证明．
【详解】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF
∵AB=AC,AB=AE，
∴AE=AC
在△ACF和△AEF中，AC=AE∠CAF=∠EAFAF=AF，
∴△ACF≌△AEFSAS
∴EF=CF；
（2）如图，在BE上截取BM=EF，连接AM，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF=BM,∠E=∠ACF=∠ABM
在△ABM和△ACF中，
AB=AC∠ABM=∠ACFBM=CF，
∴△ABM≌△ACFSAS，
∴AM=AF,∠BAM=∠CAF
∵AB=AC,∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF
∴△AMF为等边三角形．