预习课第08讲 角平分线的性质与判定 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）（解析版）

这是一份预习课第08讲 角平分线的性质与判定 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）（解析版），共30页。学案主要包含了A组---基础题，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。
1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础；
2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力；
【题型一】 角平分线的尺规作图
【题型二】 角平分线的性质及其应用
【题型三】 角平分线的判定及其应用
【题型四】三角形的内心
3 课后分层练习 进一步巩固所学内容.

1.掌握角平分线的作法和角平分线的性质；
2.掌握角平分线的判定.
1角平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
2 角平分线的判定
角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.
3 三角形的内心
三角形的三个内角平分线会相交于一点，该点为三角形的内心(到三角形三边距离相等)，即三角形内切圆的圆心.
【题型一】 角平分线的尺规作图
相关知识点讲解
已知：∠AOB
求作：∠AOB的平分线
作法：
(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
(2)分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C;
(3)画射线OC，射线OC即为所求.
(利用全等三角形可证明)
【典题1】（2025·陕西西安·二模）如图，在△ABC中，∠A+∠B=α，延长BC到点D．请利用尺规作图法在∠ACD内部作射线CM，使得∠ACM=α2．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，涉及三角形外角的性质，熟知相关知识点是正确解答此题的关键．
作出∠ACD的平分线即可．
【详解】解：以C为圆心，任意长为半径，与CA、CD分别交于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离的12为半径画弧，两弧交于点M，作射线CM，射线CM即为求作的．
理由：∵ ∠A+∠B=α，∠A+∠B=∠ACD，
由作法可知，CM平分∠ACD，
∴∠ACM=12∠ACD=12α，
射线CM即为求作的．

变式练习
1（2023·湖南怀化·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到AC，AB的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】点P到点AC、AB的距离相等知点P在∠CAB的角平分线上，据此可得答案．
【详解】解：∵点P到点AC、AB的距离相等，
∴点P在∠CAB的角平分线上，
故选：B．
【点睛】本题主要考查尺规作图—作角平分线及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图．
2（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知四边形ABCD，利用尺规作图法作∠ABC的平分线交CD于点E．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图-作角的平分线，熟悉作图步骤是解答的关键．根据作角平分线的方法步骤作图即可．
【详解】解：如图，射线BE即为所求作：
【题型二】角平分线的性质及其应用
相关知识点讲解
角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
如下图，若PM、PN分别是角∠AOB的平分线上一点P到角两边OA、OB的距离，则PM=PN。
(易由AAS可证∆OMP≅∆ONP，则PM=PN)
【典题1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B=50°，∠C=60°．
(1)求∠ADC的度数．
(2)若DE=5，点F是AC上的动点，求DF的最小值．
【答案】(1)85°
(2)5
【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，角平分线的性质，垂线段最短，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本定理和知识．
（1）根据三角形内角和求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAD，再利用外角的性质求解；
（2）根据垂线段最短得到当DF⊥AC时，DF最小，再利用角平分线的性质求出DF=DE=5．
【详解】（1）解：∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=12×70°=35°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=85°；
（2）解：∵点F是AC上的动点，
∴当DF⊥AC时，DF最小，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=5．
变式练习
1（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，则点D到边BC的距离是（ ）
A．2B．3C．3D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等求出DE的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥BC于E，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，
∴DE=AD=3，
∴点D到边BC的距离是3，
故选：B．
2（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，BE=3,BC=7，则△BDE的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．14
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
先根据角平分线的性质得到DE=DC，然后利用等线段代换得到△BDE的周长=BC+BE．
【详解】解：∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°，
∴DE=DC，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=7+3=10．
故选：C．
3（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DF⊥AB于点F，E是线段BC的中点，若S△AEC=6，DF=2，AC=7，则AB的长是（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
【答案】D
【分析】本题考查三角形角平分线的性质，中线的知识，解题的关键是掌握三角形角平分线的性质，过点D作DH⊥AC交AC于点H，根据角平分线的性质，则DF=DH，根据E是线段BC的中点，则S△ABC=2S△AEC，再根据S△ABC=S△ABD+S△ADC，即可解答．
【详解】解：过点D作DH⊥AC交AC于点H，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AB于点F，
∴DF=DH=2，
∵E是线段BC的中点，
∴S△ABC=2S△AEC=2×6=12，
∵S△ABC=S△ABD+S△ADC，
∴S△ABD+S△ADC=12，
∴12×AB×DF+12×DH×AC=12，
∵DF=2，AC=7，
∴12×AB×2+12×2×7=12，
∴AB=5．
故选：D．
4（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在△ABC中，AD是角平分线．
(1)若2AB=3AC，求S△ABD:S△ACD；
(2)若AE是△ABC的高线，且∠B=38°，∠C=50°，求∠DAE的度数．
【答案】(1)3:2
(2)6°
【分析】本题主要考查角平分线性质定理以及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线性质是解答本题的关键．
（1）过点D作DE⊥AB于点E，AF⊥AC于点F，由角平分线性质定理得DE=DF，根据三角形面积公式可得结论；
（2）由三角形内角和定理得∠BAC=92°，由角平分线定义得∠CAD=46°，由直角三角形两锐角互余得出CAE=40°，从而可求出∠DAE．
【详解】（1）解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，AF⊥AC于点F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF,
∵2AB=3AC，
∴ABAC=32，
∴S△ABD:S△ACD=12AB⋅DE:12AC:DF=AB:AC=3:2；
（2）解：∵∠B=38°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-38°-50°=92°；
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=12∠BAC=46°，
∵∠C=50°，
∴∠CAE=90°-50°=40°，
∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=46°-40°=6°．
【题型三】角平分线的判定及其应用
相关知识点讲解
1 角平分线的判定
角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.
如下图，若PM、PN分别是点P到角两边OA、OB的距离，且PM=PN，
则点P在角∠AOB的平分线上。
(易由HL可证∆OMP≅∆ONP，则∠POM=∠PON)
【典题1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD=138°，12∠ACB+∠BCD=90°，则∠ADB的度数为（ ）
A．42°B．48°C．50°D．53°
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的定义、角平分线的性质和判定、三角形外角的定义及性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键．作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得DE=DG，再由三角形外角的性质及角平分线的定义可得∠ADB=∠DBE-∠DAB=12∠CBE-∠BAC=12∠ACB，即可得到答案．
【详解】解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，
∵∠ACD=138°，
∴∠ACB+∠BCD=138°
∵12∠ACB+∠BCD=90°
∴∠ACB=96°，∠BCD=42°
∴∠DCF=180°-∠ACD=180°-138°=42°，，
∴∠BCD=∠DCF=42°，
∴CD平分∠BCF，
∵ DF⊥AC，DG⊥BC，
∴DF=DG，
∴DE=DG，
∴BD平分∠CBE，
∴∠EBD=12∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC，
∴∠ADB=∠DBE-∠DAB
=12∠CBE-12∠BAC
=12∠CBE-∠BAC
=12∠ACB
=12×96°
=48°，
故选：B．
变式练习
1（24-25八年级下·陕西·期中）如图，点C为∠AOB内部一点，且点C到AO的距离与点C到OB的距离相等，连接OC，若∠AOC =23°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40°B．30°C．25°D．23°
【答案】D
【分析】本题考查了角的平分线的判定与性质．根据点C到AO的距离与点C到OB的距离相等，可得点C在∠AOB的角平分线上，可得∠AOC=∠BOC，即可解答．
【详解】解：∵点C为∠AOB内部一点，且点C到AO的距离与点C到OB的距离相等，
∴点C在∠AOB的角平分线上，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOC =23°，
∴∠BOC=23°，
故选：D．
2（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上B．AC边的高上
C．BC的中垂线上D．AB的中线上
【答案】A
【分析】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案．能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．
【详解】解：如图：
∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，
∴M在∠A的角平分线上，
故选：A．
3（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，D、E为边AC上两点，连接BD、BE，DF⊥BE于点F，若∠A=90°，AD=DF，∠DBF=25°，则∠BEC的度数为（ ）．

A．115°B．120°C．125°D．140°
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的判定，直角三角形的两个锐角互余，邻补角的定义；根据已知得出BD是∠ABE的角平分线，进而得出∠ABE=2∠DBF=50°，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠AEB=40°，最后根据邻补角的定义，即可求解．
【详解】解：∵DF⊥BE，∠A=90°，AD=DF，
∴BD是∠ABE的角平分线，
∵∠DBF=25°，
∴∠ABE=2∠DBF=50°，
∴∠AEB=90°-∠ABE=90°-50°=40°，
∴∠BEC=180°-∠AEB=180°-40°=140°，
故选：D．
4（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，BP是∠ABC内部的一条射线，点D在BP上，连接AD、CD，AD=CD，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，且PM=PN，求证：BP平分∠ABC．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键；
先由角平分线的性质定理得到∠ADP=∠CDP，再证明△ABD≌△CBD(SAS)，得到∠ABP=∠CBP，即可证明结论．
【详解】证明：∵ PM⊥AD，PN⊥CD，PM=PN，
∴ DP为∠ADC的角平分线，
∴ ∠ADP=∠CDP，
∴ ∠ADB=∠CDB，
在△ABD和△CBD中，
AD=CD,∠ADB=∠CDB,BD=BD,
∴ △ABD≌△CBD(SAS)，
∴ ∠ABP=∠CBP，
∴ BP平分∠ABC．
5（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE．
(1)求∠DAE的值；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)若AB=6，AD=4，CD=8，且S△ACD=18，求△ABE的面积．
【答案】(1)40°
(2)见解析
(3)9
【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理及其逆定理．
（1）由直角三角形的性质求出∠EAF=40°，由平角定义即可求出∠DAE的度数；
（2）过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，由角平分线的性质推出EF=EN，FE=EM，得到EM=EN，于是推出DE平分∠ADC；
（3）由△ACD的面积=△ADE的面积+△CDE的面积，得到12AD⋅EM+12CD⋅EN=18，即可求出EM=3，得到EF=3，由三角形面积公式即可求出△ABE的面积．
【详解】（1）解：∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90°，
∴∠EAF=90°-∠AEF=90°-50°=40°，
∵∠BAD=100°，
∴∠DAE=180°-100°-40°=40°；
（2）证明：过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，

∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF=EN，
∵∠EAF=∠DAE=40°，
∴AE平分∠DAF，
∴FE=EM，
∴EM=EN，
∵EM⊥AD，EN⊥CD，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵△ACD的面积=△ADE的面积+△CDE的面积，
∴12AD⋅EM+12CD⋅EN=18，
∴12AD+CD⋅EM=18，
∴12×4+8×EM=18，
∴EM=3，
∴EF=3，
∴△ABE的面积=12AB⋅EF =12×6×3=9．
【题型四】三角形的内心
【典题1】（18-19八年级·全国·课后作业）如图，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，相交于点P，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q．求证：点P在∠C的平分线上．
【答案】详见解析
【分析】根据角平分线的性质得到PM=PQ，PM=PN，等量代换得到PQ=PN，根据角平分线的判定可得到结论．
【详解】证明：∵点P在∠BAC的平分线AD上，PM⊥AB,PQ⊥AC；
∴PM=PQ．
又点P在∠ABC的平分线BE上，PM⊥AB，PN⊥BC；
∴PM=PN．
∴PQ=PN．
∴点P在∠C的平分线上．
【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定定理和性质定理是解题的关键．
变式练习
1（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三边的中垂线的交点
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质，注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别是解题的关键．角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解．
【详解】解：∵三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点．
故选：B．
2（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，已知 △ABC的周长是21，BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=4，△ABC的面积是（ ）
A．42B．21C．84D．28
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的点到角两边的距离相等是解题的关键．
如图所示，连接OA，过点O作OE⊥AB,OF⊥AC于点E,F，可得OD=OE=OF=4，由S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，得到S△ABC=12OD·AB+BC+AC，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接OA，过点O作OE⊥AB,OF⊥AC于点E,F，
∵BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=4，
∴OD=OE=OF=4，
∴S△AOB=12AB·OE,S△BOC=12BC·OD,S△AOC=12AC·OF，
∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴S△ABC=12AB·OE+12BC·OD+12AC·OF
=12OD·AB+BC+AC
=12×4×21
=42，
故选：A ．

【A组---基础题】
1（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC=7，BD=4，则点D到AB的距离是（ ）
A．7B．2C．4D．3
【答案】D
【分析】本题综合考查了角平分线的性质和线段的和差，等量代换等知识点，重点掌握角平分线的性质．由角平分线的性质，线段的和差，等量代换，求得点到直线的距离为3．
【详解】解：过点D作DE⊥AB交AB于点E，如图所示：
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
又∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD=ED，
又∵BC=BD+DC，BC=7，BD=4，
∴CD=BC-BD=7-4=3，
∴ED=3，
即点D到AB的距离是3，
故选：D．
2（24-25八年级上·天津河北·期中）如图，在△ABC中，AB=7，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，DE=2，则△ABD的面积为（ ）
A．14B．12C．10D．7
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
过D点作DF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到DF=DE=2，然后利用三角形面积公式进行计算．
【详解】解∶过D点作DF⊥AB于F，如图
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，
∴ DF=DE=2．
∵ AB=7，
∴S△ABD=12AB×DF=12×7×2=7．
故选∶D．
3（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，ED⊥AB于D且ED=EC，如果∠A=40°，那么∠EBD的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】A
【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定，根据题意，易得BE平分∠ABC，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，ED⊥AB于D且ED=EC，
∴BE平分∠ABC，
∵∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=50°，
∴∠EBD=12∠ABC=25°；
故选A．
4（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在△ABC中，∠C=90∘，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若CD=4，AB=12，则S△ABD的值为（ ）
A．24B．36C．48D．60
【答案】A
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，根据角平分线的性质得出DH的长，再根据三角形面积公式求解即可．
本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB于点H，
由作图可知，AD是∠BAC的角平分线，
又∵AC⊥BC，
∴DH=CD=4，
∴S△ABD的值为12AB⋅DH=12×12×4=24，
故选：A．
5（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠BOC=110°，则∠A的度数为（ ）．
A．35°B．40°C．50°D．70°
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定理是解题的关键．由题意，BO、CO分别为∠ABC和∠ACB的角平分线，利用三角形内角和即可求得∠A．
【详解】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠A=180°-∠ABC+∠ACB
=180°-2∠OBC+∠OCB
=180°-2×180°-∠BOC
=180°-2×180°-110°
=40°
故选：C．
6（21-22八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC、PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF； ②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S△MAP+S△NCP
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点，过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM=∠APD，进而即可判断②，根据三角形的外角性质判断③，根据全等三角形的性质判断④，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：如图，过点P作PD⊥AC于D，
①∵PB平分∠ABC,PA平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PN=PD，
∵PN⊥BF，PD⊥AC，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确，符合题意；
②∵PM⊥AB,PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
PM=PDPA=PA，
∴Rt△PAM≌Rt△PADHL，
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCNHL，
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°,②正确，符合题意；
③∵PA平分∠CAE,BP平分∠ABC，
∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM,∠PAM=12∠ABC+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB,③正确，符合题意；
由②可知，Rt△PAM≌Rt△PADHL，Rt△PCD≌Rt△PCNHL，
∴S△APD=S△APM,S△CPD=S△CPN，
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④正确，符合题意；
故选：D．
7（2025·广东湛江·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作△ABC的角平分线AP，交BC于点P（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若CP=3，AB=10，求△APB的面积
【答案】(1)图见解析
(2)15
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质：
（1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可；
（2）根据角平分线的性质，得到点P到AB边的距离等于CP的长，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，AP即为所求；
（2）
解：设点P到AB的距离为h，
∵AP是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，
∴h=CP=3，
∴△APB的面积=12AB⋅h=12×10×3=15．
8（24-25七年级下·重庆·期中）如图，C是∠MAN的角平分线上一点，CE⊥AN，CF⊥AM，垂足分别为E，F．过点C作CD∥AN，交AM于点D，在射线EN上取一点B，使∠CBE=2∠DCA．
(1)求证：CF=CE；
(2)求证：DF=BE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定．
（1）结合角平分线定义，证明△ACF≌△ACE，结合全等三角形性质即可证明CF=CE；
（2）结合平行线性质，证明△CFD≌△CEB，结合全等三角形性质即可证明DF=BE．
【详解】（1）证明：∵C是∠MAN的角平分线上一点，
∴∠1=∠2，
∵CE⊥AN， CF⊥AM，
∴∠3=∠4=∠5=90∘，
在△ACF和△ACE中，
∠3=∠4∠1=∠2AC=AC，
∴△ACF≌△ACEAAS，
∴CF=CE；
（2）证明：∵CD∥AN，
∴∠6=∠1+∠2，∠7=∠2，
又∵∠1=∠2，
∴∠6=2∠7，
又∵∠CBE=2∠DCA，即∠CBE=2∠7，
∴∠6=∠CBE，
在△CFD和△CEB中，
∠6=∠CBE∠3=∠5CF=CE，
∴△CFD≌△CEBAAS，
∴DF=BE．
9（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．
(1)求证：△BAD≌△CAE；
(2)求证：PA平分∠BPE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）利用角的和差可得∠BAD=∠CAE，结合AB=AC，AD=AE，即可由SAS证得；
（2）过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，由（1）可知△BAD≌△CAE，推出S△BAD=S△CAE，BD=CE，然后利用面积公式进而得到AH=AF，根据角平线的判定定理即可判定．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS．
（2）证明：过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，如图，
由（1）可知△BAD≌△CAE，
∴S△BAD=S△CAE，BD=CE，
∴12BD×AH=12CE×AF，
∴AH=AF，
又∵AH⊥BD，AF⊥CE，
∴PA平分∠BPE．
【B组---提高题】
1（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，等腰△ABC中，AB=AC=8，AB:BC=5:3，BD平分∠ABC，则CD=（ ）

A．83B．3C．72D．163
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是通过三角形的面积得到边之间的关系．
过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N，根据角平分线的性质得到DM=DN，从而S△ABDS△BCD=ABBC，过点B作BE⊥AC于点E，则S△ABDS△BCD=ADCD，从而得到ADCD=ABBC=53，又AD+CD=AC=8，可求出CD=3．
【详解】解：过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴DM=DN，
∴S△ABDS△BCD=12AB⋅DM12BC⋅DN=ABBC=53，
过点B作BE⊥AC于点E，
∴S△ABDS△BCD=12AD⋅BE12CD⋅BE=ADCD，
∴ADCD=ABBC=53，
∵AD+CD=AC=8，
∴CD=3，
故选：B．
2（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°,∠A=40°,BC=DC，点M,N分别为AB,AD边上的点，且∠MCN=70°，则下列结论：①点C在∠A的平分线上；②点A在∠BCD的平分线上；③MN