预习课第12讲 最短路径问题 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）（原卷版）

这是一份预习课第12讲 最短路径问题 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）（原卷版），共12页。学案主要包含了A组---基础题，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。
1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础；
2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力；
【题型一】 将军模型的理解
【题型二】 角平分线与将军模型
【题型三】 垂直平分线与将军模型
【题型四】 等腰三角形与将军模型
【题型五】 将军模型的变形
3 课后分层练习 进一步巩固所学内容.
1.了解最短路径问题的模型，理解该模型的原理；
2.会利用最短路径模型求解最值.
1 将军饮马
如下图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上取一点P，使得PA+PB最小.
2 变形模型
如下图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上做点A，B，使得∆PAB的周长最小.
作点P关于OM，ON的对称点P1,P2,连接P1P2，交OM，ON于点A，B，此时∆PAB的周长最小.

【题型一】 将军模型的理解
1 引入
相传亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名字叫海伦，有一天，一位罗马将军专程去拜访他，并向他请教一个百思不得其解的问题.
如图，将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使得行走的路程最短？
据说，海伦稍加思索就解决了它，此后这个问题就被称为“将军饮马”，并流传至今.
在数学的角度，我们给以上故事数学化
如下图，定点A，B在直线l的同侧，在直线l上取一点P，使得PA+PB最小.
该模型强调A，B是定点，直线l是定直线，且A，B在l的同侧，动点P在直线l上运动。
作法 作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B与直线l交于点P.
简证 PA+PB=PA'+PB=A'B，P'A+P'B=P'A'+P'B，
因为P'A'+P'B≥A'B，所以P'A+P'B≥PA+PB，
所以点P为所求点.
【典题1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（ ）
A．B．
C．D．
变式练习
1 （24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应位于（ ）
A．点A处B．点B处C．点C处D．点D处
2（22-23八年级上·山西吕梁·期末）如图，直线a是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型二】 角平分线与将军模型
【典题1】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
变式练习
1（22-23八年级上·江苏镇江·期中）如图，在锐角△ABC中，AB=8，∠BAC=30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．8B．6C．4D．3
2（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A．2.4B．3C．4D．4.8
【题型三】垂直平分线与将军模型
【典题1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，直线m是线段BC的垂直平分线，点P是直线m上的一个动点．若AB=7，AC=4，BC=5，则△APC周长的最小值是（ ）
A．12B．11C．9D．7
变式练习
1（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，已知直线l垂直平分AB，点C在直线l的左侧，且AB=9，AC=7，BC=5，P是直线l上的任意一点，则PB+PC的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．9
2（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在△ABC中，已知AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，P为直线MN上一点，连结PB，PC，则△PBC的周长最小是（）
A．15B．14C．13D．16
3（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=5，点P是射线CD上一动点，点F是△ABC边AB上一动点，CD⊥CB，垂足为点C，当PE+PF的值最小时，BF=6，则AF的长为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1.5
【题型四】等腰三角形与将军模型
【典题1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在等边△ABC中，D为AC中点，点P，Q分别为AB,AD上的点，BP=AQ=3，QD=2，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为 ．
变式练习
1（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15°B．225°C．30°D．45°
2（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，AD是△ABC的一条角平分线，点E，F分别是线段AD，AC上的动点，若AD=4，BD=3，那么线段CE+EF的最小值是（ ）

A．245B．5C．4D．6
3（22-23七年级下·山东济南·期末）如图，等腰△ABC的底边BC=4cm，面积为8cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为多少？（ ）

A．4B．6C．8D．10
【题型五】 将军模型的变形
【典题1】（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥DE，AB=BC，AE=DE，∠BCD+∠CDE=230°，点P，Q分别在边BC，DE上，连接AP，AQ， PQ，当△APQ的周长最小时，∠PAQ的度数为（ ）

A．50°B．80°C．100°D．130°
变式练习
1（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点A到B的路径A-M-N-B最短的是（ ）
A．B．C．D．
2如图，∠AOB=20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM=α，∠OQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（ ）
A．β-α=30°B．β+α=210°C．β-2α=30°D．β+α=200°
3（22-23八年级上·福建厦门·期末）如图，在四边形ABCD中，∠C=α°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．αB．2αC．180-αD．180-2α
4（21-22八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140 °B．100°C．80°D．50°

【A组---基础题】
1（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，直线l是一条河，A、B 是两个新农村定居点，欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 A、B两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）
A． B． C．D．
2（19-20八年级上·湖北·阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
3（21-22八年级上·吉林·期中）如图，等边△ABC的边长为1，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A'BC'关于直线l对称，D为线段BC'上的一个动点，则AD+CD的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4（22-23八年级上·安徽六安·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=14，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB，AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
5（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=27，直线EF垂直平分线段AB，若点D为边BC的中点，点G为直线EF上一动点，连接DG、BG，则△BDG的周长的最小值为
A．13B．12C．11D．10
6（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点N在边BC上，且BN=6，点M，P分别是边AB，AC上的动点，当PM+PN最小时，BM=5，则AB长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
7（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图．在五边形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝88°，∠B＝∠E＝90°， 在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠BAE的度数为（ ）
A．136°B．96°C．90°D．84°
8（24-25八年级上·福建南平·期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD=3，∠A=∠D=90°，∠B=60°，BC=2DC，在AD上找一点P，使PC+PB的值最小，则PC+PB的最小值为 ．
9（22-23八年级上·广西河池·期中）A,B两个村庄在如图所示的直角坐标系中，那么：
(1)点A的坐标为___________，点B的坐标为___________；
(2)如把直角坐标系中的横轴看作一条河，现准备在河流边上建一个抽水站P，使得抽水站P到A,B两个村庄的距离之和最小，请作出点P的位置，并求此时△ABP的面积．
【B组---提高题】
1（20-21八年级上·广东广州·期中）如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（ ）
A．1B．2C．4D．1.5
2（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰△ABC中，CA=CB=8，AB=10，AD平分∠BAC，点M为线段AD上一动点，连接CM，作∠MCN=∠ACB且CM=CN．连接DN，则当△CDN周长最小时，CNDN的值为 ．