预习课第11讲 等边三角形及含30°角的直角三角形的性质 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）（原卷版）

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1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础；
2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力；
【题型一】 等边三角形的定义和性质
【题型二】 等边三角形的判定
【题型三】 等边三角形的判定与性质
【题型四】 含30°的直角三角形的性质
3 课后分层练习 进一步巩固所学内容.

1.掌握等边三角形的定义、性质和判定；
2.掌握含30°的直角三角形的性质.
1 等边三角形
(1)定义：三条边都相等的三角形；
(2)性质：三个内角都是60°，每条边都存在三线合一.
(3)判定：
① 三条边相等的三角形是等边三角形；
② 三个角都相等的三角形是等边三角形；
③ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
2含30°的直角三角形
在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【题型一】等边三角形的定义和性质
相关知识点讲解
等边三角形的定义和性质
(1)定义：三条边都相等的三角形；
(2)性质：三个内角都是60°，每条边都存在三线合一.
【典题1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=80°，∠BAD=15°，则∠CDE=（ ）
A．30°B．20°C．35°D．25°
【典题2】（2025·辽宁丹东·一模）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠ECD=20°，则∠ABE等于（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°


变式练习
1（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，E为BC上一点，在AB上取一点D，使AD=AE，且∠AED=65°，则∠EAC的度数是（ ）
A．10°B．20°C．15°D．5°
2（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM=10，则DE+DF=（ ）
A．5B．10C．8D．6
3（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，若∠EBC=35°，则∠ECA的度数为（ ）
A．35°B．25°C．30°D．45°
4（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，若BE=2，AE=8，则CE的长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
5（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，△ABC是等边三角形，动点D从点B出发，沿BA方向运动到终点A，以CD为边向上作等边三角形CDE，连接AE．在整个运动过程中，阴影部分面积的变化情况是（注：等边三角形三个内角都为60°）（ ）
A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小
【题型二】等边三角形的判定
相关知识点讲解
等边三角形的判定
① 三条边相等的三角形是等边三角形；
② 三个角都相等的三角形是等边三角形；
③ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【典题1】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知：如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB,DF⊥AC，点E、F为垂足，且DE=DF，∠A=120°．
(1)求证；△BDE≌△CDF；
(2)求证：△DEF是等边三角形．
变式练习
1（24-25七年级下·吉林·期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC,AE⊥BC，垂足分别为D,E，连接DE．求证：△CDE是等边三角形．
2（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF=∠C．

(1)求证：∠BDF=∠A；
(2)若∠A=60°，DF平分∠BDE，求出△ABC的形状．
【题型三】等边三角形的判定与性质
【典题1】（2025·安徽·三模）如图，点E是45°直角三角形斜边上的一点，F是直角边上一点，且AE=AF，若∠BAE=30°，则∠FED的度数是（ ）
A．15°B．20°C．22.5°D．10°
变式练习
1（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）在△ABC中，若∠A=60°，且AB=BC=6，则AC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，DA=DC,BA=BC=6．若∠ABC=60°，则AO的长为（ ）
A．3B．2C．3D．1
3（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，点P在∠AOB内，OP与OC关于OA对称，OP与OD关于OB对称，若CD=OP，则∠AOB的度数是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【题型四】含30°的直角三角形的性质
相关知识点讲解
含30°的直角三角形
在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如下图，在Rt∆ABC中，∠B=90°，∠A=30°，则BC=12AC.
证明 在AC上取点D，使得CB=CD，
又∵∠C=60°，∴∆BCD是等边三角形，
∴∠DBC=60°，∴∠ABD=30°，
又∵∠A=30°，∴AD=BD=BC，
∴AC=AD+CD=BC+BC=2BC，即BC=12AC.
【典题1】（2025·陕西榆林·三模）如图，OD是∠AOB的平分线，DE⊥OA于点E，点C在OB上，连接CD，∠BCD=30°，OC=6．若CD∥OA，则DE的长度是（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式练习
1（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=2，则AC的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，等腰△ABC中∠BAC=120°，在底边上取点D，使得AC⊥AD，若BC=6，则AD等于（ ）
A．2B．3C．2.5D．3.5
3如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的高，∠C=30°，AD=1，则AC=（ ）
A．1B．2C．3D．4
4如图，Rt△ABC的斜边AC∥x轴，点B的坐标是32,0，∠A=30°，则AC=（ ）．

A．8B．6C．4D．3
5（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在等边三角形ABC中，BC=8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6

【A组---基础题】
1（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过等边三角形ABC的顶点A作直线．若∠1=20°，则∠2的度数是（ ）
A．100°B．80°C．60°D．40°
2（2025·湖南岳阳·一模）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，连接EB、EC，若∠EBC=45°,BC=6，则ED等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
3（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，等腰△ABC中∠ACB=120°，在底边上取点D，使得AC⊥CD，若AB=6，则CD等于（ ）
A．2B．3C．2.5D．3.5
4（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE的长为（ ）
A．7B．8C．172D．9
5（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在△ABC中， AB=5，BC=7，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A'B'C'，连接A'C，则线段A'C的长为（ ）
A．2B．7C．6D．5
6（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D是BC的中点，点E是AC的中点，EF∥AD，若CF=2，则AB的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
7（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN⊥AC于点N，连接MN．
(1)证明：AB=BC；
(2)若∠CAB=30°，证明：△AMN是等边三角形．
8（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
(1)求证：AE=2CE；
(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
9（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知：如图，在△ABC中，∠A=120°,AB=AC,D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E,F为垂足，
(1)∠B=______，∠C=______，
(2)求证：△BDE≌△CDF；
(3)△DEF是等边三角形吗？如果是，请写出证明过程，如果不是，请说明理由．

【B组---提高题】
1（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
2（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．下列结论：①BD=CE；②∠BPE=180°-2α；③AP平分∠BPE；④若α=60°，则PE=AP+PD．其中一定正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
(1)如图1，求证：EF=CF；
(2)如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形．