预习课第08讲 角平分线的性质与判定 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

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1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础；
2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力；
【题型一】 角平分线的尺规作图
【题型二】 角平分线的性质及其应用
【题型三】 角平分线的判定及其应用
【题型四】三角形的内心
3 课后分层练习 进一步巩固所学内容.

1.掌握角平分线的作法和角平分线的性质；
2.掌握角平分线的判定.
1角平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
2 角平分线的判定
角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.
3 三角形的内心
三角形的三个内角平分线会相交于一点，该点为三角形的内心(到三角形三边距离相等)，即三角形内切圆的圆心.
【题型一】 角平分线的尺规作图
相关知识点讲解
已知：∠AOB
求作：∠AOB的平分线
作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
(2)分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C;
(3)画射线OC，射线OC即为所求.
【典题1】（2025·陕西西安·二模）如图，在△ABC中，∠A+∠B=α，延长BC到点D．请利用尺规作图法在∠ACD内部作射线CM，使得∠ACM=α2．（保留作图痕迹，不写作法）


变式练习
1（2023·湖南怀化·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到AC，AB的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B． C． D．2（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知四边形ABCD，利用尺规作图法作∠ABC的平分线交CD于点E．（不写作法，保留作图痕迹）
【题型二】角平分线的性质及其应用
相关知识点讲解
角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
如下图，若PM、PN分别是角∠AOB的平分线上一点P到角两边OA、OB的距离，则PM=PN。
(易由AAS可证∆OMP≅∆ONP，则PM=PN)
【典题1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B=50°，∠C=60°．
(1)求∠ADC的度数．
(2)若DE=5，点F是AC上的动点，求DF的最小值．
变式练习
1（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，则点D到边BC的距离是（ ）
A．2B．3C．3D．4
2（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，BE=3,BC=7，则△BDE的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．14
3（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DF⊥AB于点F，E是线段BC的中点，若S△AEC=6，DF=2，AC=7，则AB的长是（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
4（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在△ABC中，AD是角平分线．
(1)若2AB=3AC，求S△ABD:S△ACD；
(2)若AE是△ABC的高线，且∠B=38°，∠C=50°，求∠DAE的度数．
【题型三】角平分线的判定及其应用
相关知识点讲解
1 角平分线的判定
角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.
如下图，若PM、PN分别是点P到角两边OA、OB的距离，且PM=PN，
则点P在角∠AOB的平分线上。
(易由HL可证∆OMP≅∆ONP，则∠POM=∠PON)
【典题1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD=138°，12∠ACB+∠BCD=90°，则∠ADB的度数为（ ）
A．42°B．48°C．50°D．53°
变式练习
1（24-25八年级下·陕西·期中）如图，点C为∠AOB内部一点，且点C到AO的距离与点C到OB的距离相等，连接OC，若∠AOC =23°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40°B．30°C．25°D．23°
2（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上B．AC边的高上
C．BC的中垂线上D．AB的中线上
3（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，D、E为边AC上两点，连接BD、BE，DF⊥BE于点F，若∠A=90°，AD=DF，∠DBF=25°，则∠BEC的度数为（ ）．

A．115°B．120°C．125°D．140°
4（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，BP是∠ABC内部的一条射线，点D在BP上，连接AD、CD，AD=CD，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，且PM=PN，求证：BP平分∠ABC．
5（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE．
(1)求∠DAE的值；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)若AB=6，AD=4，CD=8，且S△ACD=18，求△ABE的面积．
【题型四】三角形的内心
【典题1】（18-19八年级·全国·课后作业）如图，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，相交于点P，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q．求证：点P在∠C的平分线上．
变式练习
1（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三边的中垂线的交点
2（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，已知 △ABC的周长是21，BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=4，△ABC的面积是（ ）
A．42B．21C．84D．28

【A组---基础题】
1（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC=7，BD=4，则点D到AB的距离是（ ）
A．7B．2C．4D．3
2（24-25八年级上·天津河北·期中）如图，在△ABC中，AB=7，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，DE=2，则△ABD的面积为（ ）
A．14B．12C．10D．7
3（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，ED⊥AB于D且ED=EC，如果∠A=40°，那么∠EBD的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
4（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在△ABC中，∠C=90∘，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若CD=4，AB=12，则S△ABD的值为（ ）
A．24B．36C．48D．60
5（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠BOC=110°，则∠A的度数为（ ）．
A．35°B．40°C．50°D．70°
6（21-22八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC、PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF； ②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S△MAP+S△NCP
A．1个B．2个C．3个D．4个
7（2025·广东湛江·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作△ABC的角平分线AP，交BC于点P（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若CP=3，AB=10，求△APB的面积
8（24-25七年级下·重庆·期中）如图，C是∠MAN的角平分线上一点，CE⊥AN，CF⊥AM，垂足分别为E，F．过点C作CD∥AN，交AM于点D，在射线EN上取一点B，使∠CBE=2∠DCA．
(1)求证：CF=CE；
(2)求证：DF=BE．
9（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．
(1)求证：△BAD≌△CAE；
(2)求证：PA平分∠BPE．
【B组---提高题】
1（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，等腰△ABC中，AB=AC=8，AB:BC=5:3，BD平分∠ABC，则CD=（ ）

A．83B．3C．72D．163
2（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°,∠A=40°,BC=DC，点M,N分别为AB,AD边上的点，且∠MCN=70°，则下列结论：①点C在∠A的平分线上；②点A在∠BCD的平分线上；③MN